数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法 一、公式法 naa,，，232例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 {}aa,2{}a，1n1nnn aaaaa33nn，1nn，1nn，1naa,，，232两边除以，得,，，则,,，故数列{}是解:2，1nnnnn，1nn，12222222 a3a23n1以,,1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，,，,1(1)nn122222 31nan,,所以数列的通项公式为。 {}a()2nn22 aa3nnn，1aa,，，232,,评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列，1nnnn，1222aa3nn{}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出,，,1(1)n，进而求出数列nn222 的通项公式。 {}an 二、累加法 例2 已知数列aana,，，,211，{}a满足，求数列{}a的通项公式。 nnn，11n aan,，，21aan,,，21解:由得则 nn，1nn，1 aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 ,,，，,，，，，，，，，，[2(1)1][2(2)1](221)(211)1nn ,,，,，，，，,，2[(1)(2)21](1)1nnn (1)nn,,，,，2(1)1n2 ,,，，(1)(1)1nn 2,n 2an,所以数列{}a的通项公式为。 nn aan,，，21aan,,，21评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求nn，1nn，1()()()()aaaaaaaaa,，,，，,，,，{}a出，即得数列的通项公式。 nnnn,,,11232211n n例3 已知数列满足aaa,，，，,2313，，求数列的通项公式。 {}a{}a，11nnnn nnaa,，，，231aa,,，，231解:由得则，1，1nnnn aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 nn,,1221,，，，，，，，，，，，，，(231)(231)(231)(231)3 nn,,1221,，，，，，,，2(3333)(1)3n n,1 3(13),,，,，2(1)3n13, n,,，,，3313n n,，,31n nan,，,31.所以 n nnaa,，，，231aa,,，，231评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，，1，1nnnn aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()进而求出，即得数列{}a的通nnnnn,,,11232211n 项公式。 naaa,，，，,32313，例4 已知数列{}a满足，求数列{}a的通项公式。 ，11nnnn aa21nn，1nn，1aa,，，，3231,，，解:两边除以，得， 3，1nnnnn，，113333aa21nn，1,,，则，故 nnn，，113333 aaaaaaaaaannnnnnn,,,,,11223211,,，,，,，，,，()()()()nnnnn,,,2232133333333aann,,11 212121213 ,，，，，，，，，，()()()()nnn,,122333333333 2(1)11111,n,，，，，，，，()1nnnn,,122333333 1n,1,(13)nann,2(1)2113n因此， ,，，,，,1nn,，33133223 211nnan,，，，，,33.则 n322 aa21nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式aa,，，，3231转化为,,，，，1nnnnn，，113333 aaaaaaaaaa,,nnnnnn,,,,,11223n211进而求出()()()(),，,，,，，,，，即得数列,,nnnnnn,,,,,1122321n3333333333,,的通项公式，最后再求数列的通项公式。 {}an 三、累乘法 nanaa,，，,2(1)53，例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}a，11nnnn ann，1nanaa,，，,2(1)53，解:因为，所以a,0，则，故,，2(1)5n，11nnnan aaaann,132,,,,,,aan1aaaann,,1221 nn,,1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3,,，,，,,，，，，，nn nnn,,，,，，，1(1)(2)212[(1)32]53,,,,，，，nn nn(1),n,12325!,，，，n nn(1),n,12所以数列{}a的通项公式为 an,，，，325!.nn ann，1nana,，，2(1)5评注:本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求,，2(1)5n，1nnanaaaann,132出，即得数列{}a的通项公式。 ,,,,,an1aaaann,,1221 aaaaanan,,，，，，,,123(1)(2)，例6 已知数列{}a满足，求{}a的通n11231nn,n项公式。 aaaanan,，，，，,,23(1)(2)解:因为 ? nn1231, aaaanana,，，，，,，23(1)所以 ? nnn，,11231 aana,,.用?式,?式得 nnn，1 anan,，,(1)(2)则 nn，1 an，1故 ,，,1(2)nnan aaan!nn,13所以 ? ,,,,,,,,,，,aannaa[(1)43].n222aaa2nn,,122 由，，则，又知aaaanan,，，，，,,23(1)(2)取得naaa,,，22aa,nn1231,21221 n!a,1，则a,1，代入?得。 an,,,,,,,1345n122 n!所以，的通项公式为a,. {}ann2 an，1评注:本题解题的关键是把递推关系式anan,，,(1)(2)转化为，,，,1(2)nnnn，1an aaann,13进而求出，从而可得当na,2时，的表达式，最后再求出数列{}a的,,,,ann2aaann,,122 通项公式。 四、待定系数法 naaaa,，，,2356， 已知数列例7{}a满足，求数列的通项公式。 ,,n，11nnn nn，1axax，，,，，52(5)解:设 ? nn，1 nnnn，1aa,，，2352355225axax，，，，,，，将代入?式，得，等式两边消去，1nnnn nnn，1n2a，得，两边除以，得代入?式得352,1,，,,,xxx则35525,，,,,xx5n nn，1aa,,,52(5) ? nn，1 n，1a,51nnn，1a,,,,,56510a,,50{5}a,由及?式得，则，则数列是以,2n1nna,5n 1nn,1nn,1a,,51a,,52a,，25为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 1nn nnn，1aa,，，235aa,,,52(5)评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，，1nnnn，1 nn{5}a,{5}a,从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列nn 的通项公式。 {}an naaa,，，，,35241，例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}a，11nnnn nn，1axyaxy，，，,，，，23(2)解:设 ? nn，1 naa,，，，3524将代入?式，得 ，1nn nnn，1352423(2)axyaxy，，，，，，,，，， nn nn整理得。 (52)24323，，，，,，，xyxy 523，,xxx,5,,令，则，代入?式得 ,,43，,yyy,2,, nn，1aa，，，,，，，5223(522) ? nn，1 1a，，，,，,,522112130由及?式， 1 n，1a，，，522nn，1a，，，,5220得，则， ,3nna，，，522n n1{522}a，，，a，，，,，,52211213故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，n1nn,1nn,1a，，，,，522133a,，,，,133522因此，则。 nn naa,，，，3524评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，1nn nn，1naa，，，,，，，5223(522){522}a，，，，从而可知数列是等比数列，进而求nn，1n n{522}a，，，{}a出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 nn 2aanna,，，，,23451，{}a{}a满足，求数列的通项公式。 例9 已知数列nn，nn11 22axnynzaxnynz，，，，，,，，，(1)(1)2()解:设 ? nn，1 2aann,，，，2345将代入?式，得 nn，1 2222345(1)(1)2()annxnynzaxnynz，，，，，，，，,，，，，则 nn 222(3)(24)(5)2222axnxynxyzaxnynz，，，，，，，，，,，，， nn 22等式两边消去，得， 2a(3)(24)(5)222，，，，，，，，,，，xnxynxyzxnynzn 32，,xxx,3,, ,,解方程组，则，代入?式，得 y,10242xyy，，,,, ,,z,18xyzz，，，,52,, 22annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018) ? nn，1 22a，，，，，,，,,3110118131320ann，，，,310180由及?式，得 n1 2ann，，，，，3(1)10(1)182n，1{31018}ann，，，则，故数列为以,2n2ann，，，31018n 2a，，，，，,，,311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此1 21n,n，42ann，，，,，31018322ann,,,,231018，则。 nn 2aann,，，，2345评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为nn，1 22annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018)，从而可知数列nn，1 22{31018}ann，，，{31018}ann，，，是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再nn {}a求出数列的通项公式。 n 五、对数变换法 n5aa,，，23例10 已知数列{}a满足，a,7，求数列{}a的通项公式。 ，n1nnn1 n5n5aaa,，，,237，aa,，，23aa,,00，解:因为，所以。在式两边取，，nn，1nn11nn1 lg5lglg3lg2aan,，，常用对数得 ? nn，1 lg(1)5(lg)axnyaxny，，，,，，设 11 ?nn，1 将?式代入11式，得，两边消去5lglg3lg2(1)5(lg)anxnyaxny，，，，，,，，?nn 并整理，得，则 5lga(lg3)lg255，，，，,，xnxyxnyn lg3,x,,lg35，,xx,,4，故 ,,lg3lg2xyy，，,lg25,,y,，,164, lg3lg3lg2lg3lg3lg2anan，，，，,，，，代入11式，得 12 lg(1)5(lg)??nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2由及12式， lg1lg710a，，，，,，，，，,?141644164 lg3lg3lg2an，，，,得， lg0n4164 lg3lg3lg2lg(1)an，，，，n，14164， 则,5lg3lg3lg2an，，，lgn4164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2an，，，所以数列是以为首项，以5为公比的等{lg}lg7，，，n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1an，，，,，，，比数列，则，因此lg(lg7)5n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1lg(lg7)5an,，，，,,,n4164464 11111nn,16164444,，，，,,,(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2 11111nn,116164444,,,,,,,[lg(7332)]5lg(332) 11111nn,116164444,,,,,,,lg(7332)5lg(332) n,1n,1n,15,5,n151,51n,4164,,,lg(733,2) n,1541,,51,nn51,n164,,,lg(732) n,1541nn,,51,n,15164a,，，732则。 n n5aa,，，23评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，nn1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2anan，，，，,，，，，从而可知数列lg(1)5(lg)nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2an，，，是等比数列，进而求出数列an，，，的通项{lg}{lg}nn41644164 公式，最后再求出数列的通项公式。 {}an 六、迭代法 n3(1)2n，例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaaa,,，5nnnn，11 nnnn,,,1213(1)2n，323(1)232nnn,,,,解:因为，所以 aa,aaa,,[]nn，1nnn,,12 2(2)(1)nn,，,3(1)2nn,,,,an,2nnn,,，,32(2)(1)3(2)23(1)2nnn,,,,,,[]an,33(3)(2)(1)nnn,，,，,3(2)(1)2nnn,,,,an,3 , nnnn,，，，,，,，,112(3)(2)(1)323(2)(1)2,,,,,,,nnn,a1nn(1),n,123!2,,n,a1 nn(1),n,123!2,,n又a,5，所以数列{}a的通项公式为。 a,51nn n3(1)2n，评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式aa,nn，1 lgannn，1lg3(1)2lgana,，，，两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知,，3(1)2n，1nnlgan nn(1),nn(1),n,13!2,,nn,1lglglgaaalga23!2,,nnn,1322，从而。 ,,,,,,,lglglg5aaa,5n1nlglglglgaaaann,,1221 七、数学归纳法 8(1)8n，{}a{}a例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa,，,，nnnn，1122(21)(23)9nn，， 88(1)n，a,解:由及，得 aa,，1nn，1229(21)(23)nn，， 8(11)88224，，aa,，,，,2122(211)(213)992525，，，，， 8(21)248348，，aa,，,，, 3222(221)(223)25254949，，，，， 8(31)488480，，aa,，,，,4322(231)(233)49498181，，，，， 2(21)1n，,由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 a,n2(21)n， 2(211)18，，,(1)当n,1时，，所以等式成立。 a,,12(211)9，， 2(21)1k，,nk,nk,，1(2)假设当时等式成立，即，则当时， a,k2(21)k， 8(1)k， aa,，kk，122(21)(23)kk，， 2(21)18(1)kk，,，,，222(21)(21)(23)kkk，，， 22[(21)1](23)8(1)kkk，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(23)8(1)kkkk，，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(21)kkk，，,，,22(21)(23)kk，， 2(23)1k，,,2(23)k， 2[2(1)1]1k，，,,2[2(1)1]k，， nk,，1由此可知，当时等式也成立。 *根据(1)，(2)可知，等式对任何都成立。 nN, 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 1例13 已知数列满足aaaa,，，，,，，求数列的通项公式。 {}a(14124)1{}annn，11nn16 12解:令，则ab,, (1)ba,，124nnnn24 112ab,,aaa,，，，故，代入得 (14124)(1)nn，，nnn，1111624 11122bbb,,，,， (1)[14(1)]nnn，1241624 224(3)bb,，即 nn，1 因为，故 ba,，,1240ba,，,1240nnnn，，11 13bb,，23bb,，则，即， nn，1nn，122 1bb,,,3(3)可化为， nn，12 1{3}b,所以是以为首项，以为公比的等比数ba,,，,,，，,,31243124132n112 1111nn,,12n,2n,2b,,,b,，，,，a列，因此32()()，则()3，即124()3，得 nnn2222 2111nna,，，()()。 n3423 评注:本题解题的关键是通过将的换元为b，使得所给递推关系式转化124，ann 13bb,，{3}b,{3}b,形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，nn，1nn22 最后再求出数列{}a的通项公式。 n 九、不动点法 2124a,n{}a{}a例14 已知数列满足，求数列的通项公式。 aa,,，4nn，11n41a，n 2124x,2124x,2x,xx,,23，fx(),解:令，得，则是函数的420240xx,，,1241x，41x， 两个不动点。因为 2124a,n,2aaaaaa,，,,，,,24121242(41)1326213，1nnnnnn。所以数列,,,,2124a,aaaaa,,,，,,321243(41)92793n，1nnnnn,341a，n ,,a,2a,2a,242,1313n,1nn1是以为首项，以为公比的等比数列，故，,,2,2(),,9a,3a,,343a,39n,,1n 1则。 a,，3n13,1n,2()19 2124x,2124x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两x,fx(),41x，41x， ,,a,2aa,,2213nnn，1个根xx,,23，，进而可推出，从而可知数列为等比数,,,,12a,3aa,,393n,,nn，1 ,,a,2n列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。 {}a,,na,3n,, 72a,n例15 已知数列{}a满足，求数列{}a的通项公式。 aa,,，2nn，11n23a，n 72x,31x,2x,x,1解:令fx(),，得，则是函数的不动点。 2420xx,，,23x，47x， 7255aa,,nn因为，所以 a,,,,11，1n2323aa，，nn 2111nna,，，()()。 n3423 b评注:本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124，ann13bb,，{3}b,{3}b,形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，nn，1nn22 {}a最后再求出数列的通项公式。 n 九、不动点法 2124a,n{}a{}a例14 已知数列满足，求数列的通项公式。 aa,,，4nn，11n41a，n 2124x,2124x,2解:令，得，则是函数的xx,,23，x,fx(),420240xx,，,1241x，41x， 两个不动点。因为 2124a,n,2aaaaaa,，,,，,,24121242(41)1326213，1nnnnnn。所以数列,,,,2124a,aaaaa,,,，,,321243(41)92793n，1nnnnn,341a，n ,,a,2a,2a,242,1313n,1nn1是以为首项，以为公比的等比数列，故，,,2,2(),,9a,3a,,343a,39n,,1n 1则。 a,，3n13n,12()1,9 2124x,2124x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程x,的两fx(),41x，41x， ,,a,2aa,,2213nnn，1xx,,23，个根，进而可推出，从而可知数列为等比数,,,,12a,3aa,,393n,,nn，1 ,,a,2n列，再求出数列的通项公式，最后求出数列{}a的通项公式。 ,,na,3n,, 72a,n例15 已知数列{}a满足，求数列{}a的通项公式。 aa,,，2nn，11n23a，n 72x,31x,2x,x,1解:令fx(),，得，则是函数的不动点。 2420xx,，,23x，47x， 7255aa,,nn因为，所以 a,,,,11，1n2323aa，，nn