MAPLE理论力学大作业
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教师:
课程名称:多刚体动力学
1. 图1(a)所示圆盘半径
cm,以匀角速度
rad/s绕位于盘缘的水平固定轴O转动,并带动杆AB绕水平固定轴A转动,
。试求杆与铅垂线夹角
时杆端B的速度和加速度的大小。
已知:
cm ,
rad/s,
,
。
求:
,
。
解:● 建模
本机构在运动过程中,由于圆盘的圆心C到直杆AB的垂直距离始终保持不变,并等于半径r。因此,可以选非接触点C为动点,动系
与直杆AB相固连,如图1(b)所示。因而有:相对运动:动点C沿平行于杆AB并与杆相距为r的直线运动;牵连运动:随杆AB绕水平轴A的定轴转动;绝对运动:动点C作以r为半径、O为圆心的圆周运动。
答:杆与铅垂线夹角
时杆端B的速度为8cm/s,加速度大小为
cm/s2。
(a) (b)
(c)
图1
● Maple程序
>restart: #清零
>R := 2*sqrt(3): omega := 2: theta := (1/6)*Pi: #已知条件
>v[e] := R*omega*tan(theta): #牵连速度大小
>v[r] := R*omega/cos(theta): #相对速度大小
>eq1 := v[a] = v[e]+v[r]: #绝对速度大小
>omegaab := r*omega*tan(theta)/(2*r): #杆AB的角速度
> AB := 4*R: AC := 2*R: #已知条件
>v[B] := AB*omegaab: #B点速度
>v[B] := evalf(v[B], 3): #解方程
>a[an] := R*omega^2: a[en] := AC*omegaab^2: a[k] := 2*omegaab*v[r]:#C点加速度
>eq1 := a[an]*cos(theta) = -a[en]*sin(theta)+a[et]*cos(theta)+a[k]:#a合成定理
>x := isolate(eq1, a[et]): #解方程
>a[et] := rhs(x): #取方程右边项
>alpha[ab] := evalf(a[et]/AC, 3): #AB角加速度
>a[Bt] := evalf(AB*alpha[ab], 3): a[Bn] := evalf(AB*omegaab^2, 3): #切法向角速度
>a[B] := evalf(sqrt(a[Bn]^2+a[Bt]^2), 4): #B点加速度大小
2. 图2(a)所示半径是R的卷筒沿固定水平面滚动而不滑动,卷筒上固连有半径是r的同轴鼓轮,缠在鼓轮上的绳子由下边水平地伸出,绕过定滑轮,并在下端悬有重物M。设在已知瞬时重物具有向下的速度v和加速度a。试求该瞬时卷筒铅直直径两端C和B的加速度大小。
已知:R,r,M,v,a。
求:
。
解:● 建模
卷筒沿固定面滚动而不滑动,它与固定面的接触点C是速度瞬心,
分析
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点C和B的加速度,取O为基点。
答:C点的加速度大小为
,B点的加速度大小为
。
(a) (b)
图2
● Maple程序
Restart: #清零
CD := R-r; eq1 := omega = v/CD: #已知条件
eq2 := dv/dt = a: #C点加速度大小
eq3 := alpha = a/(R-r): #C点角加速度大小
a[O] := R*a/(R-r): #O点加速度大小
a[tCO] := R*alpha; a[tCO] := subs(eq3, a[tCO]): #C点切向及速度大小
a[nCO] := R*omega^2; a[nCO] := subs(eq1, a[nCO]):#C点法向及速度大小
a[C] = a[O]-a[tCO]+a[nCO]: #C点合成加速度大小
a[tBO] := a[tCO]: #B点切向加速度大小
a[nBO] := a[nCO]: #B点法向加速度大小
a[B] := sqrt((a[O]+a[tBO])^2+a[nBO]^2): #B点加速度大小
3. 在图3所示平面机构中,轮子在水平面作纯滚动,借助于铰接在轮缘上的套筒
带动摇杆
与轮相切,轮心
的速度
m/s,加速度
m/s2,摇杆与水平线夹角为
。求摇杆
在此瞬时的角速度
和角加速度
。
已知:
m/s,
m/s2,
。
求:
,
。
解:● 建模
由于轮在水平面上作纯滚动,故轮与地面的接触点C为轮的速度瞬心。取O为基点,分析轮缘上点B的加速度。
答:摇杆与水平线夹角为
时,摇杆的角速度
rad/s,角加速度
rad/s2。
图3
● Maple程序
>restart: #清零
>omega := v[O]/r: #O点角速度大小
>v[B] := BC*omega: #B点绝对速度大小
>eq1 := v[a] = v[e]+v[r]: #B点速度合成定理
>v[a] := v[B]: #B点绝对速度大小
>v[e] := v[a]*cos(theta): #B点牵连速度大小
>v[R] := v[a]*sin(theta): #B点相对速度大小
>v[O] := 20: r := 1/2: #已知条件
>theta := (1/3)*Pi: CO[1] := 2*r*cos((1/2)*Pi-theta): #已知几何条件
>BC := CO[1]: BO[1] := CO[1]: #已知几何条件
>omega1 := v[e]/BO[1]: #角速度计算式
>eq2 := a[O]*cos((1/2)*Pi-theta)+a[BOn] = -a[et]+a[k]:#加速度合成定理
>BOl := r: a[O] := 10: #已知条件
>a[BOn] := BOl*omega^2: #法向加速度大小
>a[et] := BO[1]*alpha: a[k] := 2*omega1*v[R]: #切向加速度大小
>alpha := solve(eq2, alpha): #解方程eq2
>alpha := evalf(alpha, 3): #保留3为有效数字
4. 跨过定滑轮D的细绳,一端缠绕在圆柱A上,另一端系在物块B上如图4所示,已知圆柱A和滑轮D都可以看作匀质圆盘,半径都是r,质量分别为
和
;物块B的质量
。如果不记细绳的质量以及轴承摩擦,滑轮与绳之间不打滑;试求物块B的加速度、圆柱质心C的加速度和绳索的拉力。
已知:r,
,
,
。
求:
,
,
,
。
解:● 建模
分别取物块B,滑轮D,圆柱A为研究对象,根据达朗贝尔原理,在物块B的质心虚加惯性力
;沿
的反向在滑轮D虚加矩为
的惯性力偶;在圆柱A的质心C虚加惯性力
,以及沿
的反向在圆柱A虚加矩
的惯性力偶后,与每个物体真实作用的主动力和约束力共同构成平衡力系。
答:物块B的加速度
,圆柱质心C的加速度
,绳索的拉力
,
。
图4
● Maple程序
>restart: #清零