《向量的数量积公式的灵活应用》
向量的数量积公式的灵活应用
平面向量的的数量积公式是向量部分一个基本而又非常重要的公式。近几年高考
试题
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主要考查数量积的以下几个应用:平面上两点间的距离与数量积的关系;平面上两个向量的平行与垂直问题;利用向量数量积处理有关向量的长度、角度问题及与其它知识交汇的问题等.下面通过例子具体说明.
一、求向量的夹角
(32)(2)8,mnmn,,，,,mn与】已知求的夹角( 【例1mn,,2,4,
(32)(2)8mnmn,,，,,解析:由，
2222628mmnn,,,,,得，即mnmn,,,，628(
,，，，，24cos,mn mnmnmn,,,，，cos,
228cos,62248,，，,，,，，mn
？，，,cos,0mn，，,mn,[0,],,，
？，，,mn,.,(
点评:本例主要考查向量夹角的求法，同时也考查学生向量的基本运
[0,].,算能力，在求向量的夹角时切记夹角的范围是
二、求向量的模或长度
a和b【例2】已知均为单位向量，它们的夹角为120，求ab，3.
解析:利用向量求模的定义有:
2abab，,，3(3)
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22 ,，，abab96
均为单位向量，且夹角为，有向量的数量积公式 得a和b120
1， ababab,,，，,，，,,cos,11cos1202
22( ？，，,，,,abab961937
2点评:求向量的长度(或模)问题，常常利用aaa,转化为向量的a
数量积来求解.
三、解决向量的垂直与平行问题
()ab，,()ab,,【例3】已知且向量与垂直，求( ab,,3,4,,
()ab，,()ab,,解析:与垂直， ？()ab，,()ab,, ,0.
222？,,ab,0，
2？,,9160,, ab,,3,4,
3解方程求得,,,. 4
ABCD【例4】在四边形中，，求证:( ABCDABCD,ABCD
ABCD证明:设与的夹角为，有向量的数量积公式得: ,ABCDABCD,cos,
ABCDABCD,，
？,ABCDABCDcos,，
， ？,,cos1,
？,,,,0180或
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？ABCD(
点评:两个向量垂直的充要条件为:，利用它可以灵活、简ab、ab,0
便地解决有关垂直问题;两个非零向量平行的充要条件为:ab、
abcos1,，，,,,ab,或者说两个向量的夹角为 0180.或
ab
四、向量的数量积与三角函数的综合应用问题
π【例5】(2006年全国卷II)已知向量,(sinθ，1)，,(1，cosθ)，,,ab2
πθ,( 2
(?)若ab,，求θ;
(?)求的最大值( ab，
解:(?)若ab,，则sinθ，cosθ,0，
πππ由此得 tanθ,,1(,,θ,)，所以 θ,,; 224
(?)由,(sinθ，1)，,(1，cosθ)得 ab
22,(sinθ，1)，(1，cosθ),3，2(sinθ，cosθ) ab，
π,3，22sin(θ，)， 4
ππ当sin(θ，),1时，取得最大值，即当θ,时，|最大值为ab，ab，44
2，1(
点评:此题主要是考查数量积的坐标运算.将向量的数量积及模的坐标运算转化为三角函数的化简、求值，然后运用三角函数的基本公式及正弦函数的有界性求解.向量与三角函数的结合，题目新又巧，既符合在知识的“交汇处”出题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标
表
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示与运算大大简化了数量积的运算，使得数量积公式用起来更得心应手.
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