2013~2014学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学
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Ⅰ
试题
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注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
4．如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
2014．3
参考公式：
柱体的体积公式：V柱体=，其中S是柱体的底面积，h是高．
直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，若，则 ▲ ．
Y
2．若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ▲ ．
3．已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 ▲ ．
4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；
，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ▲ ．
5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ▲ ．
6．设函数，若，则的值为 ▲ ．
7． 四棱锥P ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD
且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ．
8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．
9．已知，，则的值为 ▲ ．
10．设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ．
11．已知正数满足，则的最小值为 ▲ ．
（第12题）
12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ▲ ．
13．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．
（第16题）
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．
17．（本小题满分14分）
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
（第17题）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．
（第18题）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．
19．（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立．
（1）若λ = 1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
20．（本小题满分16分）
已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（第21-A题）
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延
长线上一点，直线与圆相切．
求证：．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，，计算．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：
（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程．
D．选修4—5：不等式选讲
已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记
，求的值．
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9．
10．13 11．9 12． 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：（1）=
=． …………………3分
所以的最小正周期为， …………………4分
值域为． …………………6分
（2）由，得．
为锐角，∴，，∴． …………………9分
∵，，∴． …………………10分
在△ABC中，由正弦定理得． …………………12分
∴
． …………………14分
16．（1）证明：∵ 为菱形，且，
∴△为正三角形． …………………2分
是的中点，∴．
∵，是的中点，∴ ． …………………4分
，∴平面． …………………6分
∵平面，∴平面平面． …………………8分
（2）证明：连结，设，连结．
∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点． …………………10分
在△中，又∵是的中点，∴∥． …………………12分
∵平面，平面，∴ ∥平面． …………………14分
17．解：（1）梯形的面积
=，． …………………2分
体积． …………………3分
（2）
．
令，得，或（舍）．
∵，∴． …………………5分
当时，，为增函数；
当时，，为减函数． …………………7分
∴当时，体积V最大． …………………8分
（3）木梁的侧面积=，．
=，．…………………10分
设，．∵，
∴当，即时，最大． …………………12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． …………………13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． …………………14分
18．解：（1）由已知，得 解得 …………………2分
所以椭圆的标准方程为． …………………3分
（2）设点，则中点为．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得（舍），，从而． …………………5分
所以点的坐标为． …………………6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴，整理，得．…………………8分
∵三点共线，∴，整理，得．…………………10分
∵点在椭圆上，∴，．
从而
． …………………14分
所以． …………………15分
∴为定值，定值为． …………………16分
19．解：（1）若λ = 1，则，．
又∵， ∴， ………………… 2分
∴，
化简，得．① ………………… 4分
∴当时，．②
② ①，得， ∴（）． ………………… 6分
∵当n = 1时， ，∴n = 1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n1（）． …………………8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分
要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． ………………… 11分
当λ = 0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，， ………………… 13分
从而，
化简，得，所以． ……………… 15分
综上所述，（），
所以λ = 0时，数列是等差数列． ………………… 16分
20．解：（1），令，得x = 1． ………………… 1分
列表如下：
x
（∞，1）
1
（1，∞）
0
g(x)
↗
极大值
↘
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． …………………3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数． …………………4分
设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数． …………………5分
设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立． …………………6分
∴恒成立．
设，∵=，x[3，4]，
∴，∴< 0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 ． ………………… 8分
∴a≥3 ，∴的最小值为3 ． …………………9分
（3）由（1）知在上的值域为． …………………10分
∵，，
当时，在为减函数，不合题意． ………………… 11分
当时，，由题意知在不单调，
所以，即．① …………………12分
此时在上递减，在上递增，
∴，即，解得．②
由①②，得． …………………13分
∵，∴成立． …………………14分
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为． …………………16分
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结．是圆的切线，∴． …………………2分
，∴． ∴． …………………4分
圆是四边形的外接圆，∴． …………………6分
∴∽． …………………8分
∴， ，∴． …………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：矩阵M的特征多项式为．
令，对应的一个特征向量分别为，． …5分
令，得．
．……………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）圆的直角坐标方程为． …………………5分
（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为．…………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
解：的最小值为， …………………5分
由题设，得，解得． …………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则
…………………2分
==． …………………4分
（2）由题意．
，，，，
．
的分布表为
1
2
3
4
5
…………………8分
的数学期望． …………………10分
23．解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，
∵，，
，
∴
=．
∴当为奇数时，成立． …………………5分
同理可证，当为偶数时， 也成立． …………………6分
（2）由
，得
=
=
=． …………………9分
又由，得，
所以，． …………………10分
浙公网安备 33021202002483