1、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6，BC=8，现在要把它加工成一个正方形零件，试说明下面哪种加工
方法
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利用率高？
解：方法一：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则CD=DE=x，AD=AC﹣CD=6﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
=
，即
=
，即得x=
，
即正方形CDEF边长为
；
方法二：当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CM⊥AB于M，交CD于N，
AB=
=10，
∵
CM?AB=
AC?BC，
∴CM=
=
，
设正方形DEFG边长为x，则DG=MN=x，CN=
﹣x.
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴
=
，即
=
，解得x=
，
∵
=
＞
，
∴采用方法一利用率高．
2、如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．
解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴
，
而AN=AM﹣MN=AM﹣DE，∴
，
解之得DE=4.8．∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，
如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴y=x2，
此时x的范围是0＜x≤4.8，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（3），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即
，而AN=AM﹣MN=AM﹣EP，
∴
，解得EP=8﹣
x．
所以y=x（8﹣
x），即y=﹣
x2+8x，
由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，
当4.8＜x＜12时，因为
，所以当
时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大=﹣
×62+8×6=24；因为24＞23.04,所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．
3、在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），
（1）当t为何值时，四边形PABQ的面积为30cm2；
（2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．
【解答】解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=2×t=2t．
∴OQ=6﹣t．
∴30=
OA?OB﹣
×OP×OQ=
×12×6﹣
×2t（6﹣t），
解得t=3+
，或t=3﹣
∴当t为3+
，或t=3﹣
时四边形PABQ的面积为30cm2；
（2）1、若△POQ∽△AOB时，
=
，
即
=
，
整理得：6﹣t=t，
解得：t=3，
所以当t=3时，△POQ与△AOB相似．
2、若△POQ∽△AOB时,OQ ：OA=OP：OB
即(6-t) ：12=2t: ：6
整理得：15t=18
解得：t=1.2，
所以当t=1.2时，△POQ与△AOB相似．
综上所述：当t=3或1.2秒时，△POQ与△AOB相似
4、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x值．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
，即
，
∴
，
∴y=S梯形ABCN=
（
+4）?4
=﹣
x2+2x+8
=﹣
（x﹣2）2+10，
∴当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10．
（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有
，
由（1）知
，
∴
=
，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．
方法二：过点M作ＭＰ⊥ＡＮ，垂足为Ｐ
由题意可知ＡＭ为∠ＢＡＮ的角平分线
∴BM=MＰ
由题意可知ＮＭ为∠ＡＮC的角平分线
∴MＰ=MC
∴BM=MC
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2
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