离散数学课后习题答案(第二章)

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2-1,2-2（1）用谓词 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式写出下列命题。a)小张不是工人。解：设W（x）：x是工人。c：小张。则有()Wc¬b)他是田径或球类运动员。解：设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他则有S（h）∨B（h）c)小莉是非常聪明和美丽的。解：设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。则有C（l）∧B（l）d）若m是奇数，则2m不是奇数。解：设O（x）：x是奇数。则有O（m）→¬O（2m）。e)每一个有理数是实数。解：设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（∀x）（Q（x）→R（x））f)某些实数是有理数。解：设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（∃x）（R（x）∧Q（x））g)并非每个实数都是有理数。解：设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有¬（∀x）（R（x）→Q（x））h)直线A平行于直线B，当且仅当直线A不相交于直线B。解：设P（x，y）：直线x平行于直线y，G（x，y）：直线x相交于直线y。则有P（A，B）�¬G（A，B）（2）找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。a)所有的教练员是运动员。（J(x)，L(x)）解：设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。则有（∀x）（J（x）→L（x））b)某些运动员是大学生。（S(x)）解：设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。则有（∃x）（L（x）∧S（x））c)某些教练是年老的，但是健壮的。（O(x)，V（x））解：设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。则有（∃x）（J（x）∧O（x）∧V（x））d)金教练既不老但也不健壮的。（j）解：设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练则有¬O（j）∧¬V（j）e)不是所有的运动员都是教练。解：设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。则¬（∀x）（L（x）→J（x））f)某些大学生运动员是国家选手。（C（x））解：设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。则有（∃x）（S（x）∧L（x）∧C（x））g)没有一个国家选手不是健壮的。解：设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。则有（∀x）（C（x）→V（x））或¬（∃x）（C（x）∧¬V（x））h)所有老的国家选手都是运动员。解：设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x是运动员。则有（∀x）（O（x）∧C（x）→L（x））i)没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。（W（x），H（x））解：设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。则有¬（∃x）（W（x）∧C（x）∧H（x））j）有些女同志既是教练员又是国家选手。解：W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。则有（∃x）（W（x）∧J（x）∧C（x））k）所有运动员都钦佩某些教练。（A（x，y））解：L（x）：x是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。则有（∀x）（L（x）→（∃y）（J（y）∧A（x，y）））l）有些大学生不钦佩运动员。解：设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。A(x,y)：x钦佩y。则（∃x）（S（x）∧（∀y）（L（y）→¬A(x,y)））习题2-3（1）令()Px为“x是质数”；()Ex为“x是偶数”；()Ox为“x是奇数”；(,)Dxy为“x除尽y”，把以下各式翻译成汉语：解：a）(5)P。解：5是质数。b）(2)(2)EP∧。解：2是偶数且2是质数。c）()((2,)())xDxEx∀→。解：对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。d）()(()(,6))xExDx∃∧。解：存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）e）()(()(2,))xExDx∀¬→¬。解：对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。f）()(()()((,)()))xExyDxyEy∀→∀→。解：对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。g）()(()()(()(,)))xPxyEyDxy∀→∃∧。解：对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。h）()(()()(()(,)))xOxyPyDxy∀→∀→¬。解：对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。（2）令(),(),(,,),(,)PxLxRxyzExy分别表示“x是一个点”，“x是一条直线”，“z通过x和y”和“x=y”。符号化下面的句子。对每两个点有且仅有一条直线通过该两点。解：（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(!z)(L(z)∧R(x,y,z)))或（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(z)(L(z)∧R(x,y,z)∧┐(u)(┐E(z,u)∧L(u)∧R(x,y,u))))（3）利用谓词公式翻译下列命题。A）如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零。B）对于每一个实数x，存在一个更大的实数y。C）存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。解：a)设N(x):x是有限个数的乘积。z(y):y为0。P(x):x的乘积为零。F(y):y是乘积中的一个因子。则有(x)((N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧z(y)))b)设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。故(x)(R(x)→(y)(Q(x,y)∧R(y)))c)R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。则(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)（4）用谓词公式写出下式：若xy<和0z<，则xzyz>。解：设G(x,y):x大于y。则有(x)(y)(z)(G(y,x)∧G(0,z)→G(x·z,y·z))（5）自然数一共三条公理：A）每个数都有唯一的一个数是它的后继数。B）没有一个数使数1是它的后继数。C）每个不等于1的数都是唯一的一个数是它的直接先行者。用两个谓词表达上述三条公理。解：设N(x):x是一个数。S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则a)(x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y)))或(x)(N(x)→(y)(N(y)∧S(x,y)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(x,z))))b)┐(x)(N(x)∧S(x,1))c)(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y)∧S(y,x)))或(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(y)(N(y)∧S(y,x)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(z,x))))（6）用谓词公式刻画下述命题：那位戴眼睛的用功的大学生在看这本而厚的巨著。解：设S(x):x是大学生。E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。R(x,y):x在看y。G(y):y是大的。K(y):y是厚的。J(y):y是巨著。a:这本。b:那位。则有E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：f在点a连续，当且仅当对每个0ε>，存在一个0δ>，使得对所有x，若xaδ−<，则()()fxfaε−<。把上述定义用符号化的形式表达。解：设P(x,y):x在y连续。Q(x,y):x>y。则P(f,a)((ε)(δ)(x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))习题2-4(1)对下面每个公式指出约束变元和自由变元。A）()()()xPxpy∀→B）()(()())()()xPxQxxSx∀∧∧∃C）()()(()())()()xyPxQyxRx∃∀∧→∀D）()()((,)())xyPxyQz∃∃∧解：a)x是约束变元，y是自由变元。b)x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词的约束，S(x)中的x受存在量词$的约束。c)x，y都是约束变元,P(x)中的x受的约束，R(x)中的x受的约束。d)x，y是约束变元，z是自由变元。(2)如果论域是集合{},,abc，试消去下面公式中的量词。A）()()xPx∀B）()()()()xRxxSx∀∧∀C）()(()())xPxQx∀→D）()()()()xPxxPx∀¬∨∀解：a)P(a)∧P(b)∧P(c)b)R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)c)(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)d)(┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))(3)寻求下列各式的真假值。A）()(()())xPxQx∀∨，其中():1,():2PxxQxx==，且论域是{}1,2B）()(())()xPQxRa∀→∨，其中:21,():3,():5PQxxRxx>≤>而:5a，论域是{}2,3,6−解：a)(x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T)⇔T。b)(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)因为P为T，Q(−2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔F(4)对下列谓词公式中的约束变元进行换名。A）((,)()(,)xyPxzQySxy∀∃→�B）(()(()()))())(,)xPxRxQxxRxzSxz∀→∨∧∃→∃解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y)b)(u)(P(u)→(R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z)(5)对下列谓词公式中的自由变元进行代入。A）((,)(,))(,,)yAxyxBxzxzCxyz∃→∀∧∃∀B）((,)(,))(,)yPxyzQxzxRxy∀∧∃∨∀解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z)b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t)习题2-5（1）考虑以下赋值，论域：{}1,2D=指定常数a和b：ab12指定函数f：指定谓词P：求以下各公式的真值。(1)f(2)f21(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)PTTFFA）(,())(,())PafaPbfb∧B）()()(,)xyPyx∀∃C）()()((,)((),()))xyPxyPfxfy∀∀→解：a)P(a,f(a))∧P(b,f(b))⇔P(1,f(1))∧P(2,f(2))⇔P(1,2)∧P(2,1)⇔T∧F⇔Fb)(∀x)(∃y)P(y,x)⇔(∀x)(P(1,x)∨P(2,x))⇔(P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))⇔(T∨F)∧(T∨F)⇔Tc)(∀x)(∀y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))⇔(∀x)((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2)→P(f(x)f(2))))⇔(P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2)→P(f(2),f(2)))⇔(P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))⇔(T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)⇔F∧F∧T∧T⇔F（2）对以下各公式赋值后求真值。A）()(()((),))xPxQfxa∀→B）()((())(,())xPfxQxfa∃∧C）()(()(,))xPxQxa∃∧D）()()(()(,))xyPxQxy∀∃∧其中，论域{}1,2,1;Da==:fP：:Q(1)f(2)f21(1)P(2)PFT(1,1)Q(1,2)Q(2,1)Q(2,2)QTTFF解：a)(∀x)(P(x)→Q(f(x),a))⇔(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))⇔(F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))⇔(F→F)∧(T→T)⇔Tb)(∃x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))⇔(P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))⇔(T∧T)∨(F∧F)⇔Tc)(∃x)(P(x)∧Q(x,a))⇔(P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))⇔(P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))⇔(F∧T)∨(T∧F)⇔Fd)(∀x)(∃y)(P(x)∧Q(x,y))⇔(∀x)(P(x)∧(∃y)Q(x,y))⇔(∀x)(P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))⇔(P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))⇔(F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))⇔F(3)举例说明下列各蕴含式。a)⎤((∃x)(P(x)∧Q(a))⇒(∃x)P(x)→⎤Q(a)b)(∀x)(⎤P(x)→Q(x)),(∀x)⎤Q(x)⇒P(a)c)(∀x)(P(x)→Q(x)),(∀x)(Q(x)→R(x))⇒(∀x)(P(x)→R(x))d)(∀x)(P(x)∨Q(x)),(∀x)⎤P(x)⇒(∃x)Q(x)e)(∀x)(P(x)∨Q(x)),(∀x)⎤P(x)⇒(∀x)Q(x)解：a）因为⎤((∃x)(P(x)∧Q(a))⇔⎤(∃x)P(x)∨⎤Q(a)故原式为⎤(∃x)P(x)∨⎤Q(a)⇒(∃x)P(x)→⎤Q(a)设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员前提：或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员结论：如果存在x是大学生，则必有a是运动员。b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。对论域中所有x，x不是大学生。结论：对论域中所有x都是研究生。故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。前提：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提：对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论：必存在x，x是运动员。e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提：对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论：对所有x，x是运动员。（4）求证：()(()()()()()()xAxBxxAxxBx∃→⇔∀→∃ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：(∃x)(A(x)→B(x))⇔(∃x)(┐A(x)∨B(x))⇔(∃x)┐A(x)∨(∃x)B(x)⇔┐(∀x)A(x)∨(∃x)B(x)⇔(∀x)A(x)→(∃x)B(x)（5）设论域D={a，b，c}，求证(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒(∀x)(A(x)∨B(x))证明：因为论域D={a，b，c}，所以(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇔(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))⇔(A(a)∨B(a))∧(A(a)∨B(b))∧(A(a)∨B(c))∧(A(b)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(b)∨B(c))∧(A(c)∨B(a))∧(A(c)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))⇒(A(a)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))⇔(∀x)(A(x)∨B(x))所以(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒(∀x)(A(x)∨B(x))（7）求证(∀x)(∀y)(P(x)→Q(y))⇔(∃x)P(x)→(∀y)Q(y)证明：(∀x)(∀y)(P(x)→Q(y))⇔(∀x)(∀y)(┐P(x)∨Q(y))⇔(∀x)┐P(x)∨(∀y)Q(y)⇔┐(∃x)P(x)∨(∀y)Q(y)⇔(∃x)P(x)→(∀y)Q(y)习题2-6（1）把以下各式化为前束范式。解：a)(∀x)(P(x)→(∃y)Q(x,y))⇔(∀x)(┐P(x)∨(∃y)Q(x,y))⇔(∀x)(∃y)(┐P(x)∨Q(x,y))b)(∃x)(┐((∃y)P(x,y))→((∃z)Q(z)→R(x)))⇔(∃x)((∃y)P(x,y)∨((∃z)Q(z)→R(x)))⇔(∃x)((∃y)P(x,y)∨(┐(∃z)Q(z)∨R(x)))⇔(∃x)((∃y)P(x,y)∨((∀z)┐Q(z)∨R(x)))⇔(∃x)(∃y)(∀z)(P(x,y)∨┐Q(z)∨R(x))c)(∀x)(∀y)(((∃zP(x,y,z)∧(∃u)Q(x,u))→(∃v)Q(y,v))⇔(∀x)(∀y)(┐((∃z)P(x,y,z)∧(∃u)Q(x,u))∨(∃v)Q(y,v))⇔(∀x)(∀y)((∀z)┐P(x,y,z)∨(∀u)┐Q(x,u)∨(∃v)Q(y,v))⇔(∀x)(∀y)((∀z)┐P(x,y,z)∨(∀u)┐Q(x,u)∨(∃v)Q(y,v))⇔(∀x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)(┐P(x,y,z)∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))（2）求等价于下面wff的前束合取范式与前束析取范式。解：a)((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))→(∃x)(P(x)∨Q(x))⇔┐((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))∨(∃x)(P(x)∨Q(x))⇔┐(∃x)(P(x)∨Q(x))∨(∃x)(P(x)∨Q(x))⇔Tb)(∀x)(P(x)→(∀y)((∀z)Q(x,y)→┐(∀z)R(y,x)))⇔(∀x)(┐P(x)∨(∀y)(Q(x,y)→┐R(y,x)))⇔(∀x)(∀y)(┐P(x)∨┐Q(x,y)∨┐R(y,x))前束合取范式⇔(∀x)(∀y)((P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨((P(x)∧┐Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x)))前束析取范式c)(∀x)P(x)→(∃x)((∀z)Q(x,z)∨(∀z)R(x,y,z))⇔┐(∀x)P(x)∨(∃x)((∀z)Q(x,z)∨(∀z)R(x,y,z))⇔(∃x)┐P(x)∨(∃x)((∀z)Q(x,z)∨(∀u)R(x,y,u))⇔(∃x)(┐P(x)∨(∀z)Q(x,z)∨(∀u)R(x,y,u))⇔(∃x)(∀z)(∀u)(┐P(x)∨Q(x,z)∨R(x,y,u))前束合取范式⇔(∃x)(∀z)(∀u)((P(x)∧Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u)))前束析取范式d)(∀x)(P(x)→Q(x,y))→((∃y)P(y)∧(∃z)Q(y,z))⇔┐(∀x)(┐P(x)∨Q(x,y))∨((∃y)P(y)∧(∃z)Q(y,z))⇔(∃x)(P(x)∧┐Q(x,y))∨((∃u)P(u)∧(∃z)Q(y,z))⇔(∃x)(∃u)(∃z)((P(x)∧┐Q(x,y))∨(P(u)∧Q(y,z)))前束析取范式⇔(∃x)(∃u)(∃z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y,z))∧(┐Q(x,y)∨P(u))∧(┐Q(x,y)∨Q(y,z)))前束合取范式习题2-7(1)证明下列各式证明：a)①(∀x)(┐A(x)→B(x))P②┐A(u)→B(u)US①③(∀x)┐B(x)P④┐B(u)US③⑤A(u)∨B(u)T②E⑥A(u)T④⑤I⑦(∃x)A(x)EG⑥b)①┐(∀x)(A(x)→B(x))P（附加前提）②(∃x)┐(A(x)→B(x))T①E③┐(A(c)→B(c))ES②④A(c)T③I⑤┐B(c)T③I⑥(∃x)A(x)EG④⑦(∃x)A(x)→(∀x)B(x)P⑧(∀x)B(x)T⑥⑦I⑨B(c)US⑧⑩B(c)∧┐B(c)T⑤⑨矛盾c）①(∀x)(A(x)→B(x))P②A(u)→B(u)US①③(∀x)(C(x)→┐B(x))P④C(u)→┐B(u)US③⑤┐B(u)→┐A(u)T②E⑥C(u)→┐A(u)T④⑤I⑦(∀x)(C(x)→┐A(x))UG⑥d)(∀x)(A(x)∨B(x)),(∀x)(B(x)→┐C(x)),(∀x)C(x)⇒(∀x)A(x)①(∀x)(B(x)→┐C(x))P②B(u)→┐C(u)US①③(∀x)C(x)P④C(u)US③⑤┐B(u)T②④I⑥(∀x)(A(x)∨B(x))P⑦A(u)∨B(u)US⑧A(u)T⑤⑦I⑨(∀x)A(x)UG⑧(2)用CP 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 证明。证明：a)①(∀x)P(x)P（附加前提）②P(u)US①③(∀x)(P(x)→Q(x))P④P(u)→Q(u)US③⑤Q(u)T②④I⑥(∀x)Q(x)UG⑤⑦(∀x)P(x)→(∀x)Q(x)CPb)因为(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)⇔┐(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)故本题就是推证(∀x)(P(x)∨Q(x))⇒┐(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)①┐(∀x)P(x)P（附加前提）②(∃x)┐P(x)T①E③┐P(c)ES②④(∀x)(P(x)∨Q(x))P⑤P(c)∨Q(c)ES④⑥Q(c)T③⑤I⑦(∃x)Q(x)EG⑥⑧┐(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)CP(3)符号化下列命题并推证其结论。A）所有的有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。B）任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。C）每个大学生不是文科生就是理科生，有的大学生是优等生，小张不是理科生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科生。解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。本题符号化为：(∀x)(Q(x)→R(x))∧(∃x)(Q(x)∧I(x))⇒(∃x)(R(x)∧I(x))①(∃x)(Q(x)∧I(x))P②Q(c)∧I(c)ES①③(∀x)(Q(x)→R(x))P④Q(c)→R(c)US③⑤Q(c)T②I⑥R(c)T④⑤I⑦I(c)T②I⑧R(c)∧I(c)T⑥⑦I⑨(∃x)(R(x)∧I(x))EG⑧b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车本题符号化为：(∀x)(P(x)→┐Q(x)),(∀x)(Q(x)∨R(x)),(∃x)┐R(x)⇒(∃x)┐P(x)①(∃x)┐R(x)P②┐R(c)ES①③(∀x)(Q(x)∨R(x))P④Q(c)∨R(c)US③⑤Q(c)T②④I⑥(∀x)(P(x)→┐Q(x))P⑦P(c)→┐Q(c)US⑥⑧┐P(c)T⑤⑦I⑨(∃x)┐P(x)EG⑧c)每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。S（x）：x是优秀生。c：小张。本题符号化为：(∀x)(G(x)→L(x)∨P(x)),(∃x)(G(x)∧S(x)),┐P(c),S(c)⇒G(c)→L(c)①G(c)P（附加前提）②(∀x)(G(x)→L(x)∨P(x))P③G(c)→L(c)∨P(c)US②④L(c)∨P(c)T①③I⑤┐P(c)P⑥L(c)T④⑤I⑦G(c)→L(c)CP注意：本题推证过程中未用到前提(∃x)(G(x)∧S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。