辽宁省沈阳市第一二〇中学2022届高三上学期第四次质量监测数学试题+Word版含答案

PAGE\*MERGEFORMAT1沈阳市第120中学2021—2022学年度高三上第四次质量检测科目：数学满分：150分时间：120分钟单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每个小题只有一项符合要求）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．函数的图像如图所示，则的解析式可以为（）A．B．C．D．5．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章相邻的学法有（）A．36种B．48种C．72种D．144种6．已知直线上有三点，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（）A．B．3C．D．7．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项8．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（）A．B．C．D．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34（单位为），下列说法正确的有（）A．众数为34B．中位数与50％分位数相等C．80％分位数是37D．极差为610．将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（）A．函数在区间上为增函数B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C．点是函数的图象的一个对称中心D．函数在上的最大值为11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．当离心率为时，的最大值为C．不存在点Q，使得D．离心率的取值范围为12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（）A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为B．异面直线与所成的角的余弦值为C．多面体的体积为D．球面上的点离球托底面的最小距离为填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.若复数，则___________.14.已知，则_____________．15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数．则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值________．16．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.解答题（本题共6题，共70分）17.（本题满分10分）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题.问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________.（1）求；（2）若，且，求数列的前项和.18．（本题满分12分）在中，角所对边分别为，，，，且为边上的中线，点在上，满足.（1）求及线段的长；（2）求的面积.19．（本题满分12分）如图，为圆的直径，点E，F在圆上，AB//EF，矩形ABCD和圆所在的平面互相垂直，已知．（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为120°．20．（本题满分12分）已知点是一个动点，直线与直线垂直，垂足为点且位于第一象限，直线与直线垂直，垂足为点且位于第四象限，且四边形（为坐标原点）的面积为2.动点的轨迹记为.（1）求的方程.（2）设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：（天）1234567（秒）990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）18450.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.22．（本题满分12分）已知函数．（1）若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，若，求的最小值．沈阳市第120中学2021—2022学年度高三上第四次质量检测数学（答案）一．单选题BABACDDA二．多选题9．ABC10．AD11.ABC12.BCD三．填空题13.14.15.16．四．解答题17.（1）解：①：因为、、成等比数列，则，即，因为，可得.②：，可得.③：，可得，可得..….…2分若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，.….…4分（2）解：，且，则，.….…5分所以，当时，则有，也满足，故对任意的，，.….….….…7分则，所以，.….…10分18.（1）由正弦定理得，则，又.….…3分，解得（负值舍去），即.….…5分（2）由得为的角平分线，.….…6分过作的垂线，垂足分别为，则又，得.….….….…9分..….….….…12分19.解：（1）：平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，所以平面，因为平面所以平面平面.….…4分（2）设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），设，则点D的坐标为，，设平面DCF的法向量为)，则，即取，则，.….…8分由（1）可知平面，平面的一个法向量为…10分解得,所以线段…….…12分20.解（1），则.….…3分,由题意得的方程.….…5分（2）设，，，设直线的方程为，即，联立，得，.….…7分则，且，，.….…9分.假设存在点满足则，整理得，.….…11分但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点..….…12分21.（1）由题意，，.….…1分令，设关于的线性回归方程为，则，.….…3分则..….…4分∴，又，∴关于的回归方程为，.….…5分故时，.∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒..….…6分（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负..….…7分当时，小明胜，∴；.….…8分当时，小明胜，∴；.….…9分当时，小明胜，∴..….…10分∴小明最终赢得比赛的概率为..….…12分22（1）解：恒成立.….…1分设，则，.….…2分设，..….…3分.….…5分（2）解：当时，，由，所以，.….…7分所以，.….…8分令，则，即，.….…9分令令所以时，，单调递减，时，，单调递增，由于，所以在上有唯一的零点，且满足，.….…11分所以，所以，当且仅当时等号成立..….…12分