高等数学下册试题题库及参考答案

LastrevisedbyLELEin2021高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 试题题库及参考答案高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1.已知A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：（A）A）B）C）6D）9解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2.设a={1,-1,3},b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（B）A）{-1,1,5}.B）{-1,-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,-1,6}.解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3.设a={1,-1,3},b={2,1,-2}，求用标准基i,j,k表示向量c=a-b;（A）A）-i-2j+5kB）-i-j+3kC）-i-j+5kD）-2i-j+5k解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k.4.求两平面和的夹角是：（C）A）B）C）D）解　由公式（6-21）有　　　，因此，所求夹角．5.求平行于轴，且过点和的平面方程．是：（D）A）2x+3y=5=0B）x-y+1=0C）x+y+1=0D）．解　由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为因为平面过、两点，所以有解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求的平面方程6．微分方程的阶数是(D)。A．3B．4C．5D．27．微分方程的通解中应含的独立常数的个数为(A)。A．3B．5C．4D．28．下列函数中，哪个是微分方程的解(B)。A．B．C．D．9．微分方程的一个特解是(B)。A．B．C．D．10．函数是下列哪个微分方程的解(C)。A．B．C．D．11．是方程的(A)，其中，为任意常数。A．通解B．特解C．是方程所有的解D．上述都不对12．满足的特解是(B)。A．B．C．D．13．微分方程的一个特解具有形式(C)。A．B．C．D．14．下列微分方程中，(A)是二阶常系数齐次线性微分方程。A．B．C．D．15．微分方程满足初始条件的特解为(A)。A．B．C．D．16．在下列函数中，能够是微分方程的解的函数是(C)。A．B．C．D．17．过点且切线斜率为的曲线方程应满足的关系是(C)。A．B．C．，D．，18．下列微分方程中，可分离变量的是(B)。A．B．(,,是常数)C．D．19．方程的通解是(C)。A．B．C．D．20．微分方程满足的特解是(A)。A．B．C．D．21．微分方程的通解是(B)。A．B．C．D．22．微分方程的解为(B)。A．B．C．D．23．下列函数中，为微分方程的通解是(B)。A．B．C．D．24．微分方程的通解为(A)。A．B．C．D．25．微分方程的通解是(D)。A．B．C．D．26．的通解为(C)。A．B．C．D．27．按照微分方程通解定义，的通解是(A)。A．B．C．D．一、单项选择题2．设函数在点处连续是函数在该点可偏导的（D)(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件.3．函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的(B).(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件.4．对于二元函数,下列结论正确的是().C若,则必有且有;若在处和都存在,则在点处可微;若在处和存在且连续,则在点处可微;若和都存在,则..6.向量，则（A）(A)3(B)(C)(D)25．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则=（C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），则=（B）(A)(B);(C);(D)-2;7．设为园域,化积分为二次积分的正确方法是_________.DA.B.C.D.8．设,改变积分次序,则BA.B.C.D.二次积分可以写成___________.DA.B.C.D.10．设是由曲面及所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分表示为三次积分，CA．B.C．D．11．设为面内直线段，其方程为，则（C）（A）（B）（C）0（D）12．设为面内直线段，其方程为，则（C）（A）（B）（C）0（D）13．设有级数,则是级数收敛的（D）(A)充分条件；(B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件;14．幂级数的收径半径R=（D）(A)3(B)0(C)2(D)115．幂级数的收敛半径（A）(A)1(B)0(C)2(D)316．若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为（A）(A)(B)(C)(D)无法求得17.若,则级数()DA.收敛且和为B.收敛但和不一定为C.发散D.可能收敛也可能发散18.若为正项级数,则()A.若,则收敛B.若收敛,则收敛BC.若,则也收敛D.若发散,则19.设幂级数在点处收敛,则该级数在点处()AA.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定20.级数,则该级数()BA.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散二、填空题（每题4分，共20分）1.ab=（公式）答案∣a∣∣b∣cos()2.a=(ax，ay，az)，b=(bx，by，zbz)则a·b=（计算）答案axbx+ayby+azbz3.答案4.答案5.平面的点法式方程是答案6.设，其定义域为()7.设，则()8.在点处可微分是在该点连续的的条件，在点处连续是在该点可微分的的条件.(充分，必要)9.在点的偏导数及存在是在该点可微分的条件.(必要)10.在横线上填上方程的名称①方程的名称是答案可分离变量微分方程；②方程的名称是答案可分离变量微分方程；③方程的名称是答案齐次方程；④方程的名称是答案一阶线性微分方程；⑤方程的名称是答案二阶常系数齐次线性微分方程.11.在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.[解]：M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,－c)，M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a,b,c)，M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b,c)，M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(－a,b,－c)，M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b,c).类似考虑P(2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件（1）（2）（3）（4）（5）[解]：（1）所在的直线垂直时有；（2）同向时有（3）且反向时有（4）反向时有（5）同向，且时有13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点二、填空题1．设，则___1___.2．设，则=____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是5．柱面坐标下的体积元素6．设积分区域,且,则3。7．设由曲线所围成,则8．设积分区域为,9．设在[0，1]上连续，如果，则=_____9________.10．设为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则.11．设为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则012．等比级数当时，等比级数收敛.13．当____时，级数是收敛的.14．当_________时,级数是绝对收敛的.15．若,则,16．若,则17．设,则18．设,则19.积分的值等于,设为园域,若,则221.设,其中,则三、是非题（每题4分，共20分）1.初等函数的定义域是其自然定义域的真子集.(ⅹ)2..(ⅹ)3..(ⅹ)4.对于任意实数,恒有成立.(ⅹ)5.是指数函数.(ⅹ)6.函数的定义域是.(ⅹ)7..(√)8.如果对于任意实数,恒有,那么为常函数.(√)9.存在既为等差数列,又为等比数列的数列.(√)10.指数函数是基本初等函数.(√)11..(√)12.函数为基本初等函数.(√)13..(ⅹ)14.是基本初等函数.(ⅹ)15.与是等价无穷小量.(ⅹ)16.与为等价无穷小量.(ⅹ)17.若函数在区间上单调递增,那么对于任意,恒有.(ⅹ)18.存在既为奇函数又为偶函数的函数.(ⅹ)19.当奇函数在原点处有定义时,一定成立.(√)20.若偶函数连续,那么函数为奇函数.(√)21.若奇函数连续,那么函数为偶函数.(√)22.偶函数与奇函数的乘积为奇函数.(√)23.奇函数与奇函数的乘积为偶函数.(√)24.若函数为奇函数,那么一定成立.(√)25.若函数为偶函数,那么一定成立.(ⅹ)26..(ⅹ)27..(ⅹ)28..(ⅹ)29..(ⅹ)30.单调函数一定存在最大值与最小值.(ⅹ)31.单调函数一定存在反函数.(√)32.互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.(√)33.若定义域为的函数存在反函数,那么在区间上单调.(√)34..(√)35.对于任意的,恒有.(√)36.函数的三要素为:定义域,对应法则与值域.(√)37.若函数在其定义域内处处有切线,那么该函数在其定义域内处处可导.(ⅹ)38.空集是任意初等函数的定义域的真子集.(ⅹ)39.为初等函数.(ⅹ)40.对于任意的,恒有.(ⅹ)41.左右导数处处存在的函数,一定处处可导.(ⅹ)下列题（1．×；2．×；3．√；4．×；5．√）1．任意微分方程都有通解。(×)2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(×)3．函数是微分方程的解。(√)4．函数是微分方程的解。(×)5．微分方程的通解是(为任意常数)。(√)下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。()2．若，都是的特解，且与线性无关，则通解可表为。()3．函数是微分方程的解。()4．曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是(是任意常数)。()5．微分方程，满足初始条件的特解为。()是非题（1．×；2．√；）1．只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解。2．已知二阶线性齐次方程的一个非零解，即可四、计算 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 题（每题10分，共40分）1、判断积数收敛性解：由比值法，级数发散2．解：两边同除以，得：即3．解：两边同除以，得令则即得到，即另外也是方程的解。4．解：得到即另外也是方程的解。5．求方程的通解.解:所给方程的特征方程为所求通解为.6.求.解7．求方程的通解.解所给方程的特征方程为其根为所以原方程的通解为8.证明极限不存在8)因为,所以极限不存在9.证明极限不存在9)设y2=kx，不等于定值，极限不存在10.计算其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x21yx于是注积分还可以写成11．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex,x=0y=1时c=1特解为y=e.12.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydx=-(x+1)dydy=-dx两边积分:-=-ln|x+1|+ln|c|y=另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=13.解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：14．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得15.求解16.求zx23xyy2在点(12)处的偏导数　　解　17.设zx3y23xy3xy1求、、和　解18.验证函数满足方程　　证因为所以　　因此　19.计算函数zx2yy2的全微分解因为所以dz2xydx(x22y)dy20.函数z3x24y2在点(00)处有极小值当(xy)(00)时z0而当(xy)(00)时z0因此z0是函数的极小值21.函数在点(00)处有极大值当(xy)(00)时z0而当(xy)(00)时z0因此z0是函数的极大值22.已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积由于(222)(124)因此4i6j2k于是23.设有点A(123)和B(214)求线段AB的垂直平分面的方程解由题意知道所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹设M(xyz)为所求平面上的任一点则有|AM||BM|即等式两边平方然后化简得2x6y2z70这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程所以这个方程就是所求平面的方程24.求过点(230)且以n(123)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0即x2y3z8025.求通过x轴和点(431)的平面的方程解平面通过x轴一方面表明它的法线向量垂直于x轴即A0另一方面表明它必通过原点即D0因此可设这平面的方程为ByCz0又因为这平面通过点(431)所以有3BC0或C3B将其代入所设方程并除以B(B0)便得所求的平面方程为y3z026.求直线L1:和L2:的夹角解两直线的方向向量分别为s1(141)和s2(221)设两直线的夹角为则所以例1求幂级数的收敛半径与收敛域解因为所以收敛半径为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为是发散的因此收敛域为(1,1]例2求幂级数的收敛域解因为所以收敛半径为R从而收敛域为(,)例3求幂级数的收敛半径解因为所以收敛半径为R0即级数仅在x0处收敛例5计算其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解因为在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分与路径无关讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立提示这里和在点(00)不连续因为当x2y20时所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论未必成立例6验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里Pxy2Qx2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为