第三章导数及其应用3.1.2导数的概念自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况。物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。例1、自由落体运动的运动方程为s=-gt2，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段时间内的平均速度（位移的单位为m）。12解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)所以同理例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。上面是计算了△t>0时的情况下面再来计算△t<0时的情况解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)所以设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g2.9995g-0.0013.0005g0.0012.995g-0.013.005g0.012.95g-0.13.05g0.1v△t<0v△t>0--各种情况的平均速度在t=3s这一时刻的瞬时速度等于在3s到(3+△t)s这段时间内的平均速度当△t→0的极限，设物体的运动方程是s=s(t),物体在时刻t的瞬时速度为v,一般结论就是物体在t到t+△t这段时间内,当△t→0时平均速度的极限，即P相切相交再来一次例２、QPQQT再来一次设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P及P点邻近的任一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，则直线PQ的斜率为上面我们研究了切线的斜率问
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,可以将以上的过程概括如下：当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，也即△x变小当△x→0时，PQ无限靠近PT因此：一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数记作： 或 即注意：1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。4、若极限 不存在，则称 函数在点x0处不可导。物体的运动方程s=s(t)在t0处的导数即在t0处的瞬时速度vt0函数y=f(x)在x0处的导数即曲线在x0处的切线斜率．导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增 长率，经济学上讲的一切边际量 等．例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。解：第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率就是f'(2)和f'(6)根据导数定义：所以，同理可得f'(6)=5f(x)=x2-7x+15f'(6)=5说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速度上升；说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降；练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t--gt2,求物体在时刻t0时的瞬时速度。12所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：(2)求平均变化率(3)取极限,得导数(1)求函数的增量练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：(1)求函数的增量(2)求平均变化率(3)取极限,得导数小结:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义。
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