数学文化试题

一、高考中设计以数学史为背境的问题，体现数学文化价值，这具有明显的导向信号。如下例：例1．（2010江西高考试题）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则（   ）A.=   B.<  C.>    D.以上三种情况都有可能【解析】:考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为江西省2010年的高考，本题给出一个强烈的导向信号—数学的生活性、历史价值。方法一：每箱的选中的概率为，总概率为；方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。其实，好几个省市的高考试题都出现了这种导向信号，如下：例2．（2009湖北第10题）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289  B.1024   C.1225   D.1378【解析】：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.例3（2009福建第15题）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.【解析】：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，，，所以有，又有一串数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…….由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。以上试题都具有深厚的古代数学历史背境，其中例2是根据莱因得纸草发现，古希腊数学家毕达哥拉斯非常关心什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形，像这样可以排列出美丽的正三角形的数叫做三角数；能排列出正方形的数叫做四角数，四角数构成了平方数；例3的古代数学背景是：在中世纪意大利数学家斐波那契在《算法之书》中，就提出了类似的一个问题“兔子数列”：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？逐月计算，我们可以得到如下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144………以后就把这组数叫做斐波那契数列。从数列角度可以归纳些数列的一个递推式：。其通项公式为，（注：此通顶公式可以用特征方程、待定系数法求解）。其实，沿着这样的足迹探索，我们会发现，在古代数学漫长的历史长河中，为我们提供了丰富的数学学习素材。二．探求能体现古代数学文化价值的背境，创编数学试题。创编试题一:1640年，著名数学家费马对形如的数进行计算，发现当n=1，2，3，4时对应的都是素数。于是得出一个猜想：“所有形如的数都是素数。”他这种推理方式是（    ）。①．类比推理 ②.归纳推理   ③.演绎推理 ④.合理推理;A.①③     B.②④      C.①④      D.②③简析：D。创编背境：著名数学家费马在数学界享有极高的威望，其中费马大小定理最让世人所称赞。但由于受当时条件的限制，他也无法继续验证n=5时这一结论的正确性与否，结果n=5时这一结论是错误的。通过这一问题，让学生了解大数学家也会犯小错误，让学生体会古代数学家艰辛探求真理的曲折历程，进一步了解数学推理的严谨性，培养良好的数学品质。创编试题二:如图是中国古代数学家程大位《算法统宗》载开方作法本原图，试根据它计算多项式（x+y）7展开后，各项的二顶式系和为（    ）。简析：1+7+21+35+35+21+7+1=27=128。创编背境：在我们古代数学家中，除了我们熟悉的杨辉、祖冲之，还有程大位……等好多杰出的人物。让学生了解我国古代数学家在数学方面的卓越贡献，了解我们学习数学的过程正是经历前辈的足迹，了解前辈们在探求过程中不同的观点，树立学生的探求意识，进一步巩固二顶式定理。创编试题三:依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1 +2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测（   ）。A．      B．      C．       D．简析：B创编背境：古希腊数学家Iamblichus（公元4世纪）在研究《算术引论》一书时发现：，                                          Iamblichus正是利用如图所示的正方形数的构造中发现上述结论的。创编试题四:古代埃及人使用的分数都是单分数（分子为1的分数），除外。今天，我们都把这个分数看作是最简分数，但是埃及的祭司却认为它可以化成三个分数之和：。，， ……试将下列分数表示成单分数的和:。简析：，，；创编背境：古埃及与我们中国一样都是文明古国，在数学方面也有它的独到之处。让学生了解数学的发展历程，体会方程思想的应用。创编试题五:奥雷姆的无穷级数求和法是几何代数法影响的特例。14世纪法国数学家奥雷姆曾利用几何直观方法（如下图）证明了无穷级数的和：；在奥雷姆看来，以几何图形来揭示无穷级数的和，比任何语言的表达都要清晰得多。试用类似方法求:简析：1。创编背境：让学生了解极限思想，感受数形结合的数学思想，体会代数问题几何化的优越性，提倡思维的多样性、探索性。创编试题六:设，试比较下列五种中项的大小：①算术中项：2 ),(babaAM+=；   ②几何中项：； ③调和中项：；④反调和中项：；⑤：均方根。试比较它们的大小。简析：创编背境：不等式中的均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式，是数学史上非常有名的定理，随着学习的深入，解决不等式的问题思路越来越广泛，往往一种方法证完后还意犹未尽，又可能产生第二种探求思路。同时，上述性质在培养学生灵活应用（放缩）有独到的作用。创编试题七:南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目是这样的：韩信练兵，每三人一列，余一人，每五人一列，余二人。每七人一列，余四人，十三人一列，余六人。问最少有多少士兵？简析：设所求数为：3a+1---①，或5b+2----②，或7c+4----③，或13d+6----④，同时满足①和②的自然数是7+15x,同时满足①、②、③的自然数是67+105y。由67+105y=13d+6,得13d=105y+61,d=8y+4+(y+9)/13,∵d、y是自然数，∴y最小为4，所求数最小为105×4+67=487，士兵人数为(487+1365n)人。创编背境：《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》（见图）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。通过这种试题，让学生经历古代数学大家解决问题的过程，感受古人的聪明才智。创编试题八:著名数学家华罗庚写过如下经典诗句：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”。试用这句诗中揭示的数学思想，解决下列问题；求函数的最大值和最小值。 简析：如图，本题是求三角函数的最值，现联想在直角坐标系，引入点P(3,2)，，则Q点的轨迹是椭圆:,而y是直线PQ的斜率，由图知直线PQ和椭圆相切时斜率取得最大和最小值，于是三角函数问题在平面解析几何中得到解决。设直线的方程为:,由相切的充要条件得解得    ∴创编背境：数形结合的数学思想，在数学的解题方法中占有重要的位置。著名数学家华罗庚一直提倡这种解决问题的方法。为此他专门写了一首诗：数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。在数学学习过程中，结合数学大家的事例，体现数学美，激发学生学习数学的兴趣。创编试题九:下列由二进制转化为十进制错误的是（    ） A．101(二进制)=4（十进制）       B．110(二进制)=6（十进制）C．101101(二进制)=45（十进制）  D．1011010101(二进制)=1725（十进制）简析：A。创编背境：我国在商代就有了完备的位值制，位值制就是把数字放在第n位就表示，说简单点就和现在的记数方法一样。同时的巴比伦有位值制，但是记数很混乱，而罗马的记数方式就极为笨重了，埃及和希腊都没有位值制。印度在大约公元7世纪从中国学到这套记数法以后发明了更简单的书写方式并传入阿拉伯，最终形成阿拉伯数字。举例如下：<1>比较小的十进制数为二进制数可以用观察法。例。化45为二进制数：因为2的0次方,1次方,2次方~~~10次方分别等于,（二进制）<2>二进制化为十进制。只需把二进制是写成展开式;计算即得：例。化1101101(二进制)为十进制数.解：杨辉绘画的“古法七乘方图” 创编试题十:如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些六棱柱形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子.把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面（有几个通道就算第几层），以后，再落到六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里去．……，以此类推。算一算：颗弹子通过+1层通道，落到各长方形框里的最可能情况.简析：，所以分别是颗。创编背境：杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角（如图所示）。它是我国古代数学杰出的成就之一，一直是高考中考点，它有两条独特的性质：.。创编试题十一:毕达哥拉斯学派知道五种正多面体，即正四面体、正方体、正八面体、正二十面体和正十二面体。后来柏拉图学派的Theaetetus证明了正多面体总共只有上述五种。柏拉图自己也使用了这五种多面体，他称其为自然界最完美的五种形体。柏拉图将生成宇宙的四原质火、气、水和土的粒子分别赋予了正四面体、正八面体、正二十面体和正方体的形状，还说上帝使用第五种多面体——正十二面体来表示宇宙本身。从那以后，五种正多面体被希腊人称作“柏拉图立体”。“柏拉图立体”如下:                                        欧几里得给出了球直径与正多面体棱长之间的关系。设表示球内接正面体的棱长（，6，8，12，20），D表示球直径，试用D表示。简析：；；；；。创编背境：毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得这些大数学家都来研究同一个问题，向学生渗透探索、合作、交流的课程理念，同时也让学生体会到数学知识的发展历程是：探究、猜测、验证、证明的过程，让学生在交流合作中体会探索的曲折与快乐。