3.3　函数的应用(一)　3.4　数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点

一二知识点一、函数模型1.思考(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示:通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.探究一探究二探究三思维辨析分段函数模型的应用例3WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式.(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少? 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :由于上网时间不同,收费 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .当堂检测探究一探究二探究三思维辨析因忽视实际问题中x的范围而致误典例如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y.(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;(2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?当堂检测一二(3)已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其数据如下表:你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式.一二提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,令y=kx+b(k≠0).因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,即y=-3x+90.显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.一二2.填空(1)一次函数模型解析式:y=kx+b(k≠0).(2)二次函数模型①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k).(3)分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.一二归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.一二2.做一做某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1050,x∈[250,400].因为y=0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1050=1170(元).答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1170元.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一次函数模型的实际应用:一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一 原则 组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则 .2.一次函数的最值求解:一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的(　　) 解析:蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B.答案:B当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟二次函数的实际应用1.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.2.对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设上网时间为xmin,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为(2)当x=20×60=1200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500min,由解析式可得上网时间为900min.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟分段函数的实际应用1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)×36×100=1200t+13200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴当p=55时,能更早还清贷款,又(100×450-1200×20-13200)×12=93600,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解过程中一是没注意实际问题中x的取值范围,二是求函数最值时没有讨论对称轴与区间的关系,但从根本上错误的根源是第(1)问中没有明确定义域.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析防范 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 1.对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,养成遇到实际问题“定义域优先”的习惯.2.有时一个小细节的失误,会导致严重错误的产生.因此解决实际问题时,要充分考虑问题的背景、实际意义、隐含条件等.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;(2)当140<a≤280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁)当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为(　　)A.52 B.52.5 C.53 D.52或53解析:因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个　　　　　元. 解析:设涨价x元,销售的利润为y元,则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.答案:60探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则△ABC的面积为　　　　. 解析:由题中图像可知BC=4,CD=5,DA=5,答案:16探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.南博汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为每辆25万元,市场调研表明:当销售单价为每辆29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价-进货单价).(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)因为y=29-25-x,所以y=-x+4(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).(3)由(2)知,z=-8x2+24x+32=-8(x-1.5)2+50(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N),故当x=1.5时,zmax=50.所以当销售单价为每辆29-1.5=27.5(万元)时,每周的销售利润最大,最大利润为50万元.