-.z2.6数列求通项公式的典型
方法
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数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数,是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前项和可视为数列的通项求数列通项公式方法较多,归纳起来常用的方法主要有一下几种:归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1.归纳法【例1】数列试写出其一个通项公式:____________________练习1.数列,试写出以下数列的一个通项公式:____________________练习2.数列1,-eq\f(5,8),eq\f(7,15),-eq\f(9,24),…的一个通项公式是()A.an=(-1)n+1·eq\f(2n-1,n2+n)B.an=(-1)n-1·eq\f(2n+1,n2+3n)C.an=(-1)n+1·eq\f(2n-1,n2+2n)D.an=(-1)n-1·eq\f(2n+1,n2+2n)2.公式法利用an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,n=1,,Sn-Sn-1,n≥2.))或利用等差、等比通项公式.【例2】下面各数列的前项和为的公式,求的通项公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.练习1.下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=n2+n;(2)Sn=eq\f(1,2)n2+eq\f(1,2)n+1.【例3】数列{an}的前n项和Sn=2an+1,求{an}通项公式.练习1.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=eq\f(n+2,n)Sn(n=1,2,3,…).求证:数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列.3.累加法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题,该数列的具有典型的特点:可以求和.其解题步骤是:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解.【例4】数列满足,,求.【例5】数列满足,,求.练习1.数列满足,求数列的通项公式。练习2.数列中,满足,求数列的通项公式.练习3.数列中,满足,求数列的通项公式.4.累乘法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题,该数列的具有典型的特点:可以求积.其解题步骤是:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐差相加乘)求解.【例6】数列满足,,求.练习1.数列满足,,求。练习2.,,求.5.构造等差、等比数列〔构造法〕构造法主要解决形如类型的问题,其根本策略是对进展变形,使其可以变为一个新的等比或等差数列,求出新的等差或等比数列的通项公式,进而求出的通项公式.类型1:,根本策略:假设数列满足,则可考虑待定系数法设,构造新的辅助数列是首项为公比为q的等比数列,求出再进一步求通项【例7】数列中,,,求.练习1.数列{an}满足a1=1,,求的通项公式.练习2.数列{an}的前n项和满足,求的通项公式.类型2:【例8】数列满足,求数列的通项公式。评注:此题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式.练习1.数列满足,且,求数列的通项公式.练习2.数列满足,求数列的通项公式。6.取倒数法【例9】数列{an}满足a1=2,an+1=eq\f(2an,an+2),则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列.说明理由.练习1.求数列的通项公式.练习2.数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2).(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))是等差数列,并写出{an}的一个通项公式.