数学建模讲座

数学建模讲座王武天津理工大学中环信息学院数学最基本的学科特征在于:来源的实践性、结构的抽象性、模型的多样性、推理的精密性、计算的精确性、体系的统一性、应用的广泛性。一、数学建模竞赛简介全国高校规模最大的课外科技活动全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。天津赛区竞赛由天津市教育委员会主办，天津商业大学承办。数学建模竞赛旨在提高大学生运用数学方法和计算机技术解决实际问题的能力及培养学生的创新意识和团队精神。2014年的全国大学生数学建模竞赛定初步于9月中旬举行。为了培养学生的创新意识及运用数学方法、计算机技术解决实际问题和相互协调的能力，今年学院 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 学院数学建模竞赛，选拔优秀队伍继续参加全国大学生数学建模竞赛。答卷按省（市、自治区）和全国两级评奖全国组委会网址：http://csiam.edu.cn/mcm/竞赛宗旨：创新意识团队精神重在参与公平竞争中国的大学生数学建模竞赛基本上是MCM的翻版，所不同的是：1、政府部门（教育部门）组织；四大赛：（1）电子 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ；（2）数学建模；（3）机械设计；（4）结构设计2、时间为9月中旬旬第一周末（72小时）；3、所有专业的本、专科生都可参加；4、A、B题本科生（除农、林、医）做，C、D题专科生、农、林、医专业的学生做。2004年开始全国高校研究生数学建模2008年开始网络形式全国大学生数学建模竞赛各高校、各地区组织联赛竞赛内容：竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。竞赛形式：开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。评奖标准：没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（1）问题分析及假设的合理性；（2）模型的正确性和创造性；（3）运算结果的正确性；（4）结论和讨论的科学性；（5）论文表达的清晰性等。大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。历年赛题的分析随着数学建模竞赛的深入开展，竞赛的规模越来越大，竞赛的水平也在不断地提高，竞赛水平的提高主要体现在赛题水平的提高，而赛题的水平主要体现在赛题的综合性、实用性、创新性、即时性,以及多种解题方法的创造性、灵活性等，特别是给参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。可从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。最近建模试题一览：2008年A题数码相机定位B题高等教育学费标准探讨C题地面搜索D题NBA赛程的分析与评价2009年A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备2010年A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的评价2011年A题城市表层土壤重金属污染分析问题B题交巡警服务平台的设置与调度问题C题企业退休职工养老金 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 的改革问题D题天然肠衣搭配问题2012年A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题2013年A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统从问题的实际意义方面分析,大体上可以分为工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。有的问题属于交叉的，或者是边缘的。从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法.用到图论与网络优化方法；用到层次分析方法；用到插值拟合方法；用到神经网络方法；用灰色系统理论方法;用到时间序列分析方法;用到综合评价方法；机理分析方法和随机模拟都多次用到;其它的方法都至少用到一次。大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合性较强.数学建模竞赛的竞争日趋激烈数学建模竞赛的发展趋势由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起了更多领导们的重视。另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标,也是高校评估的一个重要指标。从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难度在增加、实用性在增强;特别是综合性和开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能的增强,数据信息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求。全国大学生数学建模竞赛题发展趋势(1)综合性增强,进一步体现创新意识.(2)开放性增大,逐步同国际接轨.(3)即时性增强,扩大竞赛的社会效益.(4)实用性增强,贴近现代实际的科研工作.(5)挑战性增强,吸引更多青年学生的参与热情.我校开展数学建模的历史、方法、成绩、 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 我校于2013年第一次组队参加全国大学生数学建模竞赛。我校参加“全国大学生数学建模竞赛”获奖情况2013年天津市二等奖方浩翔杨静张浩2013年天津市成功参赛奖成艺光韩洋张超二、我校数学建模竞赛情况2014年全国大学生数学建模竞赛实施方案第一阶段、竞赛宣传讲座及报名1．宣传讲座为加强学生对数学建模的了解，开展数学建模讲座，宣传数学建模的基本情况。2．组织报名(1)报名对象及要求：全体在校生均可报名，不限系别、不限专业，原则上优先推荐大二、大三学生报名参赛。可自行组队（每队3人，鼓励跨专业组队）报名或个人单独报名，单独报名者学院将根据具体情况组队，一旦确定组队，不得自行更换队员。。(2)报名时间、方式：即日起至3月15日组织报名基础课部开设的数学建模选修课及院内数学建模竞赛（参赛者原则上必须参加数学建模选修课），学生到辅导员处填写报名表，请各系教学秘书汇总后将填好的报名表（电子版）发给教务处王武老师。第二阶段、选修课教学时间及考查方式（１）教师及课时：王武24课时（２）上课时间：第五至十三周，凡参加选修课学习的学生需遵循学院公共选修课的相关要求，对于完成既定学习任务的学生给予1个选修课学分。（３）主要内容：数学建模基础知识与基础模型介绍。第三阶段、校内竞赛比赛时间初步定于5月17日8时-5月20日8时。■竞赛规则：每三人一组，在规定时间内完成论文一篇，可查阅书籍、报刊等资料，可使用互联网等工具。严禁抄袭或模仿已有论文成果，一经发现，立即取消参加竞赛资格，并禁止参加全国数学建模竞赛。■竞赛地点：待定。■竞赛结果：评出一等奖名，二等奖名，三等奖名。第四阶段、全国赛队伍选拔与暑期集中培训■选拔：校内竞赛前名的队伍参加全国数学建模竞赛并集中进行暑期培训。■培训时间：待定■培训地点：第一教学楼■指导教师：本院教师暑期学院将组织参赛学生进行集中培训，具体待定。第五阶段、参加竞赛■时间：9月中旬3天72小时■地点：学院第一教学楼机房■指导教师：本院教师■报名费用：每队300元，由学院承担■其他：竞赛3天期间，学院给予必要的支持。对参赛同学的基本要求1）具有一定的计算机操作能力及编程能力，尤其要能熟练使用Matlab,Lingo,Mathematica,SPSS,　Word等软件，这一方面的要求会越来越高。2）一队里至少有一人具有较好的协调能力及写作能力。3）每人要求具有较好的数学功底及数学素质，起码是已经学过《高等数学》或《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》，还要求对“运筹学”、“计算机算法设计”、“离散数学”、“组合学”等等方面有所涉猎。4）要求每人具备一定的工程背景知识。5）具有较灵活的思维及快速猎取知识的能力。6）良好的心理素质、及时妥协能力、吃苦的精神、以及与他人协作的能力。三、数学建模的一般过程模型准备模型假设模型构成模型评价模型检验模型求解模型应用模型准备1、问题分析问题分析是对要建模的问题熟悉、理解并形成建模初步设想的阶段，是建模过程中的一个基础性的重要阶段。在建模过程中，这个工作一般都需要递进式的进行多遍。一般要求：把问题中的各层关系条理化；熟悉每层关系的节点和联系；理清关系层间的顺序和嵌套；深入理解问题的含义和背景；确立解决该问题的最高层目标；从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层；坚持抓主要因素和主要关系的原则。2、符号设定符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。问题分析中得到的各因素的分类特征要体现在符号使用中，以便于模型的数学表达。模型假设1、意义：假设是简化实际问题的必须手段。假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰。做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。2、作用：简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密的相关因素及其关系。使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。降低问题难度。清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为以后改进模型奠定基础。3、原则：1、假设必须合理且典型。2、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。3、注重与建模其它阶段的配合。例１：方桌问题的假设：１）视方桌的４只脚依次为４个点。２）方桌是规则的，即４点在一个平面上。３）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。４）把放稳理解为４个脚同时着地。模型建立１、过程基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。２、原则对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。有利于模型的整合及模型的求解模型求解模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成。3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学建模中较好的软件包有：Mathematica;Matlab;SAS.模型评价对模型解答的意义作出解释，模型对数据依赖性作出分析，对模型相关因素的敏感性作出分析，对假设条件的现实性作出说明。模型检验1、模型的事实检验公理性检验.常用法则检验和自然法则检验.经验误差分析.建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问题,如果所得的经验已被几乎所有事实证明,那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.2、模型的数学检验数值模拟检验统计检验.这种检验多用在数据建模的过程中.预测检验.借用所建模型模型,用历史预测现实,以验证模型的准确度.四、数学建模竞赛论文的结构1、摘要2、问题重述3、问题分析4、符号说明5、模型假设6、模型建立7、模型求解8、模型结果分析9、模型优缺点10、改进方向11、参考文献12、附录五、几个简单建模例子1、雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。1建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。3模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积雨中行走的时间降雨强度模型中结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）雨滴的密度为雨滴下落的反方向表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量前表面淋雨量总淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。情形1结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形2结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形3此时，雨滴将从后面向你身上落下。出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨总量为再次代如数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以此时，淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。从背后落下，你应该以的角的角度落下，即雨滴以当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是淋雨总量为4结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5注意关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。问题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？2、录象机计数器问题录象机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！模型假设录象带的运动速度是常数v；计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w；空右轮盘半径记作r；时间t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以2.考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立思考1.3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。2.模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152用最小二乘法可得模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4580时t=118.5分，剩下的录象带能录183.5-118.5=65分钟的节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。3、商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}最后希望同学们积极参加数学建模选修课、院数学建模竞赛。全国大学生数学建模竞赛！谢谢大家！