PAGE/NUMPAGES最短路径问题专题练习1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体
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面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为 A.14B.32C.25D.262.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬 A.13 cmB.40 cmC.130 cmD.169 cm3.如图，6个边长为1的小正方形与其部分对角线所构成的图形中，如果从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有 A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC=6 cm，点P是母线BC上一点且PC=23BC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 A.4+6π cmB.5 cmC.35 cmD.7 cm5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．A.203B.252C.20D.256.如图，已知AB=3，BC=5，AF=6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，当所用绳子最短时，绳子AG的长为 A.10B.34C.8D.2547.已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 A.8B.10C.12D.168.如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径长2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是 A.12 cmB.10 cmC.14 cmD.无法确定9.如图圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一棉线从A顶着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为 A.9πcmB.15πcmC.18πcmD.27πcm10.如图，点A为正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 A.3B.2+2C.10D.411.如图所示是一棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，每个小正方体的边长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么A，B间的最短距离d满足 A.4
4或d>712.如图所示，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 A.15 cmB.10 cmC.20 cmD.18 cm13.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 A.3B.2+2C.10D.414.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．群450116225则问题中藤的最短长度是 尺．15.如图，已知圆柱体底面的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线长度是 （结果保留根号）．16.如图，圆柱形容器高18 cm，底面周长为24 cm，在杯壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达壁B处的最短距离为 cm.17.如图所示的正方体木块的棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.群45011622518.如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．19.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，蚂蚁爬行的最短距离是 cm．20.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是20尺，底面周长为3尺，有藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中的藤的最短的长度是 尺．21.如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm.22.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是 ．23.如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这段台阶两个相对的端点.A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为x，则以x为边长的正方形的面积为 dm2.群45011622524.如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm25.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米（精确到0.01米）26.如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为60 cm，高为25 cm，从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B，则该装饰线最短长为 cm．27.如图，一个没有上盖的圆柱盒高为8 cm，底面圆的周长为24 cm，点A距离下底面3 cm，一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为 cm．28.图1所示的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2的几何体，一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．29.一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为 ．30.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2 cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 cm．31.如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是 ．群45011622532.如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33.藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3 m，绕一圈升高4 m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8 m，绕一圈爬行10 m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?34.如图所示，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C之间相距5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?35.图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10 dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15 dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的围．群45011622536.如图，直四棱柱侧棱长为4 cm，底面是长为5 cm，宽为3 cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37.如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为 ．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个 ．（3）如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90∘，请你求出蜗牛爬行的最短路程．38.如图，一只虫子从圆柱上点A处绕圆柱爬一圈到点B处，圆柱的高为6 cm，圆柱底面圆的周长为8 cm，求虫子爬行的最短路程．39.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40.如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41.一只蚂蚁从长、宽都是30 cm，高是80 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，如图，求它爬行的最短路线的长．42.如图所示是一段楼梯，已知AC=5 m，CD=7 m，楼梯宽BD=5 m.一只蚂蚁要从A点爬到B点，求蚂蚁爬行的最短路程.群45011622543.如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点B1到最短路径的距离．44.已知圆锥的底面半径为r=20 cm，高h=2015 cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．45.如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子能容下的最长木棒的长度为多少?46.图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点Aʹ处．①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为10 dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15 dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的围．47.如图，长方体ABCD-AʹBʹCʹDʹ中，AB=BBʹ=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到Cʹ点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?48.如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．49.实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．群450116225（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF= ∘，当点E与点A重合时，∠DEF= ∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．答案1.B2.C[解析]将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC=30×3+10×3=120cm，AC=50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=16900，所以AB=130 cm．所以壁虎至少爬行130 cm．3.C[解析]4.B5.D6.A[解析]AG=AC2+CG2=82+62=10.7.B8.B9.B10.C11.B12.A13.C[解析]将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．如图，AB=1+22+12=10．14.2515.22[解析]将圆柱的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AAʹDʹD，连接AC，如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB=2π×2π×12=2．在Rt△ABC中，由勾股定理，得，AC2=AB2+BC2=22+22=8．所以AC=8=22．16.2017.32+3618.1019.25[解析]只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=BD2+AD2=152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=BD2+AD2=102+252=529；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=AC2+BC2=302+52=537；∵25<529<537，∴蚂蚁爬行的最短距离是25 cm．20.2521.13[解析]要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图∵PA=2×4+2=12cm，QA=5 cm，∠A=90∘，∴PQ=PA2+QA2=13 cm22.1023.62524.10，29+16n2[解析]如图，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB=62+82=10，即所用细线最短为10 cm．若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n3+1+3+1，即8n，由勾股定理，得62+8n2=36+64n2，即所用细线最短为36+64n2 cm，或29+16n2 cm．25.2.60[解析]由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为：2.42+12=2.60米．26.65[解析]沿AB剪开可得矩形.∵圆柱的高为25 cm，底面圆的周长为60 cm，∴AʹBʹ=AB=25 cm，AAʹ=60 cm，在Rt△AAʹBʹ中，ABʹ=AʹA2+AʹBʹ2=65cm.即装饰线的最短路线长是65 cm．27.1528.32+629.2530.25[解析]∵圆锥的底面周长是4π，则4π=nπ×4180，∴n=180∘即圆锥侧面展开图的圆心角是180∘，∴在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，∠BAP=90∘，∴在圆锥侧面展开图中BP=20=25，∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25 cm．31.33[解析]∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=3πn180，∴n=120∘，即扇形的圆心角是120∘，∴∠APO=30∘，∴AO=332.32.（1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的ACʹ1和AC1． （2）如图，ACʹ1=42+4+42=45．AC1=4+42+42=45．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是45．33.（1）5 m （2）6 m；60 m34.25 cm．35.（1）①如图①，连接AʹB，线段AʹB就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示，由题意可得：在Rt△AʹCʹC2中，AʹHC2=AʹCʹ2+CʹC22=702+302=5800dm；在Rt△AʹBʹC1中，AʹGC1=AʹBʹ2+BʹC12=402+602=5200dm．∵5800>5200，∴路线AʹGC1更近． （2）如图③中，连接MP，∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，∴MQ⊥PQ．∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2-QM2=PM2-100，当MP⊥AB时，MP最短，PQ取得最小值，此时MP=30+20=50，∴PQ=PM2-QM2=502-102=206dm．当点P与点A重合时，MP最长，PQ取得最大值，如图④，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵由题意可得PN=25，MN=50，∴在Rt△PMN中，PM2=AN2+MN2=252+502．∴在Rt△PQM中，PQ=PM2-QM2=252+502-102=55dm．综上所示，PQ长度的取值围是206 dm≤PQ≤55 dm．36.（1）若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为5+32+42=80cm；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为4+32+52=74cm或4+52+33=90cm．所以蚂蚁经过的最短路程是74 cm． （2）蚂蚁爬过的棱长依次为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3 cm，4 cm，5 cm时，其路程为最长，最长路程是30 cm．37.（1）圆锥 （2）扇形 （3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线． （4）在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2=102+52=125，所以AC=125=55．故蜗牛爬行的最短路程为55．38.如图，是圆柱的展开图，连接AB．由题意可知虫子爬行的最短路径为AB.此时AB=62+82=10 cm．答：虫子爬行的最短路程为10 cm．39.（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABCʹ1D1和ACC1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的ACʹ1和AC1. （2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的最短路径的长是l1=42+4+52=97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的最短路径的长是l2=4+42+52=89.因为l1>l2，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为89.40.如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形ABC1D1或矩形ACC1ʹA1．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的AC1ʹ或AC1．若爬过的路径的长是AC1，则AC1=4+52+42=97；若爬过的路径的长是AC1ʹ，则AC1ʹ=4+42+52=89.∵AC1>AC1ʹ，∴最短路径的长是AC1ʹ=89．41.蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形ACBD.根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线AB之长．在Rt△ABC中，AC=底面边长×2=60 cm，∴AB=AC2+BC2=602+802=100cm．答：最短路程约为100cm．42.如图①AB=AD2+BD2=13m；如图②、如图③AB=102+72=149m.∴蚂蚁爬行的最短路程为149 m.43.（1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有ACʹ1和AC1． （2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到Cʹ1，爬过的路径长为l1=42+4+52=97．蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径长为l2=4+42+52=89．∵l1>l2，∴最短路径为89． （3）过点B1作B1E⊥AC1于点E，连接AB1，则B1E=B1C1⋅AA1AC1=4×589=208989．∴点B1到最短路径的长为208989．44.设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为E，∵r=20 cm，h=2015 cm．∴由勾股定理可得母线l=r2+h2=80 cm，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=nπ×80180，∴n=90∘．即△EAAʹ是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：AAʹ=AʹE2+AE2=802 cm．答：蚂蚁爬行的最短距离为802 cm．45.（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为37，25，29，比较后得AG2最小为25，即最短路线的长是5． （2）如图3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21.∴AG=21，即能容下的最长木棒的长度为21．46.（1）①如图所示线段AʹB为最近路线.②将长方体展开，使得长方形ABBʹAʹ和长方形ABCD在同一平面，如图.在Rt△AʹBʹC中，∠Bʹ=90∘，AʹBʹ=40，BʹC=60，∴AC=402+602=5200=2013．将长方体展开，使得长方形ABBʹAʹ和长方形BCCʹBʹ在同一平面，如图.在Rt△AʹCʹC中，∠Cʹ＝90∘，AʹCʹ＝70，CʹC＝30，∴AʹC＝702＋302＝5800＝1058.∵5200＜5800，∴往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC更近. （2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ，MP，MA，MB.∵半径为10的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15，BCʹ=60，∴MH=60-10=50，HB=15，AH=40-15=25.根据勾股定理可得AM=AH2+MH2=252+502=3125，MB=BH2+MH2=152+502=2725，∴50≤MP≤3125．∵⊙M与PQ相切于点Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP=90∘.∴PQ=MP2-MQ2=MP2-100．当MP=50时，PQ=2400=206；当MP=3125时，PQ=3025=55．∴PQ长度的围是206 dm≤PQ≤55 dm．47.如图1所示：由题意得：AD=3，DCʹ=2+2=4，在Rt△ADCʹ中，由勾股定理得ACʹ=AD2+DCʹ2=32+42=5，如图2所示：由题意得：AC=5，CʹC=2，在Rt△ACCʹ中，由勾股定理得：ACʹ=AC2+CCʹ2=52+22=29，∵29>5．∴第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是5．48.（1）∵将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，∴∠DEA=∠DʹAE，∠DAE=∠DʹAE，AD=ADʹ=1.∵DE∥ADʹ，∴∠DEA=∠EADʹ.∴∠DAE=∠EADʹ=∠DʹEA=∠DEA.∴AD=DE=ADʹ=EDʹ=1.∴四边形DADʹE是菱形.∵AB=2，AD=1，∴CE=BDʹ=EDʹ=CB=1.∴四边形DADʹE是菱形. （2）∵四边形DADʹE是菱形，∴D与Dʹ关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PDʹ+PB的最小值，过点D作DG⊥BA于G.∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60∘，∵AD=1，∴AG=12，DG=32.∴BG=52.∴BD=DG2+BG2=7.∴PDʹ+PB的最小值为7．49.（1）①90；45②∵翻折的性质，∴DF=FP，∠DFE=∠PFE，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠DFE=∠FEP，∴∠FEP=∠EFP，∴PF=EP，∴DF=EP，∵DF∥EP，∴四边形DEPF是平行四边形，∵DF=FP，∴平行四边形DFPE是菱形，当AP=7时，菱形边长为8514．，， （2）AP=2． （3）存在，AE=65．最短路径问题专题练习1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为 A.14B.32C.25D.262.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬 A.13 cmB.40 cmC.130 cmD.169 cm3.如图，6个边长为1的小正方形与其部分对角线所构成的图形中，如果从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有 A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC=6 cm，点P是母线BC上一点且PC=23BC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 A.4+6π cmB.5 cmC.35 cmD.7 cm正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90∘；③AC=BD；④AC⊥BD中选出两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是 A.①②B.②③C.①③D.②④2、，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的大小关系是 A.S1>S2B.S1=S2C.S1
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