方向导数与梯度一、方向导数1.概念设1是xoy平面上以P0"o'yo）为始点的一条射线.ei=（co叫0S卩）是与1同方向的单位向量射线1的参数方程为x=x+tcosa0y=y+1cos0(t>0)0P0(Xo+tcosa'yo+tcos卩)为1上IppJ=t设函数z=fCy)在点Po(xo'y0)的某个邻域U(p0)内有定义，另一点，且pGU(p0),P到p0的距离f(x+1cosa,y+1cosp)-f(x,y)0000-t当p沿着1趋于p0即"T0+）时的极限存在，则称TOC\o"1-5"\h\z()3f|此极限为函数fW”在点p0沿方向1的方向导数•记作31(x0,y0)即3ff(x+tcosa,y+tcosp)-f(x,y)I=lim0000 f|（）有定义可知况（x0'y0）是f（x，y）在点P0若f（"，y）在点P0（¥0,y0）31(x0,y0)tT0+t0’y0)沿方向1的变化率.偏导数存在"1=2=3则=fx(x0,y0)3f|]•f(x+1,y)-f(x,y)|()=lim0000-31Sy0)一0+t又若e1=j=61)则一‘竺I但反之若e1=231（0'0）3f|].f(x+1,y)—f(x,y)I()=lim0000 31(x0,y0)tt0+t竺I,存在•则3x(0,0)不一定存在•如Z=x，=fy0,y0)以2+y2在点g处沿1=i方向的TOC\o"1-5"\h\z3z|3z|方向导数31S"=1，而偏导数3xg屛不存在.f（x,y,z）P（x,y,z）e=（cosa,cos0,cos丫）“类似.对三元函数fxyz来说，它在空间一点0000沿方向1的方向导数为3ff(x+1cosa,y+1cos0,z+1cosy)|()=lim000—,y0,z31Sy0,z0)一0+t2.方向导数的存在性及其计算方法P（x,y）函数具备什么条件才能保证在P00’y0点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么关系？有如下定理定理若f(x,y)在点P)(x0,y0)可微分，则函数在该点沿任一方向1的方向导数存在且有首Jy。)-fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cos卩其中cosa,cosp是方向L的方向余弦证fCy)在点(x0,y0)可微分f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)-f(x,yIax+f(x,yky+(Ax)2+(Ay)20000x00y00点0"+AX，y0+Ay)在以(X0,y0)为始点的射线1上时应有所以Ax-tcosa，Ay-tcosP，f(x+tcosa,y+tcosP)-f(x,y)lim0000-ttO+(Ax)2+(Ay)2-t-f(x,y)cosa+f(x,y)cosPx00y00这就证明了方向导数存在，且其值为8l'g，y°)二f,y)cosa+f(x,y)cosPx00y00同样可以证明f(x,y,z)在点(x0,y0,z0可微分，则函数在该点沿着方向e-Cosa,cosP,cosV的方向导数Qll(x0,y0,z0)x,y,z)cosa+f(x,y,z)cosP+f(x,y,z)cosV000y000z000二、梯度1.二元函数梯度定义设fy)在区域D内具有一阶连续导数，点P0，y),y)gD0y0D，则向量f(x0,y0片+fy(x0,y0)了称为f(x，y)在点P0匕y0)的梯度，记作gradf0,y0)，即在点2．二元函数梯度与方向导数的关系若f(x,y)在点P0(X0,y0)可微分，--(cosa,cosP)是与方向1同向的单位向量，则(x0,y0)x-gradf(x,y)•00-f(x,y)cosa+f(x,y)cosP00y00e1-gradf(x,y)|ecos000I1-gradf(x,y)|cos0001其中gradf(x,y)eI00l丿当9=0时，方向导数机9yo)取得最大值，这个最大值就是梯度的模Igradf(Xo,yo)由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．z=f(x，y)在几何上表示一个曲面这曲面被平面z=c(c是常数)所截得曲线L的方程为fz二f(x,y)f(x,y)=c，L在xoy面上的投影是一条平面曲线L，它在xoy平面直角坐标系中的方程为对L上一切点，已给函数的函数值都是c，称L为z=人y)的等值线.ff()_p()y不同时为零，则等值线f_c上任一点p00'y0处的一个单位法向量为，(、(、fC,y)fC,y)),'f2(x,y)+f2(x,y)x00yx00ygradf(xo'y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同.而沿这个方向的方向导数乳就等于Igradf(x0,y0)这表明gra,y00于是)fndn，这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．3．三元函数梯度概念与方向导数关系类似设P(x,y,000y,z)在点,y,z在空间区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点z)eG0都可以定出一个向量，f(x,y,z》+f(x,y,z)j+f(x,y,z匸x000y000Z000p(x,y,z)gra,y,z)0000的梯度，记做000即，y，z)_f(x,y,z》+f(x,y,z万+f(x,y,z匸000x000y000Z000，gra与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．f(x,y,z)c若曲面=P(x,y,z)向与过点0000的等量面，为f(X，»的等量面，则y,zy，z)在点P(xo,y0,Z0)的梯度方cC在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较word格式-可编辑-感谢下载支持低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．
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