《导数及其应用全章复习》执教教师：XXX一、变化率与导数1．函数的变化率(1)相关概念(2)有关说明①瞬时变化率是平均变化率的极限．②函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢：绝对值越大，函数增减得越快；从图象上看表现为曲线的陡缓程度：绝对值越大，图象越陡．三、函数的单调性与导数1．导数与函数单调性的定义函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．讨论函数单调性应注意的问题(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．例如，f(x)＝x3.(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间上仍为增函数．四、函数的极值、最值与导数1．可导函数的极值(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)
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_1716155297317_0解答] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.【点拨】 导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能用“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．利用导数研究函数单调性已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．[思维点击] 利用导数求解，注意(1)(2)两问求解的区别．2．求函数y＝x3－3x＋1的单调区间．解析： y′＝3x2－3解3x2－3>0得x>1或x<－1.解3x2－3<0得－10恒成立∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．∴f(x)＝0只有一个根．答案： 16．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值与最小值之和为________．解析： f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)∴f(x)在[－3，－1]上递增，在[－1,0]上递减f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1∴f(x)max＝3，f(x)min＝－17.答案： －147．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解析： (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)，令f′(x)<0，即－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)令f′(x)＝0，因为x∈[－2,2]，所以x＝－1.当－20.所以x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，即最小值为f(－1)＝a－5.又f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.因为a＋22>a＋2，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为f(2)＝a＋22＝20，所以a＝－2.此时a－5＝－7.所以函数在该区间上的最小值为－7.8．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0
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