模糊理论基础

会计学1模糊理论基础普通数学对模糊概念的描述以年龄为例，传统的方法是规定一些域值来定义的。用y代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 年龄，y<40为“年轻”，40<=y<60为“中年”，y>=60为“老年”。这种方法简单，但过于绝对化。实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年，再走向老年的，这些概念之间本来就没有明确的界限。传统数学的基础是集合论，这些集合的边界必须是明确的，一个对象要么属于，要么不属于，二者必居其一。传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念，模糊数学便应用而生。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国的自动控制专家L.A.Zadeh教授，他创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。模糊技术的应用领域地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。引言第1页/共58页第一节模糊集合及其运算2.1.1模糊集合的定义及相关概念1．模糊集合（FuzzySets）给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射μAμA：U[0,1]uμA(u)都确定U上的一个模糊子集A，简称模糊集。μA称为模糊集合A的隶属函数（MembershipFunction）。若论域中的元素用x表示，则μA(x)称为x属于A的隶属度（degreeofmembership）。第2页/共58页隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。μA(x)接近1，表示x属于A的程度高；μA(x)接近0，表示x属于A的程度低。论域隶属函数模糊集合的两要素theuniverseofdiscourse2.1.1模糊集合的定义及相关概念第3页/共58页2.1.1模糊集合的定义及相关概念例如：用论域[1，100]上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”，A、B、C的隶属函数μA(x)、μB(x)、μC(x)如图所示。30岁的年轻程度为0.75。40岁的人已经不太年轻（0.25），比较接近中年，但属于中年的程度还不太大（0.5），50岁正值中年（1），即将走向“老年”。显然，用模糊集合能够比较准确地、真实地描述人们头脑中的原有概念，而用普通集合描述模糊性反倒是不准确、不真实的。第4页/共58页2.1.1模糊集合的定义及相关概念2．台集合（Support）模糊集合A的台集AS是一个普通集合，它由论域U中满足μA(u)>0的所有u组成。即如果模糊集合A的台集仅有一个元素u0，且μA(u0)=1，则A就是单点模糊集。3．单点（singleton）模糊集模糊集合的Zadeh表示法为第5页/共58页4．凸模糊集2.1.1模糊集合的定义及相关概念若A为以实数R为论域的模糊子集，其隶属函数为μA(x)，如果对于在任意实数a<x<b，都有则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。第6页/共58页2.1.2模糊集合的表示法一、离散论域设论域为有限集1.Zadeh表示法2.序偶表示法3.向量表示法隶属度为零的项可以不写隶属度为零的项必须写第7页/共58页2.1.2模糊集合的表示法例在由整数1，2，……10组成的论域中，即U={1，2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊集A可表示为由上式可以看出，用“几个”表示5个、6个的可能性最大，而通常不采用“几个”表示1个、2个或9个、10个。第8页/共58页2.1.2模糊集合的表示法二、连续论域Zadeh表示法为例以年龄作论域，取[0，200]，用模糊集Y表示“年轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为第9页/共58页“年轻”和“年老”模糊集合可以写为2.1.2模糊集合的表示法第10页/共58页2.1.3模糊集合的基本运算设论域U上的两个模糊子集A和B，它们之间的交、并、补运算定义如下。1.F交集A与B的交集，记作A∩B，有2.F并集A与B的并集，记作A∪B，有第11页/共58页2.1.3模糊集合的基本运算3.F补集A的补集，记作AC，有ACA∩BA∪B第12页/共58页第二节常用隶属函数1．三角型隶属函数TriangularMFa为三角形左边底角的顶点坐标，b为顶角顶点坐标，c为右边地角顶点的坐标。Matlab函数Trimf（x，[abc]）第13页/共58页第二节常用隶属函数2．梯型隶属函数TrapezoidalMFa为梯形左边底角的顶点坐标，b为左边顶角顶点坐标，c为右边顶角顶点的坐标，c为右边底角顶点的坐标。Matlab函数Trapmf（x，[abcd]）第14页/共58页第二节常用隶属函数3．高斯型隶属函数GaussMFc为函数的中心点，a为函数曲线的宽度。Matlab函数Gaussmf（x，[ac]）第15页/共58页第二节常用隶属函数4．Sigmoid型隶属函数当a为正时，向右斜；a为负时，向左斜；a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。Matlab函数sigmf（x，[ac]）第16页/共58页第二节常用隶属函数4．Sigmoid型隶属函数a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。第17页/共58页第二节常用隶属函数5．一般的钟型隶属函数Matlab函数Gbellmf（）第18页/共58页第二节常用隶属函数6．双边高斯型gaussmf（）7．Z型zmf（）8．π型pimf（）9．双边高斯型gauss2mf（）10．两个sigmoid型函数的积psigmf（）11．两个sigmoid型函数的和dsigmf（）第19页/共58页第三节模糊关系及其合成2.3.1模糊关系的定义1.集合的直积设有两个集合X，Y，X和Y的直积X×Y定义为它是由序偶（x，y）的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说X×Y≠Y×X。第20页/共58页2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义2.模糊关系及模糊矩阵设X、Y是两个非空集合，以直积X×Y为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系，记为RX×Y。（1）模糊关系RX×Y由其隶属函数μR(x,y)完全刻画，μR(x,y)表示了X中的元素x和Y中的元素y具有关系RX×Y的程度。（2）当X和Y为有限离散集合时，设X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，ym}，则X和Y的模糊关系RX×Y可用n×m阶矩阵表示，即这样的矩阵称为模糊矩阵模糊矩阵是论域为直积X×Y模糊集。第21页/共58页2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义模糊关系和模糊矩阵举例例：X={10，20，40，80}，Y={10，20，30，40}，“x远大于y”这一模糊关系的模糊关系矩阵为当x=40，y=20时，“x远大于y”的程度是0.8。第22页/共58页3.模糊集合的直积2.3.1模糊关系及模糊矩阵的定义若有两个模糊集A和B，其论域分别X和Y，定义在积空间X×Y上的模糊集合A×B称为模糊集合A和B的直积，其隶属函数为或者可见，模糊集合A和B的直积是积空间X×Y上的一个模糊关系。模糊集合A和B的直积所产生的模糊关系在模糊推理及模糊控制中起着十分重要的作用。第23页/共58页2.3.2模糊关系和模糊矩阵的合成运算由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 。1．模糊矩阵的合成运算设是两个模糊矩阵，它们的合成Q○R指的是一个n行l列的模糊矩阵S，S的第i行第k列的元素sik等于Q的第i行元素与R的第k列对应元素两两先取较小者，然后在所得的结果中取较大者，即第24页/共58页设合成算子“○”代表两个模糊矩阵的相乘，它与线性代数中的矩阵乘积相似，只是把普通矩阵乘运算中对应的元素之间的“乘”用取小运算“∧”来代替，而元素间的“加”用取大运算“∨”来代替。2.3.2模糊关系的合成运算例：已知模糊关系矩阵1．模糊矩阵的合成运算第25页/共58页模糊矩阵的合成运算举例第26页/共58页设A为论域X上的模糊集合，B为论域Y上的模糊集合。根据上述模糊集合的直积和模糊矩阵的合成的定义，当X和Y为离散论域时，A与B的直积（取小运算）为第27页/共58页2.3.2模糊关系和模糊矩阵的合成运算设R1是X和Y的模糊关系，R2是Y和Z的模糊关系，R1和R2的合成R1○R2指的是X×Z上的一个模糊关系，其隶属函数为“∨”表示取大运算，“∧”表示取小运算，因此称为取大-取小合成（max-mincomposition）。2．模糊关系的合成运算当论域X、Y、Z为有限集时，可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成。第28页/共58页第四节模糊逻辑与模糊推理2.4.1模糊语言变量模糊语言变量（linguisticvariables）是自然语言中的词或句，如气温、误差等，它的取值不是通常的常数，而是用模糊语言表示的模糊集。以下将模糊语言变量简称语言变量。一个语言变量可由以下的五元体来表征X为语言变量的名称；T(x)语言变量值的集合；U为x的论域；G为语法规则（用于产生各语言变量值x的名称）；M为语义规则（用于产生模糊集合的隶属函数）。第29页/共58页例如：以控制系统的“误差”为语言变量x论域取U=[-66]T（x）=T(误差)={负很大、负大、负中、负小、零、正小、正中、正大、正很大}如上所述，每个模糊语言相当于一个模糊集合。各模糊语言（模糊集合）的隶属函数如图。第30页/共58页2.4.2模糊命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 模糊命题（proposition）：含有模糊概念的陈述句。模糊命题可以用英文字母表示，如P：误差较大。模糊命题的真值：模糊命题的真假程度，它是[0,1]区间上的一个实数。单模糊命题：简单的模糊陈述句，其一般形式为P：x为Ax为模糊变量，A为某一模糊概念对应的模糊集合。第31页/共58页单模糊命题P的真值V(P)，就由该变量对模糊集的隶属度来表示，即V(P)=μA(x)当μA(x)=0，表示命题P完全假；μA(x)=1，表示命题P完全真；μA(x)越接近0，命题P假的程度越大，真的程度越小；μA(x)越接近1，命题P假的程度越小，真的程度越大。例讨论模糊命题Q：天气热。语言变量是气温t，t[-40ºC，50ºC]，定义“热”的模糊集合为H，其隶属函数为μH(t)。若今日气温为t=20ºC，μH(20)=0.4，那么该命题的真值为0.4。也就是说，“天气热”这个命题的真实程度是0.4。2.4.2模糊命题第32页/共58页条件模糊命题：“IF…THEN…”形式的条件语句，表达两个普通命题之间的因果关系，称为条件模糊命题。模糊控制中的模糊控制规则通常来源于专家的知识，通常采用“IF…THEN…”形式来描述。因此，在模糊控制中，模糊控制规则也就是模糊条件句。IF部分为规则的前提，THEN部分为规则的结论。复合模糊命题：把简单模糊命题通过联结词联合起来，就构成了复合模糊命题。联结词可以是“与”、“或”、“非”、“若……则……”等。2.4.2模糊命题第33页/共58页简单模糊命题之间的“与”、“或”、“非”运算设命题P：x为A；命题Q：y为B。2.4.2模糊命题（1）“与”运算：PandQ，其真值定义为或者可见“andMethod”代数积Prod或取小MinP、Q的真值第34页/共58页2.4.2模糊命题（2）“或”运算：PorQ，其真值定义为或者“orMethod”代数和Probor或取大Max（3）“非”运算：notP，其真值定义为可见第35页/共58页2.4.3模糊蕴含（implication）关系条件模糊命题：“如果x是A，则y是B”，令P：x为A，Q：y为B。则可表示为P→Q，它表示普通命题P和Q之间有因果关系。由于模糊集A和B的隶属函数表示了命题P和Q的真值，因此，P→Q等价于模糊语言A和B之间的模糊蕴含关系A→B。A→B是X×Y上的模糊集。模糊蕴涵关系的运算有许多定义，常用的有以下两种。Mamdani（玛达尼）的最小运算（min）Larsen的积运算（Prod）第36页/共58页2.4.3模糊蕴含（implication）关系常见模糊规则的模糊蕴含关系表达式“如果x是A，则y是B”“如果x是Aandy是B，则z是C”“如果x是AorB，则y是C”第37页/共58页模糊关系：X×Y上的模糊子集R。模糊集合的直积：X×Y上一个模糊关系。模糊蕴含：X×Y上一个特殊的模糊关系。模糊命题逻辑“与”运算：min或prod。模糊命题逻辑“或”运算：max或probor。模糊命题逻辑“非”运算或者几个模糊逻辑运算小结第38页/共58页常见IF-THEN规则的表达形式“如果x是A，则y是B”“如果x是Aandy是B，则z是C”“如果x是Aory是B，则z是C”“如果x不是A，则y是B”小结第39页/共58页2.4.4模糊推理1．模糊推理的基本形式“三段论”式模糊推理（FuzzyInference）是不确定性推理方法的一种，它是运用模糊语言，对模糊命题进行模糊判断，推出一个近似的模糊结论的方法。大前提：若x为A，则y为B小前提：x为A′结论：y为B′第40页/共58页2.4.4模糊推理2．模糊推理的合成规则1975年Zadeh提出了模糊逻辑推理的合成规则。大前提：若x为A，则y为B小前提：x为A′结论：y为B′=A′○（A→B）即结论B′是模糊集合A′和模糊蕴含关系A→B的合成。第41页/共58页2.4.4模糊推理合成推理规则举例　　若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。试问当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。已知：x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，x和y的论域为第42页/共58页计算模糊蕴含关系计算输出量的模糊集模糊向量的转置2.4.4模糊推理第43页/共58页2.4.4模糊推理3．多重模糊条件语句1）使用“and”连接的模糊条件语句大前提：若x为Aandy为B，则z为C小前提：x为A′andy为B′结论：z为C′模糊蕴含关系推理结果第44页/共58页2.4.4模糊推理例：设有论域X={a1,a2,a3}，Y={b1,b2}，Z={c1,c2,c3}，已知模糊集合模糊规则“若x为A且y为B，则z为C′。若求C′。用“and”连接的模糊条件语句推理举例第45页/共58页2.4.4模糊推理“and”连接的模糊条件语句举例（1）求规则的模糊蕴含关系第46页/共58页2.4.4模糊推理用“and”连接的模糊条件语句举例（2）计算输入量的模糊集合（3）计算输出量的模糊集合第47页/共58页2.4.4模糊推理2）使用“also”连接的模糊条件语句大前提：规则1：若x为A1andy为B1，则z为C1also规则2：若x为A2andy为B2，则z为C2also规则n：若x为Anandy为Bn，则z为Cn小前提：x为A′andy为B′结论：z为C′第48页/共58页2.4.4模糊推理2）使用“also”连接的模糊条件语句第i条规则的模糊蕴含关系为n条模糊规则是并列的，它们之间是“或”的逻辑关系，因此，总模糊蕴含关系为论域相同！第49页/共58页2.4.4模糊推理例已知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y，输出为z，其输入输出关系可用如下两条模糊规则描述：规则1：若x为A1andy为B1，则z为C1规则2：若x为A2andy为B2，则z为C2现已知输入x为A′andy为B′，试求输出量z。其中第50页/共58页模糊推理举例由于这里所有模糊集合的论域都是离散的，因此模糊集合可用模糊向量来描述，模糊关系可用模糊矩阵来描述。这里，and采用求交（min）运算，蕴含关系采用取小运算。（1）求每条规则的模糊蕴含关系第51页/共58页模糊推理举例同理（2）求总模糊蕴含关系第52页/共58页模糊推理举例（3）计算输入量的模糊集合（4）计算输出量的模糊集合第53页/共58页本章主要内容模糊集合及其运算常用隶属函数模糊关系及其合成模糊逻辑与模糊推理定义及相关概念表示法基本运算模糊语言变量模糊蕴含关系模糊推理模糊命题第54页/共58页习题2-1设有论域X={a1,a2,a3}，Y={b1,b2,b3}，Z={c1,c2,c3}，已知模糊集合①求“若x为A且y为B，则z为C”的模糊关系矩阵R；②若求C′。第二章习题，，第55页/共58页第二章习题习题2-2试写出下列模糊规则的关系矩阵表达式①若x为A或B，则y为C；②若x为A且B，则y为C；③若x为A且y为B，则z为C或D。第56页/共58页That’sallfortoday！Thankyou！第57页/共58页