已知一矩阵,求该矩阵合同矩阵

已知一矩阵,求该矩阵 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 矩阵 矩阵的合同变换 矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵 秩 合同 对角化 定义1:如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为A? B B 定义2:设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得B?P?1Ap，则称A和B相似A? 使得PTAP?B 那么就说，在数域F上B与A合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P?Q1Q2?Qm。 TT 此时P7?QmTQn?Q1边为一系列初等矩阵的乘积 ?1 TTT若B?PTAP?QmQn?1?Q1AQ1?Qm 则B由A经过一系列初等变换得到。所以 定义3:设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P， A?B，从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明:由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共A?BB?P?1AP del|?I?B|?det|?I?PAP| ?1 又因为?I为对称矩阵 所以det|?I?P?1AP|?|P?1|?I?A|P| ?|P?1|?|I?A||P | ?|?I?A| 注?合同不一定有相同特征多项式 定理4:如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同 论:设A，B为特征根均为?1,?2??n，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正 矩阵，Q,P使得 QAQ?[?1??2] PBP?[?1??n] ?1?1 从而有Q?1AQ?P?1BP PQAQP 1?1 ?B 由Q?1Q?EPP?1?E 从而有PQ?1QP?1?PEP?1?PP?1?E 从而(PQ?1)?1?QP?1 又由于(QP?1)(QP?1)T?QP?1(P?1)TQT ?1 ?1TT ?QP(P)TQ T ?QQ ?QQ?E ?1 ?QP 为正交矩阵 所以A?B且A?B 定时5:两合同矩阵，若即PTAP?B，若A为对称矩阵，则B为 对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明:A?B即PTAP?B，若对称阵，则AT?A B?(PAP) ?PAP T T TTT ?PTAP ?B 所以B边为对称阵 [注]:相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢, 引理6:对称矩阵相似于对角阵?A的每一个特征根?有秩|?I?A|?n?s，S为?的重数. 证明:任给对称的n阶矩阵A一个特征根?，以其重数以秩|?I?A|?r，则 ?x1??0?????x20????，线性无关的解向量个数为n?r个，即5个 ?r?n?s?n?r?s?|?I?A| ???????????xn??0? 又因属不同特征根的特征向量线性无关 ?n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量 ?n阶对称阵可对角化 从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用 例 求一非线性替换，把二次型 f(转 载于:wWw.xIeLw.com 写 论文 网:已知一矩阵,求该矩阵合同矩阵)(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3 二次型f(x`,x2,x3)矩阵为 ?011???A?10?3 ????1?30?? 对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换 ?2?A?1 ????2?1?E?1 ???0?x1??1???x?1?2????0?x3??? ?2??2 ?? 0?3?0 ?? ??30???00101 10?201? ??1 ?1?? 0? ?0 ?6?? 0??1 ??0?1?? ?1???1 1?10 3?? ?1?1 ?01???y1? ??y ?2???y3?? 可把二次型化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型 f(x1,x2,x3)?2y1?2y2?6y3 2 2 2 解法(2) 1?2??2 ??A?10?3 ?????2?30???2??1???0 10?2 0? ??2 ??2?? 0??20 ?? 1 ??0??2? 2???0?2?2????2???0??0? 0?120 0??0? ?6?? 此时f(x1,x2,x3)?2z12?此时非线性退化替换为 12 z2?6z3 22 1??1?3??2x?1????z1? 1????? x2?1?1?z2 ??????2???z??x3???001?3? ?????? 发现在注[1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性 [注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢, 例3(用可逆性变换化二次型 222 f(x1,x2,x3)?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3) 22 解:f:6x12?6x1x2?6x1x3?6x2?6x2x3?6x3 对二次型矩阵为 ?6 ??3A?? ??3?? ?36?3 ?3???3? 6??? ?6??3???3A??E?1 ?0???0 ?36?3010 ?6 ? ?3??0 ???3???6?0???0? ???10??1???0 ??0 092?921210 ??6??9 ?0??2?? ?09???2??? 1?1???2??00????1??0 0092012120 ?1? ??0??0 ?0? ? 0?? ??1? ?0? ?1??? ?0?1???0? ? 10 ? 00? ? 1??E???????B? 1???1??? ?x1????2 标准形f?y12? y2，则?x2???0 ???x3?? ?0?? PTA?B 111 ????????? ?y1???y ?2???y3?? [注]当P改变两行的位置交换后，发现 ? ?0??1?? 1 ?0???0??1??? ??0??0?? ?1? ?100????010 ????000?? ?6?3 ??36????3?3?3? ??3 ?6?? ? ? 1?? 01? ?? 定理2:在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有PTAP?B，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。 证明:设初等变换的对调变换矩阵为J，显然JTJ?EJTAJ?JAJT?A 于是有 B?PAP?PEAEP?P(JJ)A(JJ)P?(JP)(JA)JP?(JP)A(JP) t T T T T T T T 而P与JP相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P的行，所得对角阵相同。 [注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢, ?2 例4(求实对称矩阵A???2 ???0 ?21?2 0? T? ?2求可逆阵P使得PAP为对角阵 ?0?? ?2??2? ?A??0?????E??1 ?0???0 ?21?2010 0? ??2 ? 0?c2?c1 ?????r2?r1 0?0??1?? T ?2 ?0??0??1?0???0 0?1?2110 0? ??2 ? 0?c3?2c2 ?????r3?2r2 0?0??1???2 ?0??0??1?0???0 0?10110 0? ?0?4?? ?2??2? ?1?? ?1 ?P?1 ???0??2?P1??2 ???0 110110 ?2? ??2 ?1?? PAP?B ?4 ?B1?0 ???0 0?10 0? ?0 ?2?? 1? ?T 1我们得到P1AP?B1 ?0?? 定理7:设PTAP?BA, 对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到B1，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得P1TAP1?B，即P的列与B中元素的对应性。 证明:初等调换矩阵为J，显然JT?J ?B1?JBJ?JPAPJ?(PJ)A(PJ)?P1AP ?P与P1相比，只是列的排列顺序发生了改变 ?P的列与B的对角线上元素具有对应性 T T T T 1 1 自己写例 定理8:如果对角线上的元素分别扩大C12,C22,?Cn2得B2，则不要将P中对应的对应角线元素扩大C11，即可得到P2使得P2TAP2?B2 ?C1? ? 证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为J2(J2对角线上第J个元 素C1)形J2??C，则?2? ??1?? 有B2?J2TBJ2(J2T?J2) ?B2?J2PPJ2?(PJ2JAPJ2)?P1AP1 ?B2中第J个元素为B的C1倍而P2?PJ2，且其P2中对角线J个 元素是P中对角线元 2 T T T T 素CJ倍。 2?1 ?21 例:已知对称矩阵A?? ?11? ??1?3?1?0 解A?? ?1???1 0?3?1?1 1?131 1131 ?1???3 ?求可逆矩阵P，使PTAP且对角形式 1??0? 0?122 ?1? ??1 ? 2??0? ?1?0?1???10?3 ??? ?0?11???0???1?1 篇二:矩阵的合同与相似及其等价条件 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 (数学与统计学院 09级数学与应用数学一班) 指导老师:王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习 有一定的帮助. 1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1] 定义1.1 如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到: 定义1.2 如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述: 定义1.3 设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价，记作A?B. 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义1.4 设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得 P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A,B. 1.2.1 n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1 反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A,B，则B,A. 性质1.3 传递性，如果A,B，B,C，则A,C. 性质1.4 P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P. (k,k是任意常 数) 12 性质1.5 P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P). 性质1.6 若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.(m为正整数) 证明 存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP可以得到Am与相Bm相似. 性质1.7 如果矩阵A、B都是满秩，则A,B，那么B,A. 证明 存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP故可以得到B,A. 性质1.8 如果矩阵A,B，那么A?B. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，又因为P?1AP?B，P?1P?1，故可以得到A?B. 性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似. 证明设B?P?1AP，若矩阵B可逆，B?1?P?1AP也相似. 若B不可逆，则P?1AP不可逆，即A也不可逆. 性质1.10 相似矩阵有相同的特征值. 证明设B?P?1AP，?E?B?P?1?EP?P?1AP ?1 ?1 ?1 ?1 ?? m ?Bm?P?1AmP，故 ?? ?1 ?B?1?P?1A?1P， ?? ?1 ?P?1A?1P，从而B?1和A?1 ?P?1??E?A?P??E?A 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值. 性质1.11 相似矩阵有相同的迹. 证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使 得P?1AP?B， tr?B??trP?1AP ?? ?trP?1PA ?tr?A? ?? ?20??30? ??例1 A??，B??03??02??，求分别求矩阵A、B的特征多项式， 特征值秩,???? 迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系, 解 从已知可知A? 2003 ?6，Rank(A)?2,tr(A)?5 对于A的特征多项式?E?A?故A的特征值为2和3. 对于矩阵B,B? 3002 ??2 ??3 ?(??2)(??3) ?6，Rank(B)?2,tr(B)?5 矩阵B的特征多项式B? ??3 00 ?(??2)(??3). ??2 故矩阵B的特征值是2和3. ?01??1 PAP?B，从定义矩阵B与矩阵A相似. ? 存在一个可逆矩阵P?? 使得?10? ?? 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]. ?1?2?4? ?? 例2设实数域上的3级实对称矩阵A???24?2?，对角矩阵 ??4?21????500? ?? B??050?.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵 B相似吗,如 ?00?4???果相似求出可逆矩阵P. ??1 解 由矩阵A的特征多项式为2 4 242???1 ??1 20 24 ??4 2??42 ?2??10??1 ??1 ? 242 20 ??4 ?? ?(??5)2(??4) 故矩阵A的特征值为5和—4. 容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同， ?1 5??525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P????5??0? 4 152 151?53 2??3?1? 3?2??3? 验证得到P?1AP?B，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2] 定义1.5 设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称A与B合同，记作A?B. n阶矩阵的合同关系具有下列性质: ? 反身性: 即任一n级矩阵与自身合同. ? 对称性: 即如A与B合同，则B与A合同. ? 传递性: A与B合同，B与C合同，则A与C合同. ? 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ? 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ? 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. 2. 合同矩阵与相似矩阵的关系 2.1矩阵的相似与合同的相同点[5]. ? 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性;合同关系也具有反身性、对称性、传递性. ? 相似 、合同矩阵均有相同的秩. (A)?Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则 若矩阵A相似与矩阵B，则Rank Rank(A)?Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. ? 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵;若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A,B ，则A?B，A与B有相同的特征值.但若A?B，那么A与B的行列式的值不一定相等;A与B也不一定有相同的特征值. ?2?? ?2?2??2 ???1 例1 设A??25?4?,T?? ??2?45?????0 ?? 2454?45545 1??3??100? ??2?,B?010??, 3??0010?? ??2? ??3? 不难验证: TTAT?B，有A?B. 我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A,B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况. ?12??1?4??10? ????例2 A??， ，B?C??23???412??0?2??. ?????? 经过验证可以知道A??1，B??4，然而CTAC?B，A?B，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A,B，则有可逆矩阵P，使得B?P?1AP，于是 ?E?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1AP ?1 =P(?E?A)P 篇三:高二(下)学案4-2矩阵4 4反射变换与旋转变换 【学习目标】 (1)结合实例了解反射变换、旋转变换;(2) 能利用反射变换、旋转变换解决具体问题. 【预习导引】 1、求变换对应的矩阵 (1)设T是以OX轴为对称轴的反射变换，则变换T的矩阵为___________; (2)设S是以OY轴为对称轴的反射变换，则变换S的矩阵为___________; 2、求曲线y?sinx在矩阵??10? ?0?1?作用下变换所得图形方程_____________. ? 3、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)，求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90?后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. ?? 14 、设A?22?2??1?,B??,A,B分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示平面上什么变换的矩阵, 2???? 5、设矩阵M?????0?1? ?10??1????3??,向量????0??,????2??，试验证: (1)M(???????)?M????M???; (2)对任意的实数?,?，有M(?????????)??(M???)??(M??? ). 【典例练讲】 例1、计算下列列各式，并说明其几何意义. (1)??10??5?; (??10??5??01??5? ?0?1????2?2)???0?1????2?;(3)????10????2?? 例2、用矩阵的方法求直线y?4x?1关于?直线y?x对称的图象的方程 ?原点对称的图象的方程. 例3、已知曲线C:xy?1，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45? 后得到曲线C' ， (1)求C' 的方程; (2)求曲线C的焦点坐标. 例4、(1)求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A; (2)设l为过原点的直线，Ox轴到直线l的角为? 6 ，A是以直线l为反射轴的反射变换，求变换A的矩阵，并求点P(-2，6)在矩阵A下的象点P?的坐标. 反射变换与旋转变换【课后检测】 1、设点P的坐标为(2,?4)，T是绕原点逆时针旋转 ? 3 的旋转变换，则旋转变换T对应的矩阵是____________，且点P在T作用下得到的点P?的坐标为______________,圆x2?y2?1在变换T作用下，得到曲线C?,曲线C?的方程是_______________. 2、画出?ABC在矩阵??10 ? 作用下变换所得的图形，其中A(0,0),B(2,0),C(1,2) 3、求出曲线y?x?0)在矩阵??10? 的作用下得到的曲线方程________. ?0?1? ? 4、(1)若圆(x?3)2?(y?6)2?4在矩阵M所对应的反射变换作用下得到圆的方程(x?3)2?(y?6)2?4，求该矩阵. (2)若曲线y?x2(x?0)在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y?x2(x?0)，求矩阵M. 6、(1)将椭圆x2 4 ?y2?1，绕原点逆时针旋转45?后，得到曲线C，求曲线C的方程. )将椭圆(x?2 (24 ?y2?1绕其左焦点顺时针旋转90?，得到曲线C，求C的方程. 7、(1)已知矩阵M=??10??02?，向量α=??1??2? ?0?，β=???3?，试验证下列等式成立: ?? ?M(α+β)=Mα+Mβ; ?M( 18α)=1 8 Mα; ?对任意实数λ，μ，有M(λα+μβ)=λ(Mα)+μ(Mβ). ?已知矩阵? ?10??0k?，单位向量?1? 和它变换后的象共线吗, ???0??