附件3建模题：曲柄滑块机构的运动规律

建模题之二： 曲柄滑块机构的运动规律 问题目的: 本问题主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法, Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究讨论函数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 问题重述: 曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动,是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。图1 为其示意图。 记曲柄 的长为 ,连杆 的长为 , 当曲柄绕固定点 以角速度 旋转时, 由连杆带动滑块 在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点 位于水平线段 上, 曲柄从初始位置起转动的角度为 ,而连杆 与 的锐夹角为 (称为摆角) 。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律, 确切的说,要研究滑块的位移,速度和加速度关于 的函数关系,摆角 及其角速度和角加速度关于 的函数关系, 进而 （1）求出滑块的行程 (即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离)； （2）求出滑块的最大和最小加速度(绝对值), 以了解滑块在水平方向上的作用力； （3）求出 的最大和最小角加速度(绝对值), 以了解连杆的转动惯量对滑块的影响； 在求解上述问题时,我们假定: 符号说明: : 曲柄 的长； : 连杆 的长度； : 摆角(连杆 与 的锐夹角)； : 角速度；P: 滑块； : 滑块的位移； : 滑块的加速度。 问题一: 求滑块的加速度 和摆角加速度的极值 问题分析: 此问题是在给定了加速度 和摆角加速度的表达式的条件下, 因为表达式子中是关于一系列变量的关系式, 想利用该表达式直接求出极值是不容易的, 所以我通过数学软件来解决此问题。 问题求解: 由实验模型可知, 滑块的加速度为: 摆角加速度: 为了求出这两个函数的极值,我们可以先画图,再求出极值. 实验程序: function shiyan801 r=100；l=300；w=240； f1='-5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x)) /(90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)'； [xmin1, ymin1]=fminbnd(f1,0,2*pi) %求加速度的最小值 subplot(2,2,1)；fplot(f1,[0,2*pi])； %画出加速度图形 f2='5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x)) /(90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)'； [xmin2, ymin2]=fminbnd(f2,0,2*pi) %求加速度的最大值 subplot(2,2,2)；fplot(f2,[0,2*pi])； %画出加速度图形 f3='-5760000*sin(x)*(90000-10000)/((90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)' [xmin3, ymin3]=fminbnd(f3,0,2*pi) %求角加速度的最小值 subplot(2,2,3)；fplot(f3,[0,2*pi])； %画出角加速度图形 f4='5760000*sin(x)*(90000-10000)/((90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)' [xmin4, ymin4]=fminbnd(f4,0,2*pi) %求角加速度的最大值 subplot(2,2,4)；fplot(f4,[0,2*pi])； %画出角加速度图形 运行结果: 图2 加速度和角加速度函数图 加速度的最小值为: ymin1 = -7680000 ； 加速度最大在 = 0处取得； 加速度的最大值为: ymax1 = 3.9608e+006； 加速度最大在 = 3.8669处取得； 角加速度的最小值为: ymin1 = -2.0365e+004 ； 角加速度最大在 = 1.5708处取得； 角加速度的最大值为: ymax1 = 2.0365e+004 ； 角加速度最大在 = 4.7124处取得； 此数据将用做在后面的实验问题中的比较分析； 问题二: 利用摆角的角加速度的三种表达式, 取步长为: ,计算当 变化时角加速度的值,并列表加以比较。摆角的角加速度的三种表达式为: 实验程序: function shiyan802 r=100；l=300；w=240； for i=1:13 x(i)=(i-1)*(pi/12)； y(i)=-r*w*w*sin(x(i))*(l^2-r^2)/((l^2-r^2*sin(x(i)))^1.5)； y1(i)=-w*w*r*sin(x(i))/l； y2(i)=--w*w*(r*sin(x(i))/l+r^3*((sin(x(i)))^3-sin(2*x(i))*cos(x(i)))/(2*l^3))； end 运行结果如下: 表1:角加速度的三种表达式的数据比较表 0 0 0 -4615 -4969 -4473 -9297 -9600 -8933 -13644 -13576 -13199 -17202 -16628 -16859 -19546 -18546 -19369 -20365 -19200 -20267 -19546 -18546 -19369 -17202 -16628 -16859 -13644 -13576 -13199 -9297 -9600 -8933 -4615 -4969 -4473 0 0 0 运行结果分析: 从结果中可以看出误差的大小,取决于近似表达式的精度,在利用泰勒公式求近似模型时,如果展开的精度越高,则误差就越小,在数据表中也可以看出, 取得精度比 高,所以结果与真实值相差的更小。 问题三: 利用 ,对摆角的角速度: 进行化简,将结果与书上的表达式进行比较,并用问题二的方法进行计算比较。 问题分析: 首先对表达式(1)和(2)进行化简.过程如下: 得到角速度的近似模型: 其次,为了将上面的(3)和(4)式的结果与问题二中的结果进行比较。列出比较公式如下: 角速度和角加速度的原公式如下: 近似 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 (I): 近似方案(II): 近似方案(III): 实验程序: function shiyan803 r=100；l=300；w=240； for i=1:13 x(i)=(i-1)*(pi/12)； y(i)=r*w*cos(x(i))/sqrt(l^2-r^2*(sin(x(i)))^2)； y1(i)=w*r*cos(x(i))/l； y2(i)=w*(r*cos(x(i))/l+r^3*(sin(x(i)))^2*cos(x(i))/(2*l^3))； y3(i)=w*r*cos(x(i))*(1+r^2*(sin(x(i)))^2/(2*l^2))/l； z(i)=-r*w*w*sin(x(i))*(l^2-r^2)/((l^2-r^2*sin(x(i)))^1.5)； z1(i)=-w*w*r*sin(x(i))/l； z2(i)=-w*w*(r*sin(x(i))/l+r^3*((sin(x(i)))^3-sin(2*x(i))*cos(x(i)))/(2*l^3))； z3(i)=-w*w*r*sin(x(i))*(l^2-r^2)*(1+3*r^2*sin(x(i))*sin(x(i)))/(2*l^2))/(l^3) ； end subplot(4,2,1),plot(x,y),title('原始')； subplot(4,2,2),plot(x,z),title('原始')； subplot(4,2,3),plot(x,y1),title('I')； subplot(4,2,4),plot(x,z1),title('I')； subplot(4,2,5),plot(x,y2),title('II')； subplot(4,2,6),plot(x,z2),title('II')； subplot(4,2,7),plot(x,y3),title('III')； subplot(4,2,8),plot(x,z3),title('III')； 运行结果如下: 表2:角速度的四种表达式的数据比较表 0 80.0000 80.0000 80.0000 80.0000 77.5633 77.2741 77.5616 77.5616 70.2648 69.2820 70.2443 70.2443 58.2086 56.5685 58.1399 58.1399 41.7786 40.0000 41.6667 41.6667 21.8702 20.7055 21.7788 21.7788 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -21.8702 -20.7055 -21.7788 -21.7788 -41.7786 -40.0000 -41.6667 -41.6667 -58.2086 -56.5685 -58.1399 -58.1399 -70.2648 -69.2820 -70.2443 -70.2443 -77.5633 -77.2741 -77.5616 -77.5616 -80.0000 -80.0000 -80.0000 -80.0000 表3:角加速度的四种表达式的数据比较表 0 0 0 0 0 -4615 -4969 -4473 -4466 -9297 -9600 -8933 -8889 -13644 -13576 -13199 -13074 -17202 -16628 -16859 -16628 -19546 -18546 -19369 -19049 -20365 -19200 -20267 -19911 -19546 -18546 -19369 -19049 -17202 -16628 -16859 -16628 -13644 -13576 -13199 -13074 -9297 -9600 -8933 -8889 -4615 -4969 -4473 -4466 -00000 -00000 -00000 -00000 将算出的数据通过画图进行比较,如下: 图3角速度和角加速度的数据比较图 问题四: 图4给出了具有偏心距情况的滑块机构示意图,这个机构的特点是:滑块的运动轨迹仍然在原来的平面上,且与轴线 平行,但运动轨迹与 有距离 (称为偏心距)。这样进程时间将与退程时间不同。设连杆 长度为 ,曲柄 的长为 ,距离 ,曲柄的角速度 ,对 在一个周期即 中计算滑块的位移、行程、速度、加速度和摆角及其最值。 图4 问题分析与模型的建立: 由于P点始终在直线 上,所以我们只需要考虑滑块在 方向上的位移,不需要再考虑在 轴上的位移。以 点为坐标原点, 轴方向为正方向,P点坐标为 ,P点的位移为 ,利用三角关系,得到: 将数据代入后有: 由于 ,假设滑块的角速度为 ,则 ； 从而有 由于此表达式中关于 和 的关系很复杂,所以我们考虑用Mathamatic软件进行求导后得到: 滑块的位移为: 滑块的行程为: 滑块的速度为: 滑块的加速度为: 滑块的摆角满足的关系式: 从而有滑块的摆角为: 实验程序如下: function shiyan804 r=100；l=300；w=240；e=20； for i=1:24 t(i)=(i-1)*(pi/12)； % 滑块的角度theta x(i)=(r-e/sin(t(i)))*cos(t(i))+sqrt(l^2-(r-e/sin(t(i)))^2*sin(t(i))*sin(t(i))) +e*cos(t(i))/sin(t(i))； %滑块的位移 v(i)=w*(e+e*cos(t(i))-e*csc(t(i))*csc(t(i))-r*sin(t(i))+(-r*r*cos(t(i)) +e^2*cot(t(i))*csc(t(i)))/(2*sqrt(l^2-(r-e*csc(t(i)))^2*sin(t(i)))))； %滑块的速度 a(i)=w*(-r*cos(t(i))-(r^2*cos(t(i))-e^2*cot(t(i))*csc(t(i)))^2/ (4*l^2+2*e*r-e^2*csc(t(i))-r^2*sin(t(i))+ (-e^2*cot(t(i))*cot(t(i))-e^2*(csc(t(i)))^3+r^2*sin(t(i)))/ (2*sqrt(l^2-(r-e*csc(t(i)))^2*sin(t(i))))))； %滑块的加速度 b(i)=asin((r*sin(t(i))-e)/l)；%滑块的摆角 end subplot(2,2,1),plot(t,x),title('位移')； subplot(2,2,2),plot(t,v),title('速度')； subplot(2,2,3),plot(t,a),title('加速度')； subplot(2,2,4),plot(t,b),title('摆角')； f1='(100-20/sin(x))*cos(x)+sqrt(300^2-(100-20/sin(x))^2*sin(x)*sin(x)) +20*cos(x)/sin(x)'； %求位移最小值 [x1min,y1min]=fminbnd(f1,0,2*pi) %求位移最小值 f2='-(100-20/sin(x))*cos(x)+sqrt(300^2-(100-20/sin(x))^2*sin(x)*sin(x)) + 20*cos(x)/sin(x)' ；%求位移最大值 [x2min,y2min]=fminbnd(f2,0,2*pi) %求位移最大值 f3='240*(20+20*cos(x)-20*csc(x)*csc(x)-100*sin(x)+(-100*100*cos(x)+20^2*cot(x)*csc(x))/(2*sqrt(300^2-(100-20*csc(x))^2*sin(x))))'；%求速度最小值 [x3min,y3min]=fminbnd(f3,0,2*pi) %求速度最小值 f4='-240*(20+20*cos(x)-20*csc(x)*csc(x)-100*sin(x)+(-100*100*cos(x)+20^2*cot(x)*csc(x))/(2*sqrt(300^2-(100-20*csc(x))^2*sin(x))))'；%求速度最大值 [x4min,y4min]=fminbnd(f4,0,2*pi) %求速度最大值 f5='240*(-100*cos(x)-(100^2*cos(x)-20^2*cot(x)*csc(x))^2/(4*300^2+2*20*100-20^2*csc(x)-100^2*sin(x)+ (-20^2*cot(x)*cot(x)-20^2*(csc(x))^3+100^2*sin(x))/ (2*sqrt(300^2-(100-20*csc(x))^2*sin(x)))))'；%求加速度最小值 [x5min,y5min]=fminbnd(f5,0,2*pi) %求加速度最小值 f6='-240*(-100*cos(x)-(100^2*cos(x)-20^2*cot(x)*csc(x))^2/(4*300^2+2*20*100-20^2*csc(x)-100^2*sin(x)+ (-20^2*cot(x)*cot(x)-20^2*(csc(x))^3+100^2*sin(x))/(2*sqrt(300^2-(100-20*csc(x))^2*sin(x)))))'；%求加速度最大值 [x6min,y6min]=fminbnd(f6,0,2*pi) %求加速度最大值 f7='asin((100*sin(x)-20)/300)'；%求摆角最小值 [x7min,y7min]=fminbnd(f7,0,2*pi) %求加速度最小值 f8='asin((100*sin(x)-20)/300)'；%求摆角最大值 [x8min,y8min]=fminbnd(f8,0,2*pi) %求加速度最大值 运行结果列表后如下: 位移 速度 加速度 摆角 0 NaN NaN NaN -0.0667 396.5349 -0.0000 -0.0000 0.0196 385.0988 -0.0000 -0.0000 0.1002 366.3937 -0.0000 -0.0000 0.1699 342.5134 -0.0000 -0.0000 0.2239 315.9398 -0.0000 -0.0000 0.2582 289.1366 -0.0000 -0.0000 0.2699 264.1760 -0.0000 0.0000 0.2582 242.5134 -0.0000 -0.0000 0.2239 224.9723 -0.0000 -0.0000 0.1699 211.8937 -0.0000 -0.0000 0.1002 203.3498 -0.0000 0.0000 0.0196 192.0000 -3.2005 + i 2.8334i -0.0667 199.8781 -0.0000 0.0000 -0.1535 205.1165 -0.0000 -0.0000 -0.2355 215.2466 0.0000 -0.0000 -0.3072 230.4209 0.0000 -0.0000 -0.3633 250.5348 0.0000 0.0000 -0.3992 274.9545 0.0000 0.0000 -0.4115 302.2986 0.0000 -0.0000 -0.3992 330.4209 0.0000 -0.0000 -0.3633 356.6680 0.0000 -0.0000 -0.3072 378.3216 -0.0000 -0.0000 -0.2355 393.0632 -0.0000 -0.0000 -0.1535 从该表中看到速度和加速度的值可能有些问题,主要是数量级很高,为了清楚表示出数据的值,我们可以采用画图的方法,做出的数据图如图5: 为了求出行程,我们需要计算出位移的最大值和最小值 位移的最小值为: 198.9975, 在 3.2418 处取得； 位移的最大值为: 396.5349,在 0.2618 处取得； 摆角的最小值为: -0.4115 , 在 4.7124 处取得； 摆角的最大值为: 0.4115 ,在 4.7124 处取得； 加速度最大值为: 2.4449e+003,在 4.5065处取得； 加速度最小值为: -1.0018e+030,在 6.2832处取得； 从而行程为: 396.5349-198.9975=197.5374 图5 _1179520043.unknown _1179584619.unknown _1179587637.unknown _1179589199.unknown _1179594822.unknown _1179594863.unknown _1179594884.unknown _1179594906.unknown _1179596000.unknown _1179594895.unknown _1179594873.unknown _1179594838.unknown _1179594852.unknown _1179594830.unknown _1179591598.unknown _1179594803.unknown _1179594813.unknown _1179592416.unknown _1179590984.unknown _1179591470.unknown _1179590475.unknown _1179587938.unknown _1179588161.unknown _1179588208.unknown _1179589092.unknown _1179588198.unknown _1179588061.unknown _1179588091.unknown _1179588029.unknown _1179587736.unknown _1179587786.unknown _1179587933.unknown _1179587765.unknown _1179587685.unknown _1179587717.unknown _1179587660.unknown _1179586669.unknown _1179586759.unknown _1179586815.unknown _1179586841.unknown _1179586797.unknown _1179586707.unknown _1179586746.unknown _1179586693.unknown _1179585274.unknown _1179586425.unknown _1179586548.unknown _1179585275.unknown _1179584643.unknown _1179584653.unknown _1179585273.unknown _1179584630.unknown _1179569357.unknown _1179569663.unknown _1179582124.unknown _1179583174.unknown _1179583180.unknown _1179582647.unknown _1179582664.unknown _1179581449.unknown _1179581836.unknown _1179569759.unknown _1179568169.unknown _1179568288.unknown _1179568307.unknown _1179568329.unknown _1179568350.unknown _1179568360.unknown _1179568338.unknown _1179568316.unknown _1179568297.unknown _1179568262.unknown _1179568278.unknown _1179568250.unknown _1179568106.unknown _1179568115.unknown _1179566568.unknown _1179568086.unknown _1179568096.unknown _1179566957.unknown _1179566593.unknown _1179520648.unknown _1179520798.unknown _1179520067.unknown _1179518557.unknown _1179519248.unknown _1179519931.unknown _1179520007.unknown _1179519904.unknown _1179518994.unknown _1179518726.unknown _1179518691.unknown _1179518702.unknown _1179518575.unknown _1179518662.unknown _1179518351.unknown _1179518421.unknown _1179518475.unknown _1179518382.unknown _1179518325.unknown _1179518340.unknown _1179518312.unknown