g3.1041 不等式的应用（一）
一、知识要点:
1. 不等式始终贯穿在整个中学数学之中, 诸如集合问题、方程（组）的解的讨论、 函数单调性的研究、函数的定义域、值域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题， 无一不与不等式有着密切关系。
2. 不等式的应用主要有两类.
Ⅰ）一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围．这类问题所进行的必须是等价转化．
Ⅱ）一类是解决与不等式有关的实际问题．这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．
3. 运用均值不等式求最值时，要注意是否具备使用定理的条件，即＂一正二定三等＂，三者缺一不可．
二、基本训练
1、下列函数中，最小值为4的是……………………………………………… ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
1、若x+2y=4,且x>0,y>0,则 lgx+lgy的最大值为 ………………………………（ ）
（A）2 （B）2lg2 （C）lg2 （D）
2、设a,b为实数，且a+b=3,则2a+2b的最小值是 ………………………………（ ）
（A）6 （B）
（C）
（D）8
3、函数
图象上最低点的坐标为…………………………（ ）
（A）（0，5） (B) （3，4） (C) （3，2） (D) （8，
）
4、x、y∈R+，那么不等式
恒成立的最小正数a= .
5、(1)若
的最大值是 ；(2)函数tgx+ctgx的值域是 ；
6.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐在5%以上，6%以下的食盐水，设需要加
入含盐4%的食盐水x克，则x的范围是 .
三、例题分析
例1、（2004年南通市模拟）已知函数
（1） 若函数
图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：
；
（2） 若
，函数
上任一点切线斜率为k，议论
的充要条件。
答案：
（名师1号P208例4）
例2、有一位同学写了一个不等式:
(x∈R)
(1) 他发现当c=1,2,3时, 不等式都成立. 试问: 不等式是否对任意的正数c都成立?为什么?
(2) 对于已知的正数c, 这位同学还发现, 把不等式右边的”
”改成某些值, 如－c, 0等, 不等式总是成立的.试求出所有的这些值的集合M.
例3、函数
的定义域为R，且
（1） 求证：
；
（2） 若
且
在
上的最小值为
，
求证：
（提示：名师1号P398，第15题）
四、同步练习g3.1041 不等式的应用（一）
1. 下列函数中,最小值为4的函数是: ( )
A.
B.
(0
0, b>0且 a+b为定值
C. a<0, b<0且 a+b为定值 D. a>0, b<0且 a+b为定值
5. a、b∈R+， 且2a+b=1， 则S=
的最大值是： （ ）
A．
B.
C.
D.
6. 偶函数y=
, 奇函数y=
的定义域均为
,
在
,
在
上的图象如图,则不等式
<0的解集为: ( )
-4 -2 o 4
A.
B.
C.
D.
7.若p=a+
+2 (a>0) q=arccost (－1≤t≤1) 则下列不等式恒成立的是:( )
A.p≥л>q B. p>q≥0 C. 4>p≥q D. p≥q>0
8. 平面上的点p(x,y),使关于t的二次方程
的根都是绝对不超过1的实数,那么这样的点的集合在平面区域的形状是: ( )
A . B. C. D
9. 设
是定义在R上的以3为周期的奇函数,若
>1.
.则a的取值范围是
10. 已知定义域为
的函数
同时满足: ①对于任意x∈
,总有
≥0；
②
； ③若x1≥0，x2≥0， x1 + x2≤0 ，则有f( x1 + x2)≥f( x1)+f( x2)
(1) 求
的值.
(2) (2)求
的最大值.
(3)
证明
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:满足上述条件的函数
对一切实数x,都有
≤2x.
*11、对满足：|p|＜2的一切p，不等式
＋p
＋1＞2
＋p恒成立，求实数x的取值范围（提示：可以理解为关于p的一次函数）.
12、（05湖北卷）22．（本小题满分14分）
已知不等式
为大于2的整数，
表
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示不超过
的最大整数. 设数列
的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列
是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
时，对任意b>0，都有
CDBDA BBC
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浙公网安备 33021202002483