数学模型姜启源完整ppt课件

数学模型主讲|敬成林.课程简介课程名称学时36数学模型与数学建模MathematicalModeling学分3课程类别专业选修课先修课程微积分、线性代数、概率论与数理统计课程简介本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 及其试验 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。教材及参考书目《数学模型》，姜启源主编，高等教育出版社.第一章建立数学模型第二章初等模型第三章简单的优化模型第四章数学 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 模型第五章微分方程模型第六章稳定性模型第七章差分方程模型第八章离散模型第九章概率模型第十章统计回归模型附录:数学建模实验.教学进度周次节次教学内容课时作业执行情况1五5－61.1-1.5数学模型的介绍1.6数学模型的基本方法步骤、特点和分类22五5－62.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五5－62.7实物交换3.2生猪的出售时机24五5－63.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五5－63.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五5－64.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五5－65.2经济增长模型5.6人口的预测和控制28五5－66.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛(讨论课)2.9五5－66.4种群的相互依存7.1市场经济中的蛛网模型210五5－67.2减肥 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 -节食与运动8.3层次分析模型212五5－68.4效益的合理分配9.2报童的诀窍(讨论课)213五5－69.5随机人口模型9.6航空公司的预定票策略214五5－610.1牙膏的销售量2评估周15五5－6Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五5－6数学建模实验(上机)217五5－6数学建模实验(上机)218考试.第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模.玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1从现实对象到数学模型我们常见的模型.你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5.航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。.数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模.1.2数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。.数学建模的具体应用分析与设计预报与决策控制与优化规划与管理数学建模计算机技术知识经济.1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。.模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转.用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地.模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定.背景世界人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长.指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据.阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）.x(t)~S形曲线,x增加先快后慢阻滞增长模型(Logistic模型).参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）专家估计阻滞增长模型(Logistic模型).模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型).数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模的方法和步骤.数学建模的一般步骤模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’.模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤.模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤.数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界.1.5数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的特点.数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续.1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进别人作过的模型亲自动手，认真作几个实际题目.第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.7实物交换.2.1公平的席位分配问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗.“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标当p1/n1=p2/n2时，分配公平p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平Ap1/n1–p2/n2=5.公平分配方案应使rA,rB尽量小设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义.1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)p2/n2问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B.当rB(n1+1,n2) 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗的功效.TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度建模.记单层玻璃窗传导的热量Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模.模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大.问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)2.7实物交换.甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。.无差别曲线族的性质：单调减(x增加,y减小)下凸(凸向原点)互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）.乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径乙的无差别曲线族g=c2(坐标系x’O’y’,且反向）甲的无差别曲线族f=c1双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p’,(双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作AB.p交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0).第三章简单的优化模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.6消费者均衡.现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数(不是函数)建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型.3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1.敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。.敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。.强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t).3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt..模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.模型建立目标函数——总费用.模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释/是火势不继续蔓延的最少队员数其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数.模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x.3.4最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解求p使U(p)最大.使利润U(p)最大的最优价格p*满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模与求解.结果解释q/2~成本的一半b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）a~绝对需求(p很小时的需求)bp*ap*思考：如何得到参数a,b?.3.6消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函数已知甲乙价格p1,p2,有钱s，试分配s,购买甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大..模型及求解已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大几何解释最优解Q:MN与l2切点.结果解释消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。效用函数U(q1,q2)应满足的条件A.U(q1,q2)=c所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸解释B的实际意义.效用函数U(q1,q2)几种常用的形式消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。.购买两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙的偏爱程度。思考：如何推广到m(>2)种商品的情况效用函数U(q1,q2)几种常用的形式.第四章数学规划模型4.3汽车生产与原油采购4.5饮料厂的生产与检修.数学规划模型实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析.如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变？例1汽车厂生产计划汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3汽车生产与原油采购.设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划模型建立线性规划模型(LP).模型求解3）模型中增加条件：x1,x2,x3均为整数，重新求解。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？.IP可用LINDO直接求解整数规划(IntegerProgramming,简记IP)“gin3”表示“前3个变量为整数”，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解IP结果输出.其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型汽车厂生产计划若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610.LINDO中对0-1变量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1变量，化为整数规划M为大的正数，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180.000000-2.000000X2150.000000-3.000000X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或80最优解同前.NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。方法3：化为非线性规划非线性规划（Non-LinearProgramming，简记NLP）实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或80.应如何安排原油的采购和加工？例2原油采购与加工市场上可买到不超过1500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。.决策变量目标函数问题分析利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量c(x)~购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？.原油供应约束条件x500吨单价为10千元/吨；500吨x1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨x1500吨，超过1000吨的6千元/吨。目标函数.目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。汽油含原油A的比例限制约束条件.x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数目标函数只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3500吨x1000吨，超过500吨的8千元/吨x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3.方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x120;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。.y1,y2,y3=1~以价格10,8,6(千元/吨)采购A增加约束方法20-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数优于方法1的结果.b1b2b3b4方法3b1xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).b2xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z30,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z40,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数c(x).IP模型，LINDO求解，得到的结果与方法2相同.处理分段线性函数，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否则,yk=0方法3bkxbk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).对于k=1,2,3.4.5饮料厂的生产与检修单阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题企业生产计划考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难.安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料0.2千元。例1饮料厂的生产与检修计划在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?某种饮料4周的需求量、生产能力和成本.问题分析除第4周外每周的生产能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周的存贮费；每周末的库存量等于下周初的库存量。模型假设.目标函数约束条件产量、库存与需求平衡决策变量能力限制非负限制模型建立x1~x4：第1~4周的生产量y1~y3：第1~3周末库存量存贮费:0.2(千元/周•千箱).模型求解4周生产计划的总费用为528(千元)最优解：x1~x4：15，40，25，20；y1~y3：0，15，5.LINDO求解.检修计划0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?检修安排在任一周均可约束条件能力限制产量、库存与需求平衡条件不变.增加约束条件：检修1次检修计划目标函数不变0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。最优解：w1=1,w2,w3,w4=0;x1~x4：15,45,15,25；y1~y3：0,20,0..例2饮料的生产批量问题安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料0.2千元。饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料。若某周开工生产某种饮料,需支出生产准备费8千元。某种饮料4周的需求量、生产能力和成本.混合0-1规划模型最优解：x1~x4：15，40，45，0；总费用：554.0(千元)生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用LINDO求解.第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.6人口预测和控制.动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程.5.1传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型.已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加建模?.模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型.模型2tm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大.模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。.模型3接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例.模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模.模型4SIR模型.模型4SIR模型.模型4SIR模型s(t)单调减相轨线的方向P1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值.模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/.模型4SIR模型被传染人数的估计小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=.5.2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0.模型假设z随着y的增加而增长，但增长速度递减1.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？Douglas生产函数.QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数.w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）.3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)劳动力相对增长率为常数.Bernoulli方程.产值Q(t)增长3)经济增长的条件.劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长3)经济增长的条件.5.6人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程.人口发展方程一阶偏微分方程.人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）.生育率的分解~总和生育率h~生育模式.人口发展方程和生育率正反馈系统滞后作用很大.人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高.第六章稳定性模型6.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛6.4种群的相互依存.稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。.6.1捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景.产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量.一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程.产量模型稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率.产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点P的纵坐标h~产量产量最大控制渔场鱼量为最大鱼量的一半.效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.求E使R(E)最大收入T=ph(x)=pEx支出S=cE.捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度令=0.6.2军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的.建模军备竞赛的结局x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。..平衡点P0(0,0)1,2为负数或有负实部p<0或q<0.平衡点稳定性判断军备竞赛.模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。.模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。.6.4种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。.模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1倍甲为乙提供食物是乙消耗的2倍.种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点.平衡点P2稳定性的相轨线1<1,2>1,12<1P2稳定.12<1~2>1前提下P2存在的必要条件结果解释2>1~甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1成立P2稳定条件：1<1,2>1,12<1.7.1市场经济中的蛛网模型7.2减肥计划——节食与运动第七章差分方程模型.7.1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡.蛛网模型xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0.设x1偏离x0x1P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛网模型.在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致.~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格结果解释.经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变结果解释.模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件.(c1,c2由初始条件确定)平衡点稳定，即k,xkx0的条件:模型的推广.7.2减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖..模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。.某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。.确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变.第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克1）不运动情况的两阶段减肥计划.第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划.第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克.运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划t~每周运动时间(小时).3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变.第八章离散模型8.1层次分析模型8.4效益的合理分配y.离散模型离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、……分析社会经济系统的有力工具只用到代数、集合及图论（少许）的知识.8.1层次分析模型背景日常工作、生活中的决策问题涉及经济、社会等方面的因素作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法.目标层O(选择旅游地)准则层方案层一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择..“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。.层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地.成对比较的不一致情况允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量.成对比较完全一致的情况A的秩为1，A的唯一非零特征根为nA的任一列向量是对应于n的特征向量A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量.2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量.一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下.“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验.组合权向量同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3).组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T.组合权向量第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵.层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。.二.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成对比较阵是数量依