理论力学（第三版）第5章第7节哈密顿原理理论力学（第三版）第5章第7节哈密顿原理本节导读泛函变分的概念欧拉方程泛函导数哈密顿原理§5.7哈密顿原理1变分法初步质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑到B所需时间显然轨道不同J也不同.一般地说,一个变量J,其值取决于函数y＝y(x),就叫做函数y(x)泛函,记做J[y(x)].(1)泛函(2)变分选取光滑轨道y＝y(x),使指点从A自由下滑到B所需时间最短,即求泛函的极值,就称为变分.设想函数关系y(x)稍有变动,从y变为y+y,这里y称为函数y(x)的变分.泛函的值也随之而变,其增量上式右边叫泛函的变...
理论力学（第三版）第5章第7节哈密顿原理本节导读泛函变分的概念欧拉方程泛函导数哈密顿原理§5.7哈密顿原理1变分法初步质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑到B所需时间显然轨道不同J也不同.一般地说,一个变量J,其值取决于函数y＝y(x),就叫做函数y(x)泛函,记做J[y(x)].(1)泛函(2)变分选取光滑轨道y＝y(x),使指点从A自由下滑到B所需时间最短,即求泛函的极值,就称为变分.设想函数关系y(x)稍有变动,从y变为y+y,这里y称为函数y(x)的变分.泛函的值也随之而变,其增量上式右边叫泛函的变分,记做J[y].泛函的极值条件是变分J[y]=0.所以一般来说,两端点总是不变的,变分等于零,这就是泛函取极值的必要条件,叫做这个变分问题的欧拉方程.(3)泛函导数显然这样,欧拉方程也可说是泛函J在任一点的泛函导数等于零.思考:比较欧拉方程和保守力系的拉格朗日方程(4)变分运算法则但是t=0,变分和求导可以互换(等时变分),不然不行(全变分).2哈密顿原理注意到拉格朗日方程与欧拉方程的形式完全一样,这就引申:拉格朗日函数应满足这样,力学系统的动力学就归结为一个变分原理:力学系统从时刻t1到时刻t2的一切可能的运动之中,使哈密顿作用量取极值的运动才是实际发生的运动.这叫作哈密顿原理.以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间.力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变,位形空间中的代表点就描出相应曲线.在一切可能的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实的运动.如认为力学系统在位形空间或相空间中的代表点的初始和终末位形是给定的,则哈密顿理中的被积函数加上某个函数对时间t的全导数,并不改变动力学方程.在位形空间中描述力学系统的运动,这时,时间是外加的参数.我们还可以增添时间轴,把s维的位形空间改为s+1维的推广的位形世界.在这世界中,力学系统的演变历史完全由一根曲线所代表,这曲线叫做力学系统的“世界线”.哈密顿变分原理形式十分紧凑,在坐标变换下显然不变.它也容易移植于无限个自由度的力学系统甚至非力学系统.所以可以认为:哈密顿变分原理是比牛顿运动定律更为基本的普遍原理．例1试由哈密顿原理导出正则方程.解:由哈密顿原理,得因为H是p,q,t的函数,并且t=0,所以又因端点是固定的,所以因p,q在积分范围内是任意的,而且相互独立,故得小结变分运算法则注意:t=0,变分和求导可互换(等时变分),不然不行(全变分).哈密顿原理:力学系统从时刻t1到时刻t2的一切可能的运动之中,使哈密顿作用量取极值的运动才是实际发生的运动.
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