2019-2020年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

精品模拟试题甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}　2．下面是关于复数SHAPE\*MERGEFORMAT的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（　　）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4　3．下列推断错误的是（　　）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件　4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．6　5．已知平面向量SHAPE\*MERGEFORMAT与SHAPE\*MERGEFORMAT的夹角为SHAPE\*MERGEFORMAT，且|SHAPE\*MERGEFORMAT|=1，|SHAPE\*MERGEFORMAT+2SHAPE\*MERGEFORMAT|=2SHAPE\*MERGEFORMAT，则|SHAPE\*MERGEFORMAT|=（　　）A．1B．SHAPE\*MERGEFORMATC．3D．2　6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则SHAPE\*MERGEFORMAT的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．6　7．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）A．6B．5C．3D．4　8．已知集合SHAPE\*MERGEFORMAT表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT　9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． x ﹣1 0 2 3 4 f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．2B．3C．4D．5　10．定义行列式运算：SHAPE\*MERGEFORMAT．若将函数SHAPE\*MERGEFORMAT的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT　11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．4D．SHAPE\*MERGEFORMAT　12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=SHAPE\*MERGEFORMAT，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）A．[SHAPE\*MERGEFORMAT，2）B．[SHAPE\*MERGEFORMAT，2]C．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1）D．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1]　　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=　　　　　　．　14．若tanθ+SHAPE\*MERGEFORMAT=4，则sin2θ=　　　　　　．　15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　　　　　．　16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为　　　　　　．　　三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若SHAPE\*MERGEFORMAT，且SHAPE\*MERGEFORMAT，求a和c的值．　18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．　19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．SHAPE\*MERGEFORMAT　20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，SHAPE\*MERGEFORMAT）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为SHAPE\*MERGEFORMAT，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．　21．已知函数SHAPE\*MERGEFORMAT，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．　　请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．　　选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程SHAPE\*MERGEFORMAT为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是SHAPE\*MERGEFORMAT，射线OM：θ=SHAPE\*MERGEFORMAT与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．　　选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．　　甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合SHAPE\*MERGEFORMAT，则M∪N=（　　）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合SHAPE\*MERGEFORMAT={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．　2．下面是关于复数SHAPE\*MERGEFORMAT的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（　　）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；SHAPE\*MERGEFORMAT，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．【解答】解：p1：|z|=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故命题为假；p2：z2=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=2i，故命题为真；SHAPE\*MERGEFORMAT，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；∵SHAPE\*MERGEFORMAT，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．　3．下列推断错误的是（　　）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．　4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为SHAPE\*MERGEFORMAT，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是SHAPE\*MERGEFORMAT，设底面边长为a，则SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=6，故三棱柱体积SHAPE\*MERGEFORMAT．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，在以后的高考中有加强的可能．　5．已知平面向量SHAPE\*MERGEFORMAT与SHAPE\*MERGEFORMAT的夹角为SHAPE\*MERGEFORMAT，且|SHAPE\*MERGEFORMAT|=1，|SHAPE\*MERGEFORMAT+2SHAPE\*MERGEFORMAT|=2SHAPE\*MERGEFORMAT，则|SHAPE\*MERGEFORMAT|=（　　）A．1B．SHAPE\*MERGEFORMATC．3D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知将，|SHAPE\*MERGEFORMAT+2SHAPE\*MERGEFORMAT|=2SHAPE\*MERGEFORMAT，两边平方，得到SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|SHAPE\*MERGEFORMAT+2SHAPE\*MERGEFORMAT|2=12，即SHAPE\*MERGEFORMAT，所以|SHAPE\*MERGEFORMAT|2+4|SHAPE\*MERGEFORMAT||SHAPE\*MERGEFORMAT|×SHAPE\*MERGEFORMAT+4=12，所以|SHAPE\*MERGEFORMAT|=2；故选D．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．　6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则SHAPE\*MERGEFORMAT的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则SHAPE\*MERGEFORMAT=（m+n）SHAPE\*MERGEFORMAT=2+SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=4，当且仅当m=n=SHAPE\*MERGEFORMAT时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．　7．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）A．6B．5C．3D．4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{an}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lgan}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．　8．已知集合SHAPE\*MERGEFORMAT表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT，即B（4，﹣4），由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT，即A（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=SHAPE\*MERGEFORMAT，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故选：DSHAPE\*MERGEFORMAT【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．　9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． x ﹣1 0 2 3 4 f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．2B．3C．4D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；导数的概念及应用．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：SHAPE\*MERGEFORMAT因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．　10．定义行列式运算：SHAPE\*MERGEFORMAT．若将函数SHAPE\*MERGEFORMAT的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质．【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．【解答】解：由定义的行列式运算，得SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为SHAPE\*MERGEFORMAT．由该函数为奇函数，得SHAPE\*MERGEFORMAT，所以SHAPE\*MERGEFORMAT，则m=SHAPE\*MERGEFORMAT．当k=0时，m有最小值SHAPE\*MERGEFORMAT．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．　11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．4D．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+SHAPE\*MERGEFORMAT=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴SHAPE\*MERGEFORMAT∴|OM|=SHAPE\*MERGEFORMAT故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．　12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=SHAPE\*MERGEFORMAT，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）A．[SHAPE\*MERGEFORMAT，2）B．[SHAPE\*MERGEFORMAT，2]C．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1）D．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1]【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以SHAPE\*MERGEFORMAT为首项，以SHAPE\*MERGEFORMAT为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=f（1）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴数列{an}是以SHAPE\*MERGEFORMAT为首项，以SHAPE\*MERGEFORMAT为等比的等比数列，∴an=f（n）=（SHAPE\*MERGEFORMAT）n，∴Sn=SHAPE\*MERGEFORMAT=1﹣（SHAPE\*MERGEFORMAT）n∈[SHAPE\*MERGEFORMAT，1）．故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=　14　．【考点】选择结构．【专题】图表型．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出5⊗3+2⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=SHAPE\*MERGEFORMAT∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．　14．若tanθ+SHAPE\*MERGEFORMAT=4，则sin2θ=　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：若tanθ+SHAPE\*MERGEFORMAT=4，则sin2θ=2sinθcosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故答案为SHAPE\*MERGEFORMAT．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．　15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2SHAPE\*MERGEFORMAT，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为SHAPE\*MERGEFORMAT．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2SHAPE\*MERGEFORMAT∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为SHAPE\*MERGEFORMAT故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．　16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．【解答】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=SHAPE\*MERGEFORMAT在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即SHAPE\*MERGEFORMAT，因为函数SHAPE\*MERGEFORMAT在[1，2]上单调递增，所以函数SHAPE\*MERGEFORMAT的最大值为SHAPE\*MERGEFORMAT，所以SHAPE\*MERGEFORMAT，所以SHAPE\*MERGEFORMAT．综上SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．　三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若SHAPE\*MERGEFORMAT，且SHAPE\*MERGEFORMAT，求a和c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=SHAPE\*MERGEFORMAT．【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此SHAPE\*MERGEFORMAT．（II）解：由SHAPE\*MERGEFORMAT，可得accosB=2，SHAPE\*MERGEFORMAT，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以SHAPE\*MERGEFORMAT．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．　18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为SHAPE\*MERGEFORMAT，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为SHAPE\*MERGEFORMAT，再结合频率分布直方图可知n=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，SHAPE\*MERGEFORMAT；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：SHAPE\*MERGEFORMAT人；第3组：SHAPE\*MERGEFORMAT人；第4组：SHAPE\*MERGEFORMAT人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：SHAPE\*MERGEFORMAT．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．　19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．SHAPE\*MERGEFORMAT⇒DN∥平面PMB．（2）SHAPE\*MERGEFORMAT⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.SHAPE\*MERGEFORMAT⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.SHAPE\*MERGEFORMAT．∴点A到平面PMB的距离为SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．　20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，SHAPE\*MERGEFORMAT）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为SHAPE\*MERGEFORMAT，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，SHAPE\*MERGEFORMAT）到两焦点的距离求得a，进而根据b=SHAPE\*MERGEFORMAT求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴SHAPE\*MERGEFORMAT．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由SHAPE\*MERGEFORMAT，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则SHAPE\*MERGEFORMAT，又SHAPE\*MERGEFORMAT即SHAPE\*MERGEFORMAT，又圆F2的半径SHAPE\*MERGEFORMAT，所以SHAPE\*MERGEFORMAT，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，SHAPE\*MERGEFORMAT，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．　21．已知函数SHAPE\*MERGEFORMAT，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT（x＞0）令f′（x）＜0，可得SHAPE\*MERGEFORMAT或x＞2；令f′（x）＞0，可得SHAPE\*MERGEFORMAT，∴f（x）在SHAPE\*MERGEFORMAT和（2，+∞）上单调递减，在SHAPE\*MERGEFORMAT单调递增故SHAPE\*MERGEFORMAT（2）SHAPE\*MERGEFORMAT（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则SHAPE\*MERGEFORMAT，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则SHAPE\*MERGEFORMAT，故x∈（0，1），有SHAPE\*MERGEFORMAT恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则SHAPE\*MERGEFORMAT，故SHAPE\*MERGEFORMAT时，f′（x）＜0；SHAPE\*MERGEFORMAT时，f′（x）＞0此时f（x）在SHAPE\*MERGEFORMAT上单调递减，在SHAPE\*MERGEFORMAT单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即SHAPE\*MERGEFORMAT⇒SHAPE\*MERGEFORMAT∵x1≠x2，由不等式性质可得SHAPE\*MERGEFORMAT恒成立，又x1，x2，m＞0∴SHAPE\*MERGEFORMAT⇒SHAPE\*MERGEFORMAT对m∈[3，+∞）恒成立令SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴SHAPE\*MERGEFORMAT故SHAPE\*MERGEFORMAT从而“SHAPE\*MERGEFORMAT对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“SHAPE\*MERGEFORMAT”∴x1+x2的取值范围为SHAPE\*MERGEFORMAT【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键　请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知SHAPE\*MERGEFORMAT，∴AC=12SHAPE\*MERGEFORMAT，AB=6SHAPE\*MERGEFORMAT，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．　选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程SHAPE\*MERGEFORMAT为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是SHAPE\*MERGEFORMAT，射线OM：θ=SHAPE\*MERGEFORMAT与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由SHAPE\*MERGEFORMAT，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程SHAPE\*MERGEFORMAT为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1或x≥﹣SHAPE\*MERGEFORMAT∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，故h（x）min=h（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，故可得到所求实数a的范围为[﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝