2010年中考数学试题分类大全34_矩形、菱形、正方形+

一、选择题 一、选择题 1．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE=2，则tan∠DBE的值是 A． B．2 C． D． 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】B 2．（2010湖南怀化）如图２，在菱形ABCD中， 对角线AC=4，∠BAD=120°， 则菱形ABCD的周长为（ ） A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】C 3．（2010安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 【答案】C 4．（2010甘肃兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20 ，DE⊥AB，垂足为E， A= ，则下列结论正确的个数有 ① ② ③菱形的面积为 ④ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】C 5．（2010江苏南通） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线 AC的长是 A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】D 6．（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形 的边长为 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 7．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲) A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角． 【答案】D 8．（2010 浙江省温州）如图，AC；BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE／／AC交BC的延长线于E，则图中-与AABC全等的 三角形共有(．▲) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 9．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 10．（2010 重庆）已知：如图，在正方形 外取一点 ，连接 ， ， ．过点 作 的垂线交 于点 ． 若 ， ．下列结论： ①△ ≌△ ；②点 到直线 的距离为 ； ③ ；④ ；⑤ ． 其中正确结论的序号是（ ） A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 11．（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ） A． 　　 B． 　 C． 　　 D．不确定 【答案】A 12．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) . A. 669 B. 670　 C.671 D. 672 【答案】B 13．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由 点开始按 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点． 【答案】C 14．（2010 江苏连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 【答案】B 15．（2010福建宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个 直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）. A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18 【答案】B 16．（2010江西）如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 17．（2010 山东滨州） 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为( ) A.60° B.30° C.45° D.90° 【答案】C 18．（2010山东潍坊）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（ ）． 【答案】D 19．（2010北京） 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D． 10 【答案】A 20．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲) A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角． 【答案】D 21．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 22．（2010陕西西安）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为 A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】A 23．（2010江西省南昌）如图，已知矩形纸片 ，点 是 的中点，点 是 上的一点， ，现沿直线 将纸片折叠，使点 落在约片上的点 处， 连接 ，则与 相等的角的个数为 ( ) A.4 B. 3 C.2 D.1 （第10题） 【答案】B 24．（2010湖北襄樊）下列命题中，真命题有（ ） （1）邻补角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 （3）四边形的外角和等于360° （4）矩形的两条对角线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 25．（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【答案】C 26．（2010 四川泸州）如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 27．（2010 山东淄博）如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于 （A）144° （B）126° （C）108° （D）72° 【答案】B 28．（2010 天津）下列命题中正确的是 （A）对角线相等的四边形是菱形 （B）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C）对角线相等的平行四边形是菱形 （D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 29．（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是 A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是360o D．矩形的对角线一定互相垂直 【答案】C 30．（2010 福建泉州南安）已知四边形 中， ，如果添加 一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 31．（2010 四川自贡）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。 A．2－ B． C．2－ D．2 【答案】A 32．（2010 山东荷泽）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为 A． B． C． D． 【答案】C 33．（2010 山东荷泽） 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 A． ㎝ B． ㎝ C． ㎝ D．3㎝ 【答案】B 34．（2010青海西宁） 矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为 A．5 B． C．6 D． 【答案】B 35．（2010广西南宁）正方形 、正方形 和正方形 的位置如图所示，点 在线段 上，正方形 的边长为4，则 的面积为： （A）10 （B）12 （C）14 （D）16 【答案】D 36．（2010广东茂名）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形 ，边 与DC交于点O，则四边形 的周长是 A． B． C． D． 【答案】A 37．（2010广西柳州）如图4，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为 A．10° B．12.5° C．15° D．20° 【答案】C 38．（2010广西柳州）如图6，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的 处，点A对应点为 ，且 =3，则AM的长是 A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 【答案】B 39．（2010湖北宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15, °，则B、D两点之间的距离为（ ）。 40．（2010广西河池）如图5是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的 正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 ， 表示直角三角形的两直角边（ ），下列四个说法： ① ，② ，③ ，④ . 其中说法正确的是 【 】 A．①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 41．（2010广东肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为( ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 42．（2010吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（ ） A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 【答案】B A.15 B. C.7.5 D.15 【答案】A 二、填空题 1．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ▲ ． 【答案】 2．（2010山东威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚． 现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 ． 【答案】 ． 3．（2010浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角 ，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且 ，则 =　　▲　　度． 【答案】25 4．（2010年上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________. 【答案】CF=1或5 5．（2010山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2． 【答案】5.1 6．（2010 福建德化）已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 ㎝2. 【答案】24 7．（2010湖南邵阳）如图（九）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=CD，点E为AB上一点，连结CE，请添加一个你认为合适的条件 ，使四边形AECD为菱形． 图（九） 【答案】AE＝CD或AD∥CE或CE=BC或∠CEB＝∠B的任意一个都可 8．（2010山东临沂） 正方形 的边长为 ,点 、 分别是对角线 上的两点，过点 、 分别作 、 的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 . 【答案】 9．（2010四川宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①、②、④、⑤． 10．（2010 江苏连云港）矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________． 【答案】 11．（2010 黄冈）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm. 【答案】 12．（2010 河北）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】= 13．（2010 山东省德州）在四边形 中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是 （只要写出一种即可）． 【答案】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等． 14．2010 广东珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm， 则点P到BC的距离是_____cm. 【答案】4 15．（2010 四川巴中）如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 （填写番号）。 【答案】①④ 16．（2010江苏淮安）已知菱形ABCD中,对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为 ． 【答案】 17．（2010 湖南株洲）如图，四边形 是菱形，对角线 和 相交于点 ， ， ，则这个菱形的面积是 ． 【答案】16 18．（2010广东中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形 ；把正方形 边长按原法延长一倍得到正方形 （如图（2））；以此下去，则正方形 的面积为 ． 【答案】625 19．(2010江苏苏州)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E， 使AE=AC，则∠BCE的度数是 ▲ °． 【答案】22.5 20．（2010湖北恩施自治州）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = . 【答案】5 21．（2010山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D/重合，若BC=8，CD=6，则CF= . 【答案】 22．（2010云南楚雄）如图，在□ABCD中，对角线 与 相交于点 ，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得□ABCD变为矩形，需要添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】AC＝BD或∠ABC＝90°等． 23．（2010湖北随州）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm. 【答案】 24．（2010黑龙江哈尔滨）如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点 处，折痕为EF，若 ，那么 的度数为 度。 【答案】125 25．（2010广东东莞）如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为 ． 【答案】625 26．（2010 四川绵阳）已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为 ． 【答案】18 27．（2010 广东汕头）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________ 【答案】625 28．（2010 山东淄博）在一块长为8、宽为 的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是　　　　　　　． 【答案】2 29．（2010 天津）如图，已知正方形 的边长为3， 为 边上一点， ．以点 为中心，把△ 顺时针旋转 ，得 △ ，连接 ，则 的长等于 ． 【答案】 30．（2010 甘肃）如图，在 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，且 ， ．下列四种说法： ①四边形 是平行四边形； ②如果 ，那么四边形 是矩形； ③如果 平分 ，那么四边形 是菱形； ④如果 且 ，那么四边形 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） 【答案】①②③④ 31．（2010 福建泉州南安）如图，大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成， 把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形， 那么新正方形的边长是 ． 【答案】 32．（2010广西梧州）如图3，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF，EF交CD于点H，则FH的长为______（结果保留根号）。 全品中考网 【答案】6-2 33．（2010广西河池）如图2，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，E是DC的 中点，BF＝ BC，则四边形DBFE的面积为 ． 【答案】10 34．（2010贵州铜仁）已知菱形的两条对角线的长分别为5和6，则它的面积是________． 【答案】15 35．（2010云南曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角 ，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18cm， =1200时，A、B两点的距离为 cm. 【答案】54 36．（2010黑龙江绥化）如图所示，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件： ，使得△ADF≌△CBE． 【答案】AF=CE或AE=CF或DF∥BE或∠ABE=∠CDF等 37．（2010黑龙江绥化）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 . 【答案】 38．（2010内蒙呼和浩特）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在 处， 交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为 ． 【答案】5 三、解答题 1．（2010安徽省中中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC ⑴求证：四边形BCEF是菱形 ⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE 【答案】 2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°, =4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段 的长． 【答案】解:⑴　在菱形 中, ， ∴ 为等边三角形 ∴ ……………………………4分 ⑵由（1）可知 　 又∵ 为 的中点 ∴ ……………………………6分 又∵ ，及 ∴ ∴ ……………………………8分 3．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等. 一条直线l与方形环的边线有四个交点 、 、 、 ．小明在探究线段 与 的数量关系时，从点 、 向对边作垂线段 、 ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图 ），直线l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，小明发现 与 相等，请你帮他说明理由； ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图 ），l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，l与 的夹角为 ，你认为 与 还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出 的值（用含 的三角函数表示）. 【答案】 ⑴解: 在方形环中， ∵ ∥ ∴ ∴△ ≌△ ∴ 　　　　　　　　 ……………………………5分 ⑵解法一：∵ 　　　∴ ∽ ……………………………8分 ∴ ∵ ∴ HYPERLINK "http://www.gzsxw.net/" EMBED Equation.3 （或 ）……………………………10分 ①当 时，tan =1,则 ②当 时， 则 （或 ） 　　 ……………………………12分 解法二：在方形环中， 又∵ ∴ ∥ ∴ 在 与 中， HYPERLINK "http://www.gzsxw.net/" EMBED Equation.3 即 （或 ）　　　……………………………10分 ①当 时， ②当 时， 则 （或 ） 　　　　　……………………………12分 4．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。 （1）设AE= 时，△EGF的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。 【答案】 5．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 3分 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． 5分 AE=CD． 6分 AD=AE+4． ∵矩形ABCD的周长为32 cm， ∴2（AE+AE+4）=32． 8分 解得， AE=6 （cm）． 10分 6．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ；如果不正确，请说明理由. 【答案】 （1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， 则 ， ， . ∵ ，∴ . 2分 ∴ ， . ∴ . 4分 （2）证明：作 ∥ 交 于点 ， 5分 则 ， . ∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ .∴ . 7分 ∴ . 8分 7．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF． （1）求证：BE = DF； （2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF， ∴ ． ∴BE＝DF． 4分 （2）四边形AEMF是菱形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC． ∵BE＝DF， ∴BC－BE = DC－DF. 即 ． ∴ ． ∵OM = OA， ∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE = AF， ∴平行四边形AEMF是菱形． 8分 8．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积． 【答案】 （1）证明：∵∠AEF=90o， ∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分 在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o， ∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分 （2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点， ∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o． 又∵CF是∠DCH的平分线， ∠ECF=90o+45o=135o．………………………………………4分 在△AGE和△ECF中， ∴△AGE≌△ECF； …………………………………………6分 （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF． 又∵∠AEF=90o， ∴△AEF是等腰直角三角形．………………………………7分 由AB=a，BE= a，知AE= a， ∴S△AEF= a2．…………………………………………………9分 9．（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积． 【答案】 解：（1）四边形OCED是菱形．…………（2分） ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形，…………（3分） 又 在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．…………………（4分） （2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分） ∴OE∥BC 又 CE∥BD ∴四边形BCEO是平行四边形 ∴OE=BC=8……………………………………………（7分） ∴S四边形OCED= ……………（8分） 10．（2010浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6. (1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一 个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若 沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 写出这两个平行四边形的周长. (2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形， 请在图4中用实线画出拼成的平行四边形. (注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等) 【答案】 解：(1) 1分 周长为26 2分 3分 周长为22 4分 (2) 6分 注:画法不唯一. 11．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC, CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF. (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB, BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求GH的长. (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O, ∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示). 【答案】 (1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M， 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n． 12．（2010 浙江省温州市）(本题10分)如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP． 求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形． 【答案】 13．（2010重庆市潼南县）(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ∴△ABE≌△DAF-----------------------4分 （2）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900 ∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC ∴∠1=∠AGB=300 在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ∴AF= DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1 ∴EF=AF-AE= HYPERLINK "http://www.gzsxw.net/" EMBED Equation.3 -----------------------------------------10分 14．（2010山东聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数； （2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 【答案】（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，∴∠CAE＝30º （2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形． 15．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求 的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC 又∵AC为对角线，E为AC上一点， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°． ∵EC＝EC, ∴△BEC≌△DEC(SAS)； （2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°, ∴∠BEC＝∠DEC＝60°． ∵∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝15° ∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105° 16．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为 （3，0）和(0，3 ）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB， BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1， ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开 始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB， AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线 AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？ ② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（1） ； （2）（0, ）， ； （3）①当点 在线段 上时，过 作 ⊥ 轴， 为垂足（如图1） ∵ , ,∠ ∠ 90° ∴△ ≌△ ，∴ ﹒ 又∵ ,∠ 60°,∴ 而 ，∴ , 由 得 ； 当点P在线段 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段 上时， 过P作 ⊥ ， ⊥ ， 、 分别为垂足（如图2） ∵ ,∴ ,∴ ∴ ， 又∵ 在Rt△ 中， 即 ，解得 ． ②存在﹒理由如下： ∵ ，∴ , ， 将△ 绕点 顺时针方向旋转90°，得到 △ （如图3） ∵ ⊥ ，∴点 在直线 上， C点坐标为（ ， －1） 过 作 ∥ ，交 于点Q, 则△ ∽△ 由 ，可得Q的坐标为（－ ， ） 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点 （－ ， ）也符合条件。 17．（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． (1)求证：AC∥DE； (2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由． 【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB， ∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE； ⑵四边形BCEF是平行四边形． 理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°， 又∠EDC=∠CAB，AB=CD， ∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE， ∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC， ∴EF∥BC且EF=BC， ∴四边形BCEF是平行四边形． 18．（2010江苏无锡） （1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°—∠AMN​—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程） （2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正 边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135° 在△AEM和△MCN中：∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （2）仍然成立． 在边AB上截取AE=MC，连接ME ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°． ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （3） 19．（2010山东临沂）如图1，已知矩形 ，点 是边 的中点，且 . (1)判断 的形状，并说明理由； (2)保持图1中的 固定不变，绕点 旋转 所在的直线 到图2中的位置（当垂线段 、 在直线 的同侧）.试探究线段 、 、 长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2 中的 固定不变，继续绕点 旋转 所在的直线 到图3中的位置（当垂线段 、 在直线 的异侧）.试探究线段 、 、 长度之间有什么关系？并给予证明. 【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。 如图（1）在矩形ABED中， 因为点C是边DE的中点，且AB=2AD, 所以AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°. ∴Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°. ∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE. 如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2. 又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即DE=AD+BE. （3）DE=BE-AD. 如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2. 又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE. ∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD. 20．（2010四川宜宾） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作BD∥AC，且BD=2AC，连接AD． 试判断△ABD的形状，并说明理由． 【答案】过点A作AE垂直BD与点E，则四边形ACBE为矩形，所以CB=EA，AC=BE，且BD=2AC，所以BE=ED=AC，在Rt⊿ACB和Rt⊿AED中， ED=AC，CB=EA，∠ACB=∠AED= 90°，所以Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED（SAS）． 所以AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形． 21．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中： （1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由． 【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍. 22．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。 第18题图 【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到 全品中考网 AE＝EF. 23．（2010 山东莱芜）在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ； （3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由. 【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O． ∴点O是 ABCD的对称中心． ∴EO=FO，GO=HO． ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）菱形． （3）菱形． （4）四边形EGFH是正方形． 证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形． ∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC． ∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF． ∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. ∴四边形EGFH是正方形． 24．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长. 【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ . 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（ ）2＋（ x＋x）2＝ . 解得，x＝ （舍去负值）. ∴正方形的边长为 . 25．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在， 求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． 【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°， ∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴ ，∴ ，同理可得 ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ∴ ∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠ ，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3． （2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴ ，即 ，∴ ，当 时，y有最小值，y的最小值为 ，又E在AB上运动，且AB＝2，∴BE的取值范围是 ≤BE＜2． 26．（2010江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 【答案】 27．（2010 四川成都）已知：在菱形 中， 是对角线 上的一动点． （1）如图甲， 为线段 上一点，连接 并延长交 于点 ，当 是 的中点时，求证： ； （2）如图乙，连结 并延长，与 交于点 ，与 的延长线交于点 ．若 ，求 和 的长． 【答案】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC。 ∴∠OBP=∠ODQ ∵O是是 的中点， ∴OB=OD 在△BOP和△DOQ中， ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ ∴△BOP≌△DOQ（ASA） ∴OP=OQ。 （2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T. ∵ABCD是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴AT=ABsin60°= TB=ABcos60°=2 ∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴AS= 。 ∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。 ∴ ， 则 ,∴ ∵AS= ，∴ 。 同理可得△ARD∽△SRC。 ∴ , 则 ,∴ ， ∴ 。 ∴OR=OS-RS= 。 28．（2010湖南常德）如图5， 已知四边形ABCD是菱形， DE⊥AB，DF⊥BC. 求证:△ADE≌△CDF. 【答案】证明：在△ADE和△CDF中, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠A=∠C，AD=CD. 又DE⊥AB，DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=900. ∴△ADE≌△CDF. 29．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE. （1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ① 求证：AG⊥CH； ②当AD=4，DG= 时，求CH的长. 【答案】解：（1） 成立． 　　　　　　 四边形 、四边形 是正方形， 　　　　　　∴ ∠ ∠ . ∴∠ 90°-∠ ∠ . 　　　　　　∴△ △ . ∴ . （2）①类似（1）可得△ △ ， 　　　　　 ∴∠1＝∠2 　 又∵∠ ＝∠ . 　　　　　 ∴∠ ∠ ＝ . 　　　　　 即 　　　　 　 ② 解法一: 过 作 于 , 　　　　　 由题意有 , 　　　　　　∴ ，则 ∠1＝ . 　　　　　　而∠1＝∠2，∴ ∠2＝ ＝ ∠1＝ . 　　　　　　∴ 　，即 . 　　　　　　在Rt 中， ＝ ＝ , 　 而 ∽ ,∴ ,　 即 ,　　　　 ∴ .　 再连接 ，显然有 , 　　　　　 ∴ . 所求 的长为 . 解法二：研究四边形ACDG的面积 过 作 于 , 　　　　 由题意有 , ∴ , . 而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1, , ∴4×1+4×4= ×CH+4 ×1. ∴ = . 30．（2010江苏扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE． （1）求证：∠DAE＝∠DCE； （2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？ 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴∠ADE=∠CDE，AD=CD ∵DE是公共边 ∴△ADE≌△CDE（SAS） ∴∠DAE=∠DCE (2)FG=3EF 解法一：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，∠DAE=∠G ∵∠DAE=∠DCE ∴∠DCE=∠G ∵∠CEF=∠GEC ∴△ECF∽△EGC ∴ ∵△ADE≌△CDE ∴EA=EC ∴ ∵AE=2EF ∴EG=2EC=4EF ∴FG=3EF 解法二：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD ∴△ABE∽△FDE ∴ 同理△BEG∽△DEA ∴ ∴EG=2AE=4EF ∴FG=3EF 31. （2010北京）阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当点P碰到CD边，再沿着与C