浅谈初中数学中几种重要的转化
● 黄华清/ 著
摘 要 初中数学有几种重要的转化 :从复杂向简单的转化 ;从未知向已知的转化 ;从
任意性向特殊性的转化 ;单向传递转化 ;多向发散转化 ;逆向转化等。转化是数学的基本思
想方法 ,学习掌握转化这一重要的思想 ,有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
关键词 初中数学 ;转化实质 ;规律
分类号 : G424 文献标识码 : A
转化是数学的一个重要思想方法 ,探求转化的条件和途径 ,掌握转化的规律 ,对学好数学将起到积极作用。
下面简单谈谈初中数学中几种常见的转化。
一、从复杂向简单的转化
学习数学的过程是从简单到复杂循序渐进 ,而具体解数学问题的思想方法则是把复杂问题由复杂向简单
转化加以解决的。
例 : 解方程组
2 x + 2 y + z = 13 ①
x + y + 2 z = 7 ②
2 x + 3 y - z = 12 ③
解这样复杂的三元一次方程组 ,可以按这样的思路转化 :三元一次方程组转化为二元一次方程组再转化为
一元一次方程组来解。
具体是用加减法先消 z ,得到二元一次方程组
4 x + 5 y = 25
5 x + 7 y = 31
再消 x 得到一元一次方程 3 y = - 1 ,问题就迎
刃而解。
二、从未知向已知的转化
要学习一个新的数学知识 ,解决一个未知的数学问题 ,往往要转化成一个或几个学过的知识 ,已知的问题
来探求的。
例 : 已知如图圆 O 半径为 R ,直径 CD ⊥AB ,以 B 为圆心 ,以 B C 为半径作半圆 CED , 求半圆 CED 和
半圆 CA D 围成新月形 A CED 的面积 S 。
因为 S = S半圆CA D - S弓形CED ,所以 ,要求新月形 A CED 的面积 S , 可以转
化为求半圆 CA D 和弓形 CED 的面积。而弓形 CED 的面积是关键 ,又可转化
成 S 弓形 CED = S 扇形 B CED - S △B CD。综上分析 ,要求新月形 A CED 的
面积 ,可以转化成已学过的半圆 CA D、扇形 B CED 和 △B CD 的面积来解决。
三、从任意性向特殊性的转化
把带任意性的数学问题转化为特殊性的问题来解决 ,有“山穷水复疑无路 ,
柳暗花明又一村”之妙。《几何》第三册第 91 页对圆周角定理的证明就是生动
的例子。
定理 :一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知 :圆 O 中 ,弦 B C 所对的圆周角是 ∠BA C ,圆心角是 ∠B OC。
求证 : ∠BA C = 12 ∠B OC。
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第 13 卷增刊
2000 年 6 月
广西右江民族师专学报
JOU RNAL O F YOUJIA N G T EA CHERS COLL EGE FOR NA TIONAL I TI ES GUA N GXI
S upplement
J un. 2000
证明这道命题 ,如果圆心 O 在
∠BA C 的一边 AB 上 (图 ( 1) ) ,只要
利用三角形内角和定理的推论和等
腰三角形性质即可证明。如果圆 O
在∠BA C 内部或外部 (图 2、3) ,那么
只要作出直径 AD ,将这个角转化为上
述情况的两个角的和或差即可。
四、单向传递转化
这种转化的特点是第一步转化
是第二步转化的必然 ,第二步转化是第一步转化的方向。
例 已知 : AB = CD , B C = DA , E、F 是 A C 上的两点 ,且 A E = CF。求证 : B F = D E。
此题要证 B F = D E ,第一步先转化证 △AB C ≌CDA ,得到 ∠1 =
∠2 , 第二步再转化证 △B CF ≌△DA E , 从而得 B F = D E。要证
△B CF ≌△DA E 进而得 B F = D E , 必然要证 △AB C ≌△CDA , 得
∠1 = ∠2 ;而证 △B CF ≌△DA E 是证 △AB C ≌△CDA 的目的。
五、多向发散转化
这种转化的特点是一个问题由多个不同方向的相对独立的转化
并联起来完成。
例 如图 ,两个皮带轮的中心距离为 2 . 1 m ,直径分别为 0 . 65 m 和 0 . 24 m ,求皮带长。
要求皮带总长 ,可分别转化求 A m C、B nD的弧长和切
线 AB 、CD 的长。这是四个不同方向相对独立的发散转
化 ,最后把它们的结果加起来就是皮带总长。
六、逆向转化
逆向转化是在逆向思维基础上进行的转化 ,同时又受
逆向思维的指导。
例 填空 :绝对值等于 2 的数是 。初学绝对值
的同学光从正向思维往往借认为是 2。但如转化从逆向思
维入手 , + 2 的绝对值是 2 , - 2 的绝对值也等于 2 ,从而很
顺利得到答案±2。
逆向思维 ,逆向转化普遍存在于数字定义、公式、解题和验算中 ,因而逆向转化应用广泛。如几何证明的逆
向分析和正向证明 ,验算中的加法和减法、乘法和除法、对数和指数互相转化验算都是逆向转化的突出应用。
总而言之 ,转化是基本的数学思想方法 ,其实质是在学习处理、解决和掌握数学问题时 ,把待解决的或未解
决的生疏问题 ,通过某种转化归结为某类已解决或熟悉的或较易解决问题的一种手段和方法。学习掌握转化
这一数学重要思想方法 ,将有助于培养数学的思维能力、解决问题的能力。
收稿日期 :2000 - 04 - 04
【责任编辑 :黄家信】
[作者简介 ] 黄华清 ,德保县民族中学。广西德保 ,邮编 :533700。
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黄华清/ 浅谈初中数学中几种重要的转化
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