第7卷 第5期
2008年 9月
漯河职业技术学院学报
Journal of Luohe Vocational Technology College
V01．7 No．5
Sep．2008
连续函数零点问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
高新慧，李 杰
(商丘职业技术学院 计算机 系，河南 商丘 476000)
摘要 ：
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
了零点定理的几种
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
方法，并讨论 了函数零点的求解方法．
关键词 ：零点定理 ；介值定理 ；求解
中图分类号：0174 文献标识码 ：A 文章编号 ：1671—7864(2008)05—0l16—02
对于一个函数，( )，若存在实数 ，使 )=0，
则称 为函数，( )的零点，又称为方程／( )=0的
实根。如果函数_厂( )为闭区间上的连续函数，那么
我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是
否存在零点，同时也可 以利用微积分的知识来解决
零点个数问题。
△ 。设 △ =[n ，b ]，则 an一 ，6 一 (n— o。)。从
a) b)≤0及门拘连续性知 ：
f =liraf(a ) b )≤0
由此可得 )=0，这
表
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示 在 [a，b]中至少有
一 个根 f。
1 关于连续函数的零点的相关定理 。
定理 1 (介值定理)设 函数f( )在闭区问[a，
b]上连续 ，且-厂(a)≠-厂(b)，若 C为介于f(a) b)之
间的任何数 (-厂(a)
C>／(b))，则
在(a，b)内至少存在一点 。，使f( 。)=C。
定理 2 (零点定理)若函数f( )在闭区间[a，
b]连续，且_厂(a)f(b)<0，则一定存在 ∈(a，b)使
，( )=0。
关于零点定理 的证 明，有很多种方法。本 文在
这里介绍三种方法。
证法一 (区间套原理 )若 f(a)f( )≤0，则称
[ ， )为／的异号区间。
按假设 [。，b]是 -厂的异号区间 ，记 △ =[a，b]。
将 △．平分得 [a，(a+b)／2]及 [(a+b)／2，b]两个
子区间，显然至少有一个是，的异号区间，任取其中
一 个异号区间，记作 △：。同理，平分 △ 可得～ 的
异号 区间 △ 。如此下去可得一闭区间套 ：
△J]△2 △33 ⋯ 3△ 3 ⋯
其中，每个 △ 为 ／的异号 区问且 I△ l=(b—a)／
2 一0(n一 ∞)。
根据区间套 定理 ，存 在唯 一 的点 亭属 于一 切
证法二 (确界原理)不妨设／(a)<0，f(b)>
定义集合 如下 ：
V={ If( )<0， ∈[a，b]}
显然 ，集合 有界、非空 ，所 以必有上确界。令 =
supV，现证明： ∈(a，b)且 )=0。
由，( )的连续性及f(口)<0知 ，存在 6 >0，使
得对任意的 ∈[a，a+6 )，有 )<0；再由 b)>
0知，存在 6 >0，使得对任意的 ∈(b一6：，b]，有
． )>0．于是可知
a+6l≤ ≤ b一占2，
即 ∈(a，b)。
取 ∈V，n：1，2，⋯， — (n— 。。)，因 ( )
<0，可以得到 )=lira／( )≤0。
若 )<0，由f( )在点 的连续性 ，存在 6>
0，使得对任意的 ∈0( ， ，有 )<0，这就与 =
supV产生矛盾，于是必然有 )=0。
证法三 (微积分证明)不失普遍性，设f(a)>
0，，(b)<0。令
F( )=f t)d￡，
则 F( )在[ ，b]上可导(在 a处有右导数 ， (a )，
在 b处有左导数 F (b一))，且 F ( )=厂( )。由于
a)=F (a )=lira
⋯ +
： 2．二 >0
，由极限性质
收稿 日期 ：2008—05—19
作者简 介 ：高新慧(1971一)，女 ，河南 华县人 ，商丘职业技术学 院讲师 ，主要从事有限元方法及应用 的研究 。
第 5期 高新慧，等：连续函数零点问题 l17
知道，存在[o， )c[o，b]满足，使得对任意的 ∈
(o，m)，有
( 2二 ( 、n
一 0
即 F( )一F(0)>0，从而 F( )>F(0)。
这表明 F(n)不是连续 函数 F( )在 [。，b]上 的
最大值。同理 ，F(b)也不是最大值 。故f( )在 [o，
b]上的最大值只能在 (a，b)中的某一点 c处取到 。
此时 c也是极大值点。由 Farmat定理知 F (c)=0，
即厂(c)=0。
2 函数零点的求法及 函数零点个数的讨论
函数零点的求法及求解函数零点的个数一直是
微积分中的一个重要课题，在很多问题中都会涉及
到。在此介绍几种求零点的方法。
例 1 设 )∈C[口，+∞)且厂(口)厂(+∞)<0
( +∞)(存在)。求证 )在[。，+∞)上至少有
一 个根。
证明 由／( )是定义在 [o，+∞)上的连续 函
数 ，有
，(n) +∞)=lira，(Ⅱ)，( )<0
故存在 M>o满足 n) M)<0。根据零点存在定
理 )于[n，M]至少有一个根。这个根自然也是
)在[a，+∞)上的根。
例2 设 Y： ( )在[0，2a]上连续，且 0)：
2o)≠ 0)。证明：存在 。∈(0，o)，使得f( 。)=
0+口)。
证明 取 F( )： ( )-f( +n)，贝0 F( )在
[0，a]上连续且 F(0)= 0)一 。)，F(。)= 。)一
Jf(2o)，从而有 F(0)十F(口)=厂(0)一 (2口)。又 因
为，(0)= 2a)，因此 F(0)+F(0)=0，即 F(0)F
(口)<0。根据零点定理，存在 ∈(0，o)，使得 F
( 。)=0，且口有．， 。)=／-( 。+o)。
上面两个例子都是利用严格 的定理证 明结论 ，
下面运用数形结合的方法求解一些问题。
例 3 讨论方程 2 =1+ 的零点个数。
解 该题可以利用数形结合 的方法 。将方程转
化为方程组
』Y=2x
1Y； +1
图 1 例 3图
这就转化成了求两条 曲线交点的问题。如
图 1。
通过图形观察可知：两条曲线有三个交点。也
就是原方程有三个根。
通过上面的例子，我们不难发现，求解函数的零
点问题有很多种方法。只要我们能够掌握并灵活运
用自己的知识，就能从更多的角度求解问题。
参考文献 ：
[1] 阴东升 ，丛翠英．牛顿一 莱布尼 茨
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
的应 用[J]．曲阜
师范大学学报，1995，(1)：79—81．
[2]易林．解决函数零点问题的几种方法[J]．成都航 空职
业技术学院学报，2004，(12)：40—44．
[3]孟赵玲，李秀淳．用微积分理论解决函数零点问题的几
种方法[J]．北京印刷学院学报 ，2003，(3)：45—46．
[4]孙雅彬．零点存在定理及等价无穷小定理的补充[J]．
湖州师范 学院 学报 ，2003，(6)：21—23．
Zero Point of Continuous Fnuction
GAO Xin-hui，LI Jie
(Department of Computer，Shangqiu Vocational Technology College，Shangqiu，476000，China)
Abstract：In this paper we summarize several kinds of identification methods of the Zero point theorem，and dis—
cusse the way of exploring the zero point of function．
Key words：Zero point theorem；Intermendlate value；theorem
[责任编辑 孟蕴华]
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