概率统计习题六及答案

1 习题六 1.设总体 X~N（60，152），从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于 3 的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100 ~ (0,1) / XZ N n μ σ −= 即 60 ~ (0,1) 15 /10 XZ N−= (| 60 | 3) (| | 30 /15) 1 (| | 2)P X P Z P Z− > = > = − < 2[1 (2)] 2(1 0.9772) 0.0456.= −Φ = − = 2.从正态总体 N（4.2，52）中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2） 内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少取多大？ 【解】 4 ~ (0,1) 5 / XZ N n −= 2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2) ( ) 5 5 P X P n Z n− −< < = < < 2 (0.4 ) 1 0.95,n= Φ − = 则 Φ（0.4 n ）=0.975，故 0.4 n >1.96, 即 n>24.01，所以 n 至少应取 25　 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命 X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为 9 的样 本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果， 只记得样本方差为 S2=1002，试求 P（ X ＞1062）. 【解】μ=1000,n=9，S2=1002 1000 ~ (8) 100 / 3/ X Xt t S n μ− −= = 1062 1000( 1062) ( ) ( 1.86) 0.05 100 / 3 P X P t P t−> = > = > = 4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上，求总体的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差. 【解】 ~ (0,1) / XZ N n μ σ −= ，由 P（| X -μ|>4）=0.02 得 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 2 P|Z|>4（σ/n）=0.02, 故 4 102 1 0.02σ ⎡ ⎤⎛ ⎞−Φ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ,即 4 10 0.99.σ ⎛ ⎞Φ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 查 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 得 4 10 2.33,σ = 所以 4 10 5.43. 2.33 σ = = 5.设总体 X~N（μ，16），X1，X2，…，X10 是来自总体 X 的一个容量为 10 的简单随机样本， S2 为其样本方差，且 P（S2＞a）=0.1，求 a 之值. 【解】 2 2 2 2 29 9~ (9), ( ) 0.1. 16 16 S aP S a Pχ χ χ⎛ ⎞= > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠ 查表得 9 14.684, 16 a = 所以 14.684 16 26.105. 9 a ×= = 6.设总体 X 服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体 X 的一个简单随机样本，试问统 计量 Y= ∑ ∑ = = − n i i i i X Xn 6 2 5 1 2)1 5 ( ，n＞5 服从何种分布？ 【解】 2 5 2 2 2 2 2 2 1 1 ~ (5), ~ ( 5)i n i i i i X X X nχ χ χ = = = = −∑ ∑ 且 1 2χ 与 22χ 相互独立. 所以 2 1 2 2 / 5 ~ (5, 5) / 5 XY F n X n = −− 7.求总体 X~N（20，3）的容量分别为 10，15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0.3 的概率. 【解】令 X 的容量为 10 的样本均值，Y 为容量为 15 的样本均值,则 X ~N（20,310）, Y ~N （20, 3 15 ），且 X 与Y 相互独立. 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 3 则 3 3~ 0, (0,0.5), 10 15 X Y N N⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 那么 ~ (0,1), 0.5 X YZ N−= 所以 0.3(| | 0.3) | | 2[1 (0.424)] 0.5 P X Y P Z Φ⎛ ⎞− > = > = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 2(1 0.6628) 0.6744.= − = 8.设总体 X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则 Y= ( )215212211 2 10 2 2 2 1 2 XXX XXX +++ +++ " " 服从 分布,参数为 . 【解】 ~ (0,1),iX Nσ i=1,2,…,15. 那么 1 2 2 210 15 2 2 2 2 1 11 ~ (10), ~ (5)i i i i X Xχ χ χ χσ σ= = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ 且 1 2χ 与 22χ 相互独立, 所以 2 2 2 1 10 1 2 2 2 11 15 2 /10 ~ (10,5) 2( ) / 5 X X XY F X X X + += =+ + " " 所以 Y~F 分布，参数为（10,5）. 9.设总体 X~N（μ1,σ2）,总体 Y~N（μ2,σ2）,X1,X2,…, 1n X 和 Y1，Y2，…， 2n X 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+ −+− ∑∑ == 2 )()( 21 1 2 1 2 21 nn YYXX E n j j n i i = . 【解】令 1 2 2 2 2 1 2 1 11 2 1 1( ) , ( ), 1 1 n n i i i j S X X S Y Y n n= = = − = −− −∑ ∑ 则 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( 1) , ( ) ( 1) , n n i j i j X X n S y y n S = = − = − − = −∑ ∑ 又 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 22 2 ( 1) ( 1)~ ( 1), ~ ( 1),n S n Sn nχ χ χ χσ σ − −= − = − 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 4 那么 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 n n i j i j X X Y Y E E n n n n σ χ σ χ= = ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ i 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 [ ( ) ( )] 2 [( 1) ( 1)] 2 E E n n n n n n σ χ χ σ σ = ++ − = − + − =+ − 10.设总体 X~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体 X 的一个样本， ∑ = = n i iXn X 2 12 1 ， 令 Y=∑ = + −+ n i ini XXX 1 2)2( ，求 EY. 【解】令 Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则 Zi~N（2μ,2σ2）（1≤i≤n）,且 Z1,Z2,…,Zn 相互独立. 令 2 2 1 1 , ( ) / 1, n n i i i i ZZ S Z Z n n= = = = − −∑ ∑ 则 2 1 1 1 1 , 2 2 2 n n i i i i XX Z Z n n= = = = =∑ ∑ 故 2Z X= 那么 2 2 2 1 1 ( 2 ) ( ) ( 1) , n n i n i i i i Y X X X Z Z n S+ = = = + − = − = −∑ ∑ 所以 2 2( ) ( 1) 2( 1) .E Y n ES n σ= − = − 11. 设总体 X 的概率密度为 f（x）= x−e 2 1 （-∞