数列通项公式方法总结

数列通项公式方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。一、已知数列的前几项已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式0，221/3，321/4，42+1/59，99，999，……TOC\o"1-5"\h\z分析：(1)0=12――1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n21/n+1=n1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，，易矢口an=n1。(2)各项可拆成10-1，102-1，103-1，，an=10n1。此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。二、已知数列的前n项和Sn已知数列的前n项和Sn,求通项公式an,主要通过an与Sn的关系转化，即an-｛S1(n=1)Sn-Sn――1(nN2)例2、已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n+3，求an分析：Sn=a1+a2++an1+anSn1=a1+a2++an1上两式相减得Sn-Sn1=an解：当n=1时，a1=S1=5当nN2时，an=Sn-Sn1=2n+3-(2n1+3)=2n1Vn=1不适合上式an=｛5(n=1)2n1(nN2)三、已知an与Sn关系已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f(an)，求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an――1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。(1)an=an――1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。例3、已知数列｛an｝，满足a1=3，an=an1+8，求an。分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5oan=kan1(k为常数)。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。例4、数列｛an｝的前n项和Sn,al=l,an+l=2Sn+l(n£N+)求数列｛an｝的通项公式。分析：根据an与Sn的关系，将an+l=2Sn+l转化为an与an+1的关系。解：由an+l=2Sn+l得an=2Sn-l+l(nN2)两式相减，得an+l-an=2anan+l=3an(nN2)a2=2Sn+l=3a2=3al(an｝是以1为首项，3为公比的等比数列an=3n-lan+l=an+f(n),用叠加法思路：令n二1,2,3,得a2=al+f(1)a3=a2+f(2)a4=a3+f(3)+)an=an1+f(n-1)an=al+f(1)+f(2)+・・・+f(n-1)例5、若数列｛an｝满足al=2,an+l=an+2n则｛an｝的通项公式二()解：Van+l=an+2na2=al+2X1a3=a2+2X2a4=a3+2X3+)an=an1+2(n-1)an=al+2(1+2+3+=2+2X(1+n-l)(n-1)=n2-n+2an+1=f(n)an,用累积法思路：令n=1,2,3,,n-1得a2=f(1)a1a3=f(2)a2a4=f(3)a3X)an=f(n-1)an-1an=a1・f(1)・f(2)・f(3)f(n-1)例6、若数列｛an｝满足a1=1,an+1=2n+an,则an=()解：,「an+1=2nan「.a2=21a1a3=22a2a4=23a3X)an=2n1・an1an=2・22・232n-1a1=2n(n-1)/2an=pan1+q,an=pan1+f(n)an+1=an+p・qn(pqN0),an=p(an1)q,an+1=ran/pan+q=(pr#0,q#r)(p、q、r为常数)这些类型均可用构造法或迭代法。an=pan1+q(p、q为常数)构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。将关系式两边都加上x得an+x=Pan1+q+x=P(an1+q+x/p)令x=q+x/p，得x=q/p-1an+q/p-1=P(an1+q/p-1)「・｛an+q/p-1｝是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。an+q/p-1=(a1+q/p-1)PnT「.an=(a1+q/p-1)PnT-q/pT迭代法：an=p(an1+q)=p(pan-2+q)+q=p2((pan-3+q)+pq+q例7、数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2an-n(nEN+)求an解析：由Sn=2an-n得SnT=2anT-(nT)(nN2,nEN+)两式相减得an=2an-1+1两边加1得an+1=2(an-1+1)(nN2,nEN+)构造成以2为公比的等比数列｛an+1｝an=Pan-1+f(n)例8、数列｛an｝中，a1为常数，且an=-2anT+3nT(N2,nEN)证明：an=(-2)n-1a1+3n+(-1)n・3・2nT/5分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。方法一：构造公比为-2的等比数列｛an+入-3n｝用比较系数法可求得入=-1/5方法二：构造等差型数列｛an/(-2)n｝。由已知两边同以(-2)n,得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3・(-3/2)n,用叠加法处理。方法三：迭代法。an=-2an-1+3n-1=-2(-2an-2+3n-2)+3nT=(-2)2an-2+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)3an_3+(-2)・3n-3+(-2)・3n_2+3n_1=(-2)n-1a1+(-2)nT・3+(-2)n-3・+32+……+(-2)-3n-2+3nT=(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2・3-2nT/5an+1二入an+p・qn(pq#0)(❷。「宝❷二qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列｛an/qn｝。例9、在数列｛an｝中，a1=4，an+1+2n+1，求an。分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1・•・｛an/2n｝是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。(❷❷)当入Nq时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1二入/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2令an/2n=bn则bn=3/2bn-1+1/2an=p(an1)q(p、q为常数)例11、已知an=1/aan12,首项al,求an。方法一：将已知两边取对数得lgan=2lgan1-lga令bn=lgan得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。方法二：迭代法an=1/aa2n1=1/a（1/aa2n2）2=1/a3a4n2=1/a3（1/aa2n3）4=1/a7・an38=a・（an3/a）23=a・（a1/a）2n1an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，prN0,qNr）将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r-1/an+p/r，再构造成等比数列求an。例12、在｛an｝中，a1=1,an+1=an/an+2,求an解：：an+1=an/an+2「・1/an+1=2・1/an+1两边加上1,得1/an+1+1=2（1/an+1）..・｛1/an+1｝是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列「.1/an+1=2X2nT=2nan=1/2n-1以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。