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中学数学竞赛讲义——平面向量

中学数学竞赛讲义——平面向量中学数学竞赛讲义——平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。...

中学数学竞赛讲义——平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=b.f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x,y),b=(x,y)，11221．a+b=(x+x,y+y),a-b=(x-x,y-y)，121212122．λa=(λx,λy),a·(b+c)=a·b+a·c，11xxyy3．a·b=xx+yy,cos(a,b)=1212(a,b0),1212x2y2x2y211224.a定义5若点P是直线PP上异于p，p的一点，则存在唯一实数λ，使1212OPOPPPPP，λ叫P分PP所成的比，若O为平面内任意一点，则OP12。由12121xxx121xxyy此可得若P，P，P的坐标分别为(x,y),(x,y),(x,y)，则.11.121122yyxxyyy12221定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=h2k2个单位得到图形F'，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移x'xh到F'上对应的点为p'(x',y')，则称为平移公式。y'yk定理5对于任意向量a=(x,y),b=(x,y),|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.1122【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=(x2y2)(x2y2)-(xx+yy)2=(xy-xy)2≥0，又112212121221|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x,x,…,x)，b=(y,y,…,y)，12n12n同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x2x2x2)(y2y2y2)12n12n(xy+xy+…+xy)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，1122nn所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x,x,…,x),b=(y,y,…,y)，12n12n同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x2x2x2)(y2y2y2)(xy+xy+…+xy)2。12n12n1122nn2）对于任意n个向量，a,a,…,a，有|a,a,…,a|≤|a|+|a|+…+|a|。12n12n12n二、方向与例题 1．向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形AA…A的中心，求证：OAOAOAO.12n12n2【证明】记SOAOAOA，若SO，则将正n边形绕中心O旋转后与12nn原正n边形重合，所以S不变，这不可能，所以SO.例2给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是GAGBGCO.【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则AG2GDGP.又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG//PC，所以GBCP.所以GAGBGCGCCPPGO.充分性。若GAGBGCO，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则GAPG.因为GCPGPCO，则GBPC，所以GB//CP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】如图所示，结结BQ，QD。因为BPPQBQ,DPPQDQ，22所以BQDQ(BPPQ)2(DPPQ)2=BP2DP22PQ22BP·PQ2DPPQ=BP2DP22PQ22(BPDP)PQBP2DP22PQ2.①又因为BQQCBC,BQQABA,QAQCO,同理BA2BC2QA2QC22BQ2，②CD2DA2QA2QC22QD2，③由①，②，③可得BA2BC2CD24QA22(BQ2QD2)AC22(2BP22PQ2)AC2BD24PQ2。得证。2．证利用定理2证明共线。例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。2【证明】首先OGOAAGOAAM311=OA(ABAC)OA(2AOOBOC)331(OAOBOC).3其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CEBC.又AHBC，所以AHAHEC,OHOAAHOAECOAEOOCOAOBOCOH3OGOGOH求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。【证明】设OAa,OBb,OCc，1则OD(ab)，211111OEac(ab)cab.323261又CD(ab)c，211111所以OECDacbabc2362211111a2b2c2abac4123331a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）3又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OECD。4．向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形，BEBEAC(1,1)BE//AC又因为|CE||AC|，所以x2+y2=2.1313由①，②解得x,y.223313所以2AE,,|AE|423.221313设F(x',1)，则CF(x',1)。由CF和CE共线得x'0.22所以x'(23)，即F(23,1)，所以|AF|2=4+23|AE|2，所以AF=AE。三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且aABa,CDbBCCDEC2BCDCFEED2EDFAAC3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a,b不共线，MN=a+kb,MP=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且BN2NA，BM与CN交于D，若BDBM，则λ=__________.7．已知OA,OB不共线，点C分AB所成的比为2，OCOAOB，则__________.8．已知OAa,OB=b,a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1),若ab，c·b=4，则b的坐标为__________.10．将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.411．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大并求出这个最大值。12．在四边形ABCD中，ABa,BCb,CDc,DAd，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA,0,.则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。|AB||AC|2．在△ABC中，ABa,BCb，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.3．非零向量OAa,OBb，若点B关于OA所在直线对称的点为B，则OB=__________.114．若O为△ABC的内心，且(OBOC)(OBOC2OA)O，则△ABC的形状为__________.5．设O点在△ABC内部，且OA2OB3OCO，则△AOB与△AOC的面积比为__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的__________心.7．已知OP(cos,sin),OQ(1sin,1cos)([0,])，则|PQ|的取值范围是__________.8．已知a=(2,1),b=(λ,1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值为__________.10．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知OPxOA,OQyOB，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，T（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。S12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得MPMN,PMPN,NMPN成公差小于零的等差数列。（1）试问点P的轨迹是什么（2）若点P坐标为(x,y),为PM与PN的夹角，求tan.00五、联赛一试水平训练题1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p,q11满足1时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且OCpOA,ODqOB，则直线CD恒过pq一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点，OAx,OBy,OCz.则OP=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.3．已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9，则ACBD的取值有___________个.5．已知AAAAA是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则12345|PA|2|PA|2|PA|2|PA|2|PA|2取值的集合是___________.123456．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC的角，若sinA·OA+sinB·OB+sinC·OCO，则点O为△ABC的___________心.7．对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________条件.8．在△ABC中，ABa,BCc,CAb，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且PA2PB3PCO，CP交AB于D，求证：DPPC.10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O，O，O，令123HAa,HBb,HCc,HOp，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△OOO的外心。112311．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a,a)为V中的一个单位向量，已知从V到12V'的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x,y,求证：T(x)·T(y)=x·y；（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1,0)；V(0,1)，若T(u)V，求a.六、联赛二试水平训练题1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线APARAMPNRTBY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，BQBCMBNQTS为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何证明你的结论。2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直6．已知点O在凸多边形AA…A内，考虑所有的AOA，这里的i,j为1至n中不同12nij的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。8．平面上两个正三角形△ABC和△ABC，字母排列顺序一致，过平面上一点O作111222OAAA,OBBB,OCCC，求证△ABC为正三角形。1212129．在平面上给出和为O的向量a,b,c,d，任何两个不共线，求证：|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

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