高中数学知识点

集合与数概念一、集合1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。通常用大写字母A,B,C,D，…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,...表示元素。2、集合中元素的特征⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的（或说是互异的），即，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。⑶无序性：不考虑兀素之间的顺序只要兀素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果a是集合A的兀素，就说a属于集合A,记作awA;如果a不是集合A中的兀素，就说a不属于集合A,记作aA。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记N*或N+;全体整数组成的集合称为整数集，记Z;全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q;全体实数组成的集合称为实数集，记R。拓展与提示：⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集，而N为非负整数集，即0丘N但0电N*。⑶集合的分类有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集(0)，只含有一个元素的集合叫做单元素集。例已矢知P=(x,y,1}Q=(2,xy,x]且P二Q,求x,y的值解析由/y=x2,①或F=心②[xy=1,[x2=1,解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。解②得x二-1或1(舍去)这时y=0.•.x二-1,y=06、集合的表示方法⑴列举法：把集合中的所有元素一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：{,,a,a,…，a]123n⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：{eD\p(x)],其中X为兀素，p(x)表示特征。拓展与提示:如果集合中的元素的范围已经很明确，那么xGD可以省略，只写其元素x,如4eRx<10](3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：⑴由所有非负奇数组成的集合；⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；⑶方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。解：⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：A=（|x=2n+1,neN，无限集。⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：C=[x,y）|x<0且y<。｝,无限集。⑶方程X2+X+1=0的判别式的故无实数，方程X2+X+1=0的实根组成的集合是空集e。7、集合的基本关系⑴子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AcB（或BoA）,读作“A含于B”（或“B包含A”）。可简述为：若xeAnxeB，则集合A是集合B的子集。⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集（AcB），且集合B是集合A的子集（bcA）,此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。数学表述法可描述为：对于集合A、B,若AcB，且BcA，则集合A、B相等。⑶真子集：如果集合AcB，但存在元素xeB，且x电A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A佗（B?A）或说：若集合AcB，且AHB,则集合A是集合B的真子集。⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为e,并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：⑴ecA,AcA。（2）eB（其中B为非空集合）（3）对于集合A,B,C,若AcB,BcC,贝I」AcC。（4）对于集合A,B，C,若AQB，BQC则AQC（5）对于集合A,B,若AcB且BcA,贝l」A=B。⑹含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。（7）｛JcA与aeA不同，前者为包含关系，后者为属于关系。8、集合间的基本运算⑴并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集展与记提作：对于任读作“A并(1)A即勺爲犷为或"2冃B]B=BuA;(3)Au(A]B),Bu(A]B);(4)A]B=AoA二B。⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合言的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集与记提作:对于任SS“A交?7有且(3)(AcB)uA,(AcB)uB；(4)AcB=AoAuB；(5)(AcB)u(A]B)。⑶全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所硏究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作SA=(|xGU,且x电aL例设集合A=[2,2x-1,_4!b=.-5,1—x，9)，若AAB=匕}，求AUBO解析由AAB=£}得,9eAo.•.X2=9或2x-1=9由X2=9得，X二±3。当X=3时，A=^9,5,-4J；B=L2,-2,9},与元素的互异性矛盾。当X=-3时，A=b—7,—4}B=L8,4,9},此时，A]B=L&-7,-4,4,9}由2x-1=9得x=5.当X=5时，A=^25,9,-4^,B=^0,-4,9}，此时，AuB=L4,9}，与题设矛盾。综上所述，AuB=L&-7,-4,4,9}⑷集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card来表示有限集合A中兀素的个数。例如：A=｛a,b,c［则card(A)=3-—般地，对任意两个有限集A,B,有card(AUB)二card(A)+card(B)-card(ADB).当时仅当AAB=o时，card(AUB)二card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。例学校先举办了—次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了—次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：设A二田径运动会参赛的学生｝,B二球类运动会参赛的学生｝，那么AB=两次运动会都参赛学生｝AuB=所有参赛的学生｝,Card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛1、函数的概念：—般地，我们说：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系仁使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xgA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xgA)叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。2、函数的三要素⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。提示：(1)函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。(2)注意区别f(a)和f(x),f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。3区间:设a,b是两个实数，而且avb,我们规定：⑴满足不等式aa}ra,+8)(.a{xIx>a}(a,+8)£口{xIx-1且xh2,2一x丰0]x丰2故所求函数的定义域为・Ix>一1且x丰2)例2⑴已知函数f(x)的定义域是[-1,3],求f(x+1)和f(X2)的定义域⑵已知函数f(2x+3)的定义域为(-1,2〕，求f(x-1)的定义域解：⑴"x)的定义域为[-1,3],•••f(x+1)的定义域由-1SX+1S3确定，即-2SXS2,•••f(x+1)的定义域为[-2,2].f(x2)的定义域由-1 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：方案代号基本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间话费(元/分钟)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40请问：“套餐"中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解：“套餐”中第3种收费函数为_J16&0330.7、复合函数若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),xE(a,b),uE(m,n)，那么y关于x的函数y=f[g(x)],xe(a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域。8、映射设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系仁使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A-B为从集合A到集合B的一个映射。拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则f,三者缺一不可，且A、B必须非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应，而B中的元素却不一定在A中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。9、函数解析式的求法⑴待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。⑵换元法。若已知函数y=f［p(x)］的解析式，可令t=9(x)，并由此求出X=g(t)，然后代入解析式求得y二f(t)的解析式，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。⑶赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。⑷列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x)，f(1］或f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另Ix丿一个方程，通过解方程组获解。⑸配凑法例解答下列各题：⑴已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)；⑵已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)；⑶已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。解：⑴f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x⑵方法一:(配凑法)f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3，•••f(x)=x2-4x+3方法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1,f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,•••f(x)=X2-4x+3.⑶由题意设g(x)=ax2+bx+c,a/0.•••g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，a+b+c=1,a-b+c=5,解得c=0.a=3,b=-2,c=0..•.g(x)=3x2-2x.三、函数的基本性质1、函数的单调性⑴一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X],x2，当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，如图⑵所示。小⑵如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。拓展与提示：⑴定义中的xi5x2具有任意性，不能用特殊值代替。⑵若f(x)在区间D1,D2上都是增(减)函数，但f(x)在几叫上不一定是增(减)函数。⑶由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(%)0,则f(x)在(a,b)上递增；若当xe(a,b)时，f'(x)vO,则f(x)在(a,b)上递减。拓展与提示：定义有如下等价形式：设X］,x2W［a,b］,那么f(片)-f(x2)〉o°f(X)在L,订上是增函数，f(xi)—f(x2)<0of(x)在la,b］上是减函数；X一XX一X1212(X—x)［f(x)—f(x)］〉0of(x)在［a,b］上是增函数，(x—x)f(x)—f(x)］<0of(x)上是12121212减函数。例讨论函数f(X)=竺(a主丄)在(-2,+8)上的单调性。x+22解：设-2VX]VX2，则f(x)=ax+2a+1一2a1一2a―aHx+21一2a2)一(a+xH221一2a—-)•=(1-2a)(-xH2x21~+2)•二(1-2a)•xH21x一x12—(xH2)(xH2)21又•••-2vx1vx2,•_x1一x2<0.(x2+2)(x1+函数的最大(小)值⑴定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足⑴对于任意的xel,都有f(x)M⑵存在x0eI使得f(x0)=M.那么我们称M是函数的最小值。⑴函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。⑵一个连续不断的函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值。⑶求函数最值的常见方法为①构造二次函数；②单调性法；③导数•••当1-2a>0,即a<丄时，上式<0,即f(x2)丄时，上式>0,即哄)〉^』。2二当a<-时，f(x)=竺也在(-2,+8)上为减函数2xH2当a>-时，f(x)=竺也在(-2,+8)上为增函数2xH2⑶复合函数的单调性对于复合函数y=Hg(x)]若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数则y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y=f[g(x)]为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=f[g(x)]为减函数，简单地说成“同增异减”。y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=f[g(x)]增增减减⑵二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)二ax2+bx+c，当a>0时，在闭区间［m,n］上的最值可分如下讨论：若—_Ln时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；2a若m丄0时，f(x)<0,f(1)=-2。⑴求证：f(x)为奇函数⑵试问在-3sx«3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解：⑴Tf(x)对于任意x、yeR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.•令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0再令y二-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x),.・.f(x)为奇函数。⑵设X]VX2时，且X]、x2ER，则f(x2-X])=f[x2+(-X])]二f(x2)+f(-X])二f(x2)-f(X]),由已知x>0时，f(x)<0,Af(x2-x1)<0,即fgHa/vOAf(x2)vf(x]),.・.f(x)在只上为减函数•••f(x2)在[-3,3]上，当x=-3时，f(x)取最大值，即f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6;当x=3时，f(x)取最小值，即f(x)min=f(3)=-6.第二章基本初等函一、运算公式1、指数幕①丄；②an=na(a>0,b>0,rwQ[⑤man=nam(ab)rarbraras=ar+s（a>°，曲Q）；③（ar）S=ar*s（a>°，曲Q）；④2、对数(a>0,且a/1,m>0，且m丰1M>0,N>0丿①log(mN)=logM+logN:②'aaalogM=logM-logN；®logMn二nlogM(neR);④logN=logmNaNaaaaalogam推论logbn=—logb(a>0，且a>1/m,n>0，且m丰1,n工1/N>0)•amm二、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y二ax（a>0,且a丰1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a〉l0〈a〈li1///\/\00定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定函数图象都过定点（0,1）点（0,1）注意：利用函数的单调性，吉合图象还可以看出：（1）在怕,b］上，f（x）二ax（a>0且a丰1）值域是［f（a），f（b）］或［f（b）,f（a）］；（2）若x丰0，则f（x）丰1；f（x）取遍所有正数当且仅当xeR；（3）对于指数函数f（x）二ax（a>°且a丰1），总有f（1）=a；三、对数函数1、对数的概念：一般地，如果ax=N（a>0,a丰1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x二logN（a—底数，N一真数，logN一对数式）aa说明：⑴注意底数的限制a>°，且a丰1:⑵ax=NologN=x；a2、两个重要对数：⑴常用对数以10为底对数lgN；⑵自然对数以无理数e二2.71828为底的对数lnN。3、对数函数⑴对数函数的概念：函数y二logax（a>°，且a丰1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）。注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，主意辨别。如：y=2log2x,y=log5I都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。②对数函数对底数的限制：（a>0，且a主1）.⑵对数函数的性质：a〉l0〈a〈l—1y1170:/11r1I厂1-丄一定义域x>0定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1,0）函数图象都过定点（1,0）四、幕函数1幕函数定义：一般地，形如y二x«（aeR）的函数称为幕函数，其中«为常数。2、幕函数性质归纳⑴所有的幕函数在（0,+8）都有定义并且图象都过点（1,1）。⑵a>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,乜）上是增函数。特别地，当a>1时，幕函数的图象下凸；当0 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分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-A'BCD'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。⑵棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五棱锥p-A'BCDE。几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。⑶棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。表示：用各顶点字母，如五棱台p-A'BcD'E'。几何特征：①上下底面是相似的平行多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。⑷圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。⑸圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。⑹圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形（扇环）。⑺球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图和直观图1三视图：⑴正视图：从前往后；⑵侧视图：从左往右；⑶俯视图：从上往下。2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。3直观图：斜二测画法。4斜二测画法的步骤：⑴在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于O。画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点0'，且使厶'O'y'二45。（或135。），它们确定的平面表示水平面。⑵已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段;⑶已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。5用斜二测画法画出长方体的步骤：⑴画轴；⑵画底面⑶画侧棱⑷成图三、空间几何体的表面积与体积第五章空间点、线、平面的位■关系1空间几何体的表面积与体积体名棱柱棱锥圆柱圆锥圆台球表面积各面积和2兀rl+2兀r2兀rl+兀r2冗rl+冗r2+冗Rl+冗R24兀R2体积SM底1Sh3底!（s+厂厂+s）xh3上用上下下4-nR33公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线此平面内。应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示：Awl,B（El,日.Awa,Bwa—lua公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论的作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。平面a和p相交，交线是a，记作anp=ao公理3为：Pwa且Pw卩—a卩=l且Pwl公理3作用：①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的依据。二空间直线与直线之间的位■关系［共面（平行+相交）或异面；平行或不平行（相交+异面）］公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。1异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线②性质：既不平行，又不相交。③判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。④异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°，90°］，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。2、求异面直线所成角步骤：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。②证明作出的角即为所求角③利用三角形来求角3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。三、空间直线与平面之间的位置关系1、三种位置关系⑴直线在平面内：lua，有无数个公共点；⑵直线不在平面内：①相交：la=A，有一个公共点；②平行：l〃a，无公共点。2、直线与平面平行⑴判定定理：平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。aa,bua,且a〃bna//a。做题思路：在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题"。⑵性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与该直线平行。3、直线与平面相交：斜交和垂直。⑴直线与平面所成的角，ae［0。,90。］⑵直线与平面垂直定义：如果直线l和平面a内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面a互相垂直，记作l丄d。判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。做题思路：在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。1、⑴平行：没有公共点；d〃卩。⑵相交（d卩=l）:有一条公共直线，斜交和垂直。2、平面与平面平行⑴判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。做题思路：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题"。⑵性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。3、平面与平面垂直⑴判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。做题思路：转化①二面角为直角；②“找出”一条直线与另一平面垂直，将"面面垂直问题”转化为“线面垂直问题”⑵性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。做题思路：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线五、有关概念1、异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点。作直线a'〃a,b'〃b我们把a与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）（ae0。,90。］）2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。ae[0。,90。]3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点O,以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA、OB,则OA、OB构成的ZAOB叫二面角的平面角。ae（0。,180。）。a=90。时直二面角4点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。第六章线与方程一、倾斜角：直线I向上方向与x轴正向夹角a。注意0°rol与C相离；d=rol与C相切；dr2,点在圆外00当(x—a)2+(y—b)2=r2，点在圆上00当(x—a)2+(y—b)20时，方程表示圆，此时圆心为LD—Q，半径为r札2+e24FI2，2丿2当D2+E2—4F=0时，表示一个点；当D2+E2—4F<0时，方程不表示任何图形。二、求方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。直线与的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2，C:(x-a)2+(y-b)2=R2，两圆的位置关系常通过两圆半径的111222和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当d>R+r时，两圆外离，此时有公切线四条；当d二R+r时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R-r