平面向量的基本概念及线性运算【知识概述】向量的基本概念（1）既有大小又有方向的量叫向量，向量可以用有向线段
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示.（2）向量AB的大小，也就是向量AB的长度(又称模)，记作AB；长度为0的向量叫零向量，记作0；长度为1个单位的向量叫单位向量；方向相同或相反的非零向量叫平行向量，规定0//a，平行向量又叫共线向量；长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量加法运算及其几何意义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.设A,B,C是平面上的任意三点，则ABBCAC.（1）向量加法的三角形法则:如图,已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作ABa,BCb，则a+b=AC.aCa+bbbAaB（2）向量加法的平行四边形法则:如图,已知向量OAa,OBb，以OA,OB为邻边作ABCD，则abOC.CBAO向量减法运算及其几何意义求两个向量差的运算叫向量的减法，若ab+c,则ab=c.向量减法的几何意义：两个向量共起点，两终点连线指向被减向量的向量就是这两个向量的差：OAOBBA.Aaa-bOBb向量数乘运算及其几何意义实数与向量a的积是一个向量,记为a，规定：(1)aa；(2)当0时,a与a方向相同;当0时,a与a方向相反.由(1)知,当0时,a0.平面向量的基本运算律(1)abba；(2)abcabc；(3)aa；(4)aaa；(5)abab.平面向量的坐标运算(1)设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2,ax1,y1；(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,则ABx2x1,y2y1.两个向量平行的充要条件向量aa0与b平行当且仅当存在唯一实数,使ba【学前诊断】1.[难度]易下列结论正确的是()A.2008m长的线段不可能表示单位向量B.若O是直线e上的一点，单位长度已选定，则e上有且只有两个点A,B，使OA,OB是单位向量C.若a是单位向量，b也是单位向量，则a=b，或a=bD.一个人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移[难度]易向量ABDFCDBCFA______.3.[难度]易已知A(2,4),B(0,6),C(8,10)，求向量AB2BC1AC的坐标.2【经典例
题
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】例1.判断下列说法是否正确，并说明理由(1)任何两个单位向量都是平行向量;零向量是没有方向的；(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量DE与CB是平行向量;(4)对于向量a,b,c,若a//b且bc,则a//c；(5)若非零向量AB与CD是平行向量，则直线AB与直线CD平行；非零向量AB与BA是模相等的平行向量.例2.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.作出向量AB，BC,CD;求AD.例3.如图，菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且∠DAB=60°写出图中相等向量；写出图中平行向量；写出图中模相等向量.例4.O是△ABC内一点，且OAOBOC0，判断O是△ABC的什么心？例5.化简下列各式1）（2a+3b-c）-(3a-2b+c)+2(c-3b)；（2）24a3b1b16a7b.334例6.已知非零向量e1和e2不共线(1)如果ABe1e2,BC2e18e2,CD3e1e2，求证A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值.例7.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若点P在第三象限，且AP=AB+AC,求实数的取值范围.例8.如图所示，△ABC的顶点A，B，C坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，其重心为G，坐标为(x0,y0).求证：x0x1x2x3,yy1y2y3.303【本课
总结
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】1.(1)准确画出向量，方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点；要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型，“数学建模”能力是今后培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验.2.(1)向量是可以自由移动的，因此共线向量和平行向量实质是一致的；向量是不可以进行大小比较的，但有相等向量，只有当两个向量同向且相等时，才称为相等；(3)注意向量0与实数0的区别：向量0表示长度为0的向量，即00，它的方向是任意的，可以认为向量0与任意一个向量都平行，而0是一个没有方向的实数.3.(1)向量共线的充要条件：a与b共线存在实数,使ab(2)要证明A,B,C三点共线，只需证明存在实数，使得ABAC或ABBC或ACmBC(,mR)等【活学活用】1.[难度]中设a,b是两个不共线向量，AB1ab,ACa2b(1,2R)，则A,B,C三点共线的充要条件是()A.121B.121C.121D.1212.[难度]中已知向量集合Maa(1,2)(3,4),R，N{a|a(2,2)(4,5),R}，则MN________[难度]难已知e1,e2为平面的基底，对于非零向量p,q如果存在不全为零的实常数,使得pq0，那么称向量p,q是线性相关的，否则称向量p,q是线性无关的.对于平面内两个向量a3e14e2，be1e2，试判断向量a,b是线性相关的还是线性无关的？为什么？
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