人大附内部资料—2019届高考数学知识点一本全(1)

2019届高考数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一本全（文理通用）第一部分集合与常用逻辑用语.................................................................................1第二部分函数.............................................................................................................6第三部分导数...........................................................................................................12第四部分三角...........................................................................................................15第五部分平面向量...................................................................................................20第六部分数列...........................................................................................................26第七部分不等式.......................................................................................................30第八部分直线和圆...................................................................................................34第九部分圆锥曲线...................................................................................................37第十部分立体几何...................................................................................................46第十一部分概率统计...............................................................................................53第十二部分排列组合与二项式定理（理科）........................................................59第十三部分复数.......................................................................................................60第十四部分算法、推理证明...................................................................................62第十五部分定积分与微积分基本定理（理科）....................................................63第十六部分极坐标与参数方程（理科）................................................................64第一部分集合与常用逻辑用语韦恩图集合的特性列举法R，N，Z，Q，C集合的分类集合的概念描述法集合的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示Æ集合特殊集合集合的关系A∩B=AA=BAÍB定义交集集合的运算符号并集运算性质德摩根律补集逻辑联结词命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的否定（或Ú，且Ù，非Ø）全称命题（"）命题反证法存在性命题（）“x∈A”=>”x∈B”$复合命题x∈A是x∈B的充分条件AÍB四种命题及相互关系x∈B是x∈A的必要条件原命题逆否命题一、集合的含义与表示1.集合的含义：把一些能够确定的不同的的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．不含任何元素的集合叫空集．元素a属于集合A记作aA∈，元素a不属于集合A记作aA∉．2.集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：有限集、无限集．特殊的集合有：空集∅，自然数集N，正整数集N*（或N+），整数集Z，有理数集Q，实数集R．4.集合的表示：列举法{,,}abc、特征性质描述法{x∈I|px()}．-1-高中数学知识点整理5.几个特殊的集合：①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集.x+y=3[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.2x−3y=1②点集与数集的交集是∅.例：A={(x，y)|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=∅．二、集合间的基本关系1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作A⊆B或BA⊇．BA⊇如果集合A中存在着不是集合B的元素，则集合A不包含于B，记作AB或．2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集AB⊂BA⊃A合A叫做集合B的真子集，记作≠或≠．3.维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．B4.集合的相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，则称集合A与集合B相等，记作A=B．5.相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；②空集是任何集合的子集，记为∅⊆A；③空集是任何非空集合的真子集；④如果A⊆B，同时B⊆A，那么A=B.⑤如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.⑥n个元素的子集有2n个.真子集有2n－1个.非空真子集有2n－2个.三、集合的基本运算1.交集：由属于A又属于B的元素构成的集合，叫做A、B的交集，记作AB，即有AB={|xx∈A∧∈xB}．2.并集：把集合A、B中所有元素并在一起构成的集合，叫做A、B的并集，记作AB，即有AB={|xx∈∨∈AxB}．3.全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．4.补集：如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作，即有．UAUA={|xx∉A∧∈xU}-2-高中数学知识点整理5.运算性质：①ABBA=，AAA=，AA∅=∅=∅，A⊆⇔BABA=；②ABBA=，AAA=，A∅=∅AA=，A⊆⇔BABB=；③，，．AUAU=AAU=∅UU()AA=④公式：*DeMorganUUUA∩=B()AB∪UUUA∪=B()AB∩[注]:①如何证明AB？②如何证明AB=？③看集合要首先关注代表元.如：{x|y=lgx}—函数的定义域；{y|y=lgx}—函数的值域；{(x,y)|y=lgx}—函数图象上的点集。如：（2010北京1）集合Px={∈ZR0≤1D.¬p:∀x∈R,sinx>1例：命题p：已知a,b,c为实数，若ac<0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；其否命题为：若ac≥0，则ax2+bx+c=0没有两个不相等的实根，（假）¬p(即命题的否定)为：若ac<0，则ax2+bx+c=0没有两个不相等的实根；例：设A是整数集的一个非空子集，对于kA∈，如果kA−∉1且kA+∉1，那么k是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个.-5-高中数学知识点整理第二部分函数解析式基本初等函数的幂函数函数的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 图象性质和应用图像指数函数反函数特殊的函数表格对数函数函数性质的抽象表达定义域三角函数与直观展示（抽象函数,图像）三要素值域b映射函数y=ax+x从函数自身来考虑对应法则导数ax+by=cx+d反函数单调性奇偶性对称性周期性两个变化过程的相依关系（特征）的研究极限1.了解映射fA:→B的概念:设A、B是两个集合，若按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，则称这个对应f:AB是从集合A到集合B的映射。x称为原象，y称为象。注意：（1）映射可以是多对1，也可以是一对一的对应，但不能是一对多的对应；（2）A中元素在B中必须都有象且唯一；（3）B中元素在A中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一．2.函数如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射fA:→B叫做A到B的函数，记作y=fx()．其中xA∈，yB∈。原象的集合A叫做函数y=fx()的定义域，象的集合{yy|=fx(),x∈A}叫做值域。3.函数fA:→B是特殊的映射．特殊在定义域A和值域C都是非空数集！注意值域CB⊆．函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定，也就是说，确定一个函数，就是确定函数的定义域和对应法则．-6-高中数学知识点整理4.求函数定义域的常用方法:（）偶次根式的被开方数非负；分母不能为零；对数中，且；1logaxx>0a>0a≠1ππ三角形中0< 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 确定自变量的范围．注意单位．[注]：定义域要用集合或区间表示，不能用不等式表示.5.求函数值域（最值）的方法:基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数形结合等．指数函数x且的反函数是−1且，6.fx()=a(aa>≠0,1)fx()=logax(aa>≠0,1)反之亦然．它们的定义域与值域互换，图象关于直线y＝x对称.7.函数的奇偶性:（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，xx2−但要注意定义域的变化，如fx()=）：x−1①定义法：直接利用奇偶性定义判断fx(−)②利用函数奇偶性定义的等价形式：fx()±f(−=x)0或=±≠10(fx())．fx()ax+1如奇函数y=lg±+xx2+1，y=(aa>≠0,且1)的判断．()ax−1（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②若fx()为偶函数，则fx()=f(x)，此性质常用于根据单调性解不等式．③若fx()为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有f(00)=，常用此性质解题，但要注意：f(00)=是fx()为奇函数的既不充分也不必要条件．7.函数的单调性．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，总有，那么就说在区间上是增函数。xx12,xx12，则fx()为增函数；反之，若fx()在区间(ab,)内为增函数，则fx'0()≥，请注意两者的区别所在；②选择填空题还可用数形结合法、特殊值法等等，b特别要注意y=ax+型函数的图象和单调性在解题中的运用x（ab,同号时，对勾函数；ab,异号时，在(0,+∞)(−∞,0)上分别单调）ax+b特别要注意y=型函数的图象和单调性在解题中的运用cx+dda（由反比例函数经图象变化得到。以xy=−=,为渐近线的双曲线）cc③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数2的单调递增区间是？答：（）．关注定义域．:y=log0.5(−+xx2)(1,2)π函数yx=sin−2的单调递增区间是？（应首先将x的系数化为正数）35ππ11答案：(kππ++∈,k),kZ1212（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是单调区间必须用区间表示，不能用“大括号形式的集合”或不等式表示．（3）注意函数单调性与奇偶性的应用：①比较大小；②解不等式；③求参数范围．8.常见的图象变换：①平移变换：fx()→fx()±a或fx()±a；函数y=fxa(±)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴左（右）平移a个单位得到的；函数y=f(x)±a(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上（下）平移a个单位得到的;②伸缩变换：fx()→f()ax或af()x；1函数y=f(ax)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的倍得到；a函数y=af(x)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到.-8-高中数学知识点整理*9.函数的对称性:（1）一个函数本身的性质：若fa(+=x)fb(−x)对任意x恒成立，则函数fx()的图象关于直ab+线x=轴对称；若fa(++x)fb(−=x)0对任意x恒成立，，则fx()的图象关于点2ab+,0中心对称．2（2）两个函数的关系：若fx()与gx()关于直线xa=对称，则gx()=f(2a−x)；若fx()与gx()关于点(a,0)中心对称，则f(a++x)ga(−=x)0．ax+b（3）特别关注形如y=的函数．其图像是双曲线，其两渐近线分别是直线x=−d(由分母cx+dc为零确定)和直线y=a(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(−da,)ccc（4）如何画出|fx()|的图象？如何画出fx(||)的图象？*10.函数的周期性：对于函数fx()，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fxT(+=)fx()，那么这个函数fx()就叫作周期函数．注意：①定义在R上的常数函数也是周期函数；②周期函数不一定有最小正周期；（1）若fx()图像有两条对称轴x=ax,()=ba≠b，则fx()是周期函数，且2|ab−|为一个周期；（2）若fx()图像有两个对称中心Aa(,0),Bb(,0)(a≠b)，则fx()是周期函数，且2|ab−|为一个周期；（3）如果函数y=fx()的图像有一个对称中心Aa(,0)和一条对称轴x=ba()≠b，则函数y=fx()必是周期函数，且4|ab−|为一个周期；1（4）若a≠0，且fx()满足−f(x)=f(a+x)，或fx()+=a；fx()1或fx()+=−a；均可得出2a是fx()的一个周期.fx()logNnmnmnalogcbn11.指数式、对数式：aN=，，m=，aa=logab=logabbloga()logcam12.幂、指、对函数的图象：指数函数x、对数函数的图象都分两类（、）；ya=yx=logaa>101<1,x1,范围是(A)（A）a2（B）a2（C）22a（D）a2或a2-11-高中数学知识点整理第三部分导数极限极限运算法则零点存在定理函数的连续性基本函数求导运算导数运算法则求导乘积的导数函数的平均变化率商的导数割线斜率切线斜率导数复合函数求导瞬时速度导数的应用单调性函数零点的个数微积分基本定理最值定积分极值F’(x)=01.导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率（平均变化率的极限）．导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点2.fx()x0y=fx()Pxf(0,(x0))处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是′，相应地切线的y=fx()Pxf(0,(x0))fx(0)方程是．yy−=′0fx(00)(xx−)特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是．切线方程为fx′()0；若不是切点，则需设切点坐标为，再利用切线yy−=′0fx(00)(xx−)(,xy11)yy−斜率01和切点在曲线上两个条件列方程进行求解．(fx'(1)=)(y11=fx())xx01−3.导数的运算法则，常见函数的导数：'′1111（）nn′=−1∈，特别注意：=−1′=−′=2=；1(x)nx(nQ)(x)2,(xx)xx2x-12-高中数学知识点整理1（）；；；xx，2(sinxx)'=cos(cosxx)'=−sin(logax)'=(a)'=aalnxaln（3）若f(),()xgx有导数，则′①[fxgxfxgx()±=±()]′′()′()；②[Cf(x)]=Cf′(x)．f(x)f''(xgx)()−f(xg)(x)③=+；④=；fxgx()()''fxgx()()fxgx()'()'2gx()(gx())（4）（理科）特别注意复合函数的导数，ππ−−xx如cos2xx−=−−'2sin2，(ee)'=−334.函数的单调性：1（1）若fx′()>0,则fx()为增函数？（不正确，如fx()=−），正确的说法应该是若fx′()>0x对x∈(ab,)恒成立，则fx()在(ab,)上为增函数；（2）若函数y=fx()在区间（ab,）上单调递增，则fx′()≥0恒成立，反之等号不成立；若函数y=fx()在区间（ab,）上单调递减，则fx′()≤0，反之等号不成立．5.函数的极值：（）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有1fx()x0x0，就说是函数的一个极大值．fx()fx(0)就说是函数的一个极小值．记作＝．fx()0fx()y极小值fx()0极大值和极小值统称为极值．（2）求函数y=fx()在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数fx′()；（）求方程的根；iifx′()=0x0（）列表，检查′在的左右两端的符号：左正右负在处取极大值；左iiifx()x0“”⇔fx()x0“负右正在处取极小值．”⇔fx()x0特别提醒：（）当函数可导时，是极值点是的变号零点，而不仅是＝；ix0⇔x0fx′()=0fx′(0)0（）已知是函数的极大小值，一定要既考虑，又要考虑检验iix0fx()()fx′()00=fx'()“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！6.函数的最大值和最小值：-13-高中数学知识点整理（1）定义：函数fx()在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点函数值中的“最大值”；函数fx()在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”．（2）求函数y=fx()在[ab,]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y=fx()在（ab,）内的极值（极大值或极小值）；②将y=fx()的各极值与fa()，fb()比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．7.高考试题中导数考查的基本类型：①曲线切线方程②讨论函数的单调性（重点）③求函数的极值、最值（重点）④不等式恒成立，求参数范围（难点）⑤已知函数在某个区间上是单调的，求参数范围（难点）⑥利用导数解题基本思路（格式）先写出定义域，关注参数范围，准确求导是基础，求单调区间与极值---列表更清楚，分类讨论要全面，前后设问有联系，解题过程草图相伴。例.(切线问题：抓住点在曲线上，点在切线上，切点的导数值为切线的斜率三个要点)ax(−1)已知：函数fx()=，其中a>0.若直线xy−−=10是曲线y=fx()的切线，x2求：实数a的值.ax(−1)=0y02x0ax(2−)解：fx′()=，（x≠0），设切点坐标为(,xy)，则xy−−=10解得x=1，a=1.x300000ax(2−)0=31x0例：（极值问题注意检验）a=4已知函数f(x)＝x3+ax2+bx＋a2在x＝1处有极值为10，求a，b的值．b=−11-14-高中数学知识点整理第四部分三角弧长公式终边相同的角轴上角三角函数的正弦型函数五点法面积公式弧度制图象性质角的概念基本应用三角恒等概基本变换任意角的三念三角函数角函数定义问题正弦定理正弦解三角形单位圆中的余弦定理基本公式余弦三角函数线大边对大角正切诱导公式同角三角函数两角和与差的的基本关系三角函数辅助角公式二倍角公式1.角的概念的推广：正角、负角、零角.(角为任意实数)2.终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等π（1）终边在y轴上的角：απ=+∈k,kZ；2kπ（2）终边在坐标轴上的角可表示为：α=,kZ∈；2π（3）终边在第一象限的角α2kπα<<2,kπ+kZ∈223.弧长公式：lR=||α，扇形面积公式：S=11lR=||αR，其中α为圆心角，221弧度(1rad)≈57.3.4.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(,xy)是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是yxyxr=xy22+，则sinαα=,cos=，tanα=,(x≠0)，cotα=(y≠0).三角函数值只rrxy与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.提醒：借助任意角三角函数的定义，可得到点的坐标的三角表示，如点Pr(cosθθ,rsin)-15-高中数学知识点整理5.单位圆与三角函数线：正弦线MP、余弦线OM、正切线ATyTBSπ可证明：当0<<α时，sinαα<sin−=BBcos2⇒sinABC++>sinsincosA+cosB+cosC；（2）正弦定理：abc===2R(R为三角形外接圆的半径).sinABCsinsin注意：①正弦定理的一些变式：a(iab):=sinA:sinB；(ii)sinA=；(iii)a=2RsinA；2R②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.222222+−（3）余弦定理：a=+−bc2bccosA,cosA=bca等，2bc常用余弦定理判断三角形的形状.解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：S=11ah=absinC=1r(a++bc)（其中r为三角形内切圆半径）.22a2（5）大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些不是.在三角形中，AB>⇔sinA>sinB，这是“正弦定理+大边对大角”的应用.-18-高中数学知识点整理14.致命易错点提示：（1）特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误（2）大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验）（3）已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围.-19-高中数学知识点整理第五部分平面向量有向线段向量的表示AB,a,坐标平行向量（共线向量）向量的夹角（向量垂直）概念平面向量向量的方向相等向量相反向量向量的大小（模）零向量单位向量几何：三角形法则和平行四边形法则平面向量基本定理AB+=BCAC向量的加减法(xy,,)±(mn)=±±(xmy,n)应用：平移公式，两点间距离公式几何：平行向量运算实数与向量的乘积λAB向量的正交分解λ(ab,,)=(λλab)应用：定比分点坐标公式几何意义:物理做功求模长ab=abcosθ求夹角向量的数量积(θ为夹角)θ=90°垂直，数量积为0x,,y⋅=+mnxmynθ=0°平行，数量积为？应用()()θ=180°平行，数量积为？应用:正余弦定理，两向量夹角，模长平面几何θ为锐角，钝角，对应于？物理：速度、力、位移其它-20-高中数学知识点整理1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的.AB（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.(与AB共线的单位向量是±).AB（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行.提醒：①两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.②三点ABC、、共线⇔AB、AC共线.（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量,a的相反向量是－a.2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后.（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等.（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为ai=+=xyj(xy,)，称(xy,)为向量a的坐标，a＝(xy,)叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使＋.λ1λ2a=λ1e1λ2e213如:（1）若ab=(1,1),=(1,−=−1),c(1,2)，则c=______（答：ab−）.22→→→→→（2）已知∆ABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，CD=rAB+sAC，则r+s的值是___（答：0）.4.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1;)λλaa=(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;-21-高中数学知识点整理当λ＝0时，λa=0，注意：λa≠0.5.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA=ab,OB=，∠=AOBθ(0≤≤θπ)称为向量a，b的夹角.当θ＝0时，a，b同向;当θ＝π时，a，b反向;π当θ＝时，a，b垂直.2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|ab|||cosθ叫做a与b的数量积（或内积,或点积），记作：ab⋅，即ab⋅＝abcosθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注意数量积是一个实数，不再是一个向量.如：①已知a=2，b=5，ab⋅=−3，则ab+等于____（答：23）.②已知ab,是两个非零向量，且a=b=ab−，则aab与+的夹角为____.（答：30）（3）b在a上的投影为|b|cosθ，它是一个实数，但不一定大于0.12如:已知|a|3=，||5b=，且ab⋅=12，则向量a在向量b上的投影为______（答：)5（4）ab⋅的几何意义：数量积ab⋅等于a的模a与b在a上的投影的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ，则：①a⊥⇔⋅=bab0.2②当a，b同向时，ab⋅＝ab，特别地，a=aa⋅.当a与b反向时，ab⋅＝－ab.当θ为锐角时，ab⋅＞0，且ab、不同向，ab⋅＞0是θ为锐角的必要非充分条件.当θ为钝角时，ab⋅＜0，且ab、不反向，ab⋅＜0是θ为钝角的必要非充分条件.ab⋅③非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ=.ab④ab⋅≤ab.如：已知a=(λλ,2)，b=(3λ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取41值范围是______.（答：λ<−或λ>0且λ≠）.336．向量的运算：（1）几何运算：-22-高中数学知识点整理①向量加法：利用“平行四边形法则”进行.向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=ab,BC=，那么向量AC叫做a与b的和，即ab+=AB+BC=AC.②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,,AC=b那么ab−=AB−AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.）.（）坐标运算：设，则：2ab=(xy11,),=(xy2,2)①向量的加减法运算：，ab±=(xx12±yy12±).②实数与向量的积：λa=λ(xy11,,)=(λλx1y1).③若，则，Ax(11,y),Bx(2,y2)AB=−−(x2x12,yy1)即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：ab⋅=xx12+yy12.⑤向量的模：a=+==+xy222,aa||222xy.⑥两点间的距离：若，则22.Ax(11,,y)Bx(2,y2)||AB=(x21−x)+−(y21y)7.向量的运算律：（1）交换律：abba+=+，λ(µaa)=(λµ)，ab⋅=⋅ba.(2)结合律：abc++=(ab+)+cabc,−−=−a(bc+)，(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb).（3）分配律：(λµ+)a=λa+µλa,(ab+=)λa+λb，(a+b)⋅=⋅+⋅cacbc.如下列命题中：①a⋅()b−c=⋅−⋅abac.②a⋅⋅=(bc)(ab⋅⋅)c.③()ab−2=||a2−2||||||ab⋅+b2.④若ab⋅=0，则a=0或b=0.2⑤若ab⋅=⋅cb,则ac=.⑥aa=2.ab⋅b⑦=.⑧()ab⋅=⋅2a22b.aa2⑨()a−b22=a−2ab⋅+b2.其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约).-23-高中数学知识点整理（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b⋅c)≠(a⋅b)c，为什么？8.向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件：22＝ab//⇔=aλb⇔⋅(ab)(=ab)⇔−xy12yx120.如:(1)已知ab=(1,1),=(4,x)，ua=+2b，v=2ab+，且uv//，则x＝___（答：4）.（2）设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线.（－2或11）9.向量垂直的充要条件：a⊥⇔⋅=⇔bab0|a+b||=a−b|⇔+=xx12yy120.3如：已知OA=−=(1,2),OB(3,m)，若OA⊥OB，则m=（答：）.2*10.平移公式：x′=xh+如果点Pxy(,)按向量a=(hk,)平移至Px(,′′y)，则.y′=yk+曲线f(,xy)=0按向量a=(hk,)平移得曲线f(x−hy,−=k)0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，π则a＝________（答：(kπ−,1)）411．向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.（2）||a|−|b||≤±≤|ab||a|+|b|，特别地，当ab、同向或有0⇔|ab+=||a|+|b|≥||a|−=−|b|||ab|.当ab、反向或有0⇔|ab−=||a|+|b|≥||a|−=+|b|||ab|.当ab、不共线⇔||a|−|b||<±<|ab||a|+|b|(这些和实数比较类似).（3）在∆ABC中，①若，则其重心的坐标为x1++x2xy31++y2y3.Ax(11,,y)Bx(2,,y2)Cx(33,y)G,33如：若∆ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），24则∆ABC的重心的坐标为_______（答：(−,)）.33②PG=1()PA++PBPC⇔G为∆ABC的重心，3特别地PA++PBPC=⇔0P为∆ABC的重心.③PA⋅=⋅PBPBPC=PC⋅⇔PAP为∆ABC的垂心.-24-高中数学知识点整理④向量λλ(AB+≠AC)(0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线).|AB||AC|⑤||ABPC++=⇔|BC|PA||CAPB0P为∆ABC的内心.+（4）为的中点MP12MP.PPP12⇔=MP2（5）向量PA、、PBPC中三终点ABC、、共线⇔存在实数αβ、使得PA=αβPB+PC且αβ+=1.如：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(−1,3),若点C满足→→→,其中且,则点的轨迹是______OC=λ1OA+λ2OBλ1,λ2∈Rλ1+λ2=1C（答：直线AB）12．一些概念：下列命题中，真命题的序号为：①AB=DC是A、B、C、D四点构成平行四边形的充要条件；②⋅⋅=⋅⋅a(bc)(ab)c③单位向量不一定都相等④若ab⋅=⋅cb，b≠0则ac=⑤a=b的充要条件是ab=，且ab//；⑥若ab22=，则ab=或a=−b；⑦若ab=0，则a或b为零向量⑧若λa=0，则λ=0或a=0⑨已知非零向量a，b，那么“ab>0”是“向量a，b方向相同”的必要不充分条件⑩四边形ABCD中，“∃∈λR，AB=λλDC,AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件答案：③⑧⑨⑩-25-高中数学知识点整理第六部分数列Sn与an的关系递推公式给出数列求通项公式迭代叠加累乘转化为熟悉的数列数列等差数列的性质的定通项公式一次函数等差数列义数列与自然数集的关系前n项和二次函数（倒写求和）最大（小）值等比数列通项公式等比数列的性质数学归纳法裂项求和极限求和前n项和错位相减（错位相减）分组求和无穷递缩等比数列求和******同学们也可按照“基础知识、基本方法、基本问题、思想方法”整理1．数列的定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,,n}）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.S(n=1)一般数列的通项与前项和的关系：12.annSnan=Sn−Sn−1(n≥2)3.等差数列的概念：（）等差数列的判断方法：定义法为常数）1ann+1−=add(.（）等差数列的通项公式：或2aann=+−1(1)danm=a+−()nmd.na()+ann(−1)（3）等差数列的前n项和：S=1n，S=na+d，注意S与中间项的关系.n2n12nab+（4）等差中项：若a,,Ab成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,A=.24．等差数列的性质：（）当公差时，等差数列的通项公式是1d≠0an=+−a11(n1)d=dn+−adnn(−1)dd关于n的一次函数，且斜率为公差d.前n项和S=na+d=n2+−()ann11222是关于n的二次函数且常数项为0.（图像为通过原点的抛物线上的点）-26-高中数学知识点整理（2）若公差d>0，则为递增等差数列，若d<0，则为递减数列，若公差d=0，则为常数列.（）当时则有，3mn+=+pq,am+an=ap+aq特别地，当时，则有mn+=2paamn+=2apA（）若等差数列、的前和分别为、，且n，则4{}an{}