第三章 函数第12课 二次函数1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，利用配方法可以表示为____________________，它的图象是抛物线，顶点坐标是____________________，对称轴是直线__________．一、考点知识2．抛物线y＝2x2－4x－1的开口__________，当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而________．在顶点处，函数值最________(大或小)．抛物线y＝－3x2－6x＋1的开口________，当________时，y随x的增大而增大；当________时，y随x的增大而________．在顶点处，函数值最________(大或小)．向上小减小向下x<－1x>－1大减小3．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是________，对称轴是直线__________．二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，与x轴的交点坐标是________________________，对称轴是直线____________．（h，k）x=h（x1，0）（x2，0）【例1】已知二次函数的图象经过A(－2，－5)，B(1，4)，C(2，3)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求该函数的图象与x轴的交点和顶点坐标；(3)画出函数的图象．【考点1】求二次函数解析式，二次函数的图象与性质二、例题与变式解：（1）y=－x2+2x+3（2）与x轴的交点为（3,0），（－1,0），顶点为（1,4）（3）略【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M(－1，－2)且过点N(0，－1.5)．(1)求此抛物线的解析式；(2)x取什么值时，y随x的增大而减小；(3)x取什么值时，该函数的图象在x轴上方；(4)写出原抛物线向下平移1个单位长度，向右平移2个单位长度后的函数解析式．解：（1）（2）x<－1（3）x<－3或x>1（4）【考点2】求二次函数解析式，坐标系下的面积【例2】已知抛物线的顶点P(3，－3)且在x轴上所截得的线段AB的长为6.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）（2）存在.坐标Q点为（,4）或（,4）【变式2】二次函数y＝x2－mx＋n的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？求出此时P点的坐标和△BPC的最大面积．解：（1）y=x2－2x－3（2）当时，有最大面积为.【考点3】二次函数与方程【例3】函数y＝x2＋kx＋k－1(k为常数)．(1)求证：对任意实数k，函数图象与x轴都有交点；(2)证明对任意实数k，抛物线y＝x2＋kx＋k－1都必定经过唯一定点，并求出定点坐标．解：（1）△=k2－4(k－1)=k2－4k+4=(k－2)2≥0，所以对任意实数k，函数图象与x轴都有交点.（2）y=x2+kx+k－1=k(x+1)+x2－1，若过定点则与k的取值无关，由x+1=0得x=－1,当x=－1时，y=1－k+k－1=0.所以定点为（－1,0）.【变式3】已知P(1，m)和Q(3，m)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，且该抛物线与x轴交于A，B两点，(1)求b的值；(2)求c的取值范围；(3)若线段AB＝4，求该抛物线的解析式．解：（1）－4（2）c<4（3）|xA-xB|=4，则(xA+xB)2－4xAxB=16.所以42－4c=16.所以c=0，得y=x2－4x.A组1．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－3三、过关训练2．如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )DB①④3．如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(－1，0)，则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的是______________．B组4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋3a－2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)．(1)当抛物线过原点时，求实数a的值；(2)①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示)；(3)求实数a的取值范围．解：（1）（2）①抛物线的对称轴是直线x=2，②顶点的纵坐标是－a－2.（3）△=16a2－4a(3a－2)=16a2－12a2+8a=4a2+8a>0,得a<－2或a>0.解：（1）y=－x2+2x+3（2）D（1,4）(3)1或75．如图，过点A(－1，0)，B(3，0)的抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线顶点D的坐标；(3)若抛物线的对称轴上存在点P使S△POB＝3S△POC，求此时DP的长．C组6．已知点A(－1，－1)在抛物线y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1(其中x是自变量)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由．解：（1）已知点A（－1，－1）在已知抛物线上,则(k2－1)+2(k－2)+1=－1，解得k1=1,k2=－3,当k1=1时，函数为一次函数，不合题意，舍去当k2=－3时，抛物线的解析式为y=8x2+10x+1,由抛物线的解析式知其对称轴为x=.（2）∵点B与点A关于x=对称，且A（－1，－1），∴B（，－1）.当直线过B（，－1）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，此时的直线为x=当直线过B（，－1）且不与y轴平行时，设直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B，直线y=mx+n过B（，－1），得m+n=－1，即m－4n=4①.把y=mx+n代入y=8x2+10x+1，得8x2+10x+1=mx+n，即8x2+(10－m)x+1－n=0.由△=0，得(10－m)2－32(1－n)=0②,由①②得m=6,n=.故所求的直线为y=6x+.
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