(完整)高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案21.已知集合M={y|y=x＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）2解：M={y|y=x＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},22注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．2.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．解：∵A∪B=A∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或1或2∴C={0，1，2}3。已知mA,nB,且集合A=x|x2a,aZ，B=x|x2a1,aZ，又C=x|x4a1,aZ，则有：m+n(填A,B,C中的一个)解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z,又∵nB,∴n=2a2+1,a2Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2Z,∴m+nB。4已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．25已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．22（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：a＋ac－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．2∴c－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．22（2）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：2ac－ac－a=0，2∵a≠0，∴2c－c－1=0，1即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.16设A是实数集，满足若a∈A，则A，a1且1A.1a⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.1⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.a1解：⑴2∈A－1∈A∈A2∈A21∴A中至少还有两个元素：－1和212⑵如果A为单元素集合，则a＝即aa1＝01a该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集111a1⑶a∈A∈A∈AA，即1－∈A1a11a1a11a1111⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－,三数互不相等.1aaa1a11①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠1a1a121②若a=1－，即a-a+1=0，方程无解∴a≠1－aa1111③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a1aa1a综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数.解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射a0a2a2a2（2）符合条件的映射共有4个,b2,b2,b0,b0,c2c2c2c08.已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x1)的定义域解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0x1∴f(x1)满足0x111x0，∴f(x1)的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)0,f(x1)f(x)x1，求f(x).（2）已知f(x1)x2x，求f(x)1（3）若f(x)满足f(x)2f()ax,求f(x)x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解22设f(x)＝axbxc(a0)由于f(0)0得f(x)axbx，又由f(x1)f(x)x1，∴a(x1)2b(x1)ax2bxx1即ax2(2ab)xabax2(b1)x12abb1111a0ab因此：f(x)＝x2x222ab1(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设ux1(x0),xu1(u1)222f(u)(u1)2(u1)u1(u1)∴f(x)＝x1（x1）（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解1111用代x可得：f()2f(x)a,与f(x)2f()axxxxx12aax联列可消去f()得：f(x)＝.x3x3点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.222210已知3x2y6x，试求xy的最大值.2222分析：要求xy的最大值，由已知条件很快将xy变为一元二次函数1292f(x)(x3),然后求极值点的x值，联系到y0，这一条件，既快又准地求22出最大值.232yx3x.222解由3x2y6x得232y0,x3x0,0x2.2319又x2y2x2x23x(x3)2,22222129当x2时，xy有最大值，最大值为(23)4.22点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：22232由3x2y6x得yx3x,2319x2y2x2x23x(x3)2,222229当x3时，xy取最大值，最大值为22这种解法由于忽略了y0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..11设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1,并且对任意的实数x,y都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式.解法一：由f(0)1,f(xy)f(x)y(2xy1)，设xy，得f(0)f(x)x(2xx1)，所以f(x)＝x2x1解法二：令x0，得f(0y)f(0)y(y1)即f(y)1y(y1)2又将y用x代换到上式中得f(x)＝xx1点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.1x12判断函数f(x)(1x)的奇偶性.1x1x1x解：f(x)(1x)有意义时必须满足01x11x1x即函数的定义域是｛x｜1x1｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数213判断f(x)log2(xx1)的奇偶性.22正解：方法一：∵f(x)log2(x(x)1)log2(xx1)12＝log2＝log2(xx1)＝－f(x)∴f(x)是奇函数xx2122方法二：∵f(x)f(x)log2(xx1)log2(xx1)22＝log2[(xx1)(xx1)log210f(x)f(x)∴f(x)是奇函数214函数y=54xx的单调增区间是_________.22解：y=54xx的定义域是[5,1]，又g(x)54xx在区间[5,2]上增函数，2在区间[2,1]是减函数，所以y=54xx的增区间是[5,2]215已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x－3)<0,求x的取值范围.3x330x6解：由,故03－x,即x+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得20,1－x1x2>0，∴>0,1x1x2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,xxxx∴0<21<1,由题意知f(21)<0，1x2x11x1x2即f(x2)0,且a－a+1=(a－)+>0,aa124xx11∴1+2+4·a>0,a>(),4x2x11当x∈(－∞,1]时,y=与y=都是减函数，xx4211113max∴y=(xx)在(－∞,1]上是增函数，(xx)=－,4242433∴a>－,故a的取值范围是(－,+∞).44点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表11现.本题主客换位后，利用新建函数y=)(xx的单调性转换为函数最值巧妙地求出了42实数a的取值范围.此法也叫主元法.113323若(a1)(32a)，试求a的取值范围.1解：∵幂函数yx3有两个单调区间，∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系a10a10a1032a0.①32a0.②.③32a0a132aa132a23解三个不等式组：①得＜a＜，②无解，③a＜－13223∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（，）3213点评：幂函数yx有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a132a，从而导致解题错误.a124已知a>0且a≠1,f(logax)=(x－)2a1x(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；2(3)对于f(x),当x∈(－1,1)时,有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(t∈R)，则aaxat,f(t)(atat),f(x)(axax),(xR).a21a21aa(2)f(x)(axax)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,0,a21a21u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.22(3)f(1m)f(1m)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m1).又x(1,1)11m11m2111m2.1mm21点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.225已知函数f(x)xax3a若x[2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.解：设f(x)的最小值为g(a)a7（1）当2即a＞4时，g(a)＝f(2)＝7－3a≥0，得a故此时a不存在；232aa(2)当[2,2]即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，得－6≤a≤224又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；a（3）2即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－42故－7≤a＜－4综上，得－7≤a≤2226已知mxx10有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围.2解：设f(x)mxx1，（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件.2（2）当m≠0∵mxx10有且只有一根在区间（0,1）内又f(0)＝1＞0∴有两种可能情形①f(1)0得m＜－21或者②f(1)0且0<<1得m不存在2m综上所得，m＜－227.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程2x+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.2解：令f(x)x(2k3)x(3k1)那么由条件得到224k50(2k3)4(3k1)01f(0)13k0k3f(2)42(2k3)(3k1)0即即此不等式无解k12k302372k22即不存在满足条件的k值.228已知二次函数f(x)axbxc对于x1、x2R，且x1＜x2时1f(x1)f(x2)，求证：方程f(x)＝[f(x1)f(x2)]有不等实根，且必有一根属于区间2（x1，x2）.1解：设F（x）＝f(x)－[f(x1)f(x2)]，21则方程f(x)＝[f(x1)f(x2)]①2与方程F（x）＝0②等价11∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)]2211F（x2）＝f(x2)－[f(x1)f(x2)]＝[f(x1)f(x2)]221212∴F（x）·F（x）＝－[f(x1)f(x2)]，又f(x1)f(x2)4∴F（x1）·F（x2）＜0故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.1点评：本题由于方程是f(x)＝[f(x1)f(x2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中2有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F1（x）＝f(x)－[f(x1)f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.23229试确定方程2xx4x20最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.32分析：只要构造函数f(x)＝2xx4x2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.32解：令f(x)＝2xx4x2∵f(3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0f(2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0f(1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0根据f(2)·f(1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.2x3x24x21x2(2x1)2(2x1)2(x)(x22)212(x)(x2)(x2)2321所以2xx4x2＝0有三个根：,2,22230设二次函数f(x)axbxc(a0),方程f(x)x0的两个根x1,x2，满足10x1x2.a（1）当x(0,x1)时，证明xf(x)x1；2（2）设函数f(x)axbxc(a0),的图像关于直线xx0对称，证明：x1x0.2分析：（1）用作差比较法证明不等式xf(x)x1；2（2）函数f(x)axbxc(a0),图像关于直线xx0对称，实际直线xx0就是二b次函数的对称轴，即x0，然后用已知条件证明不等式即可.2a证明：（1）依题意，设F(x)f(x)xa(xx1)(xx2)当x(0,x1)时，由于x1x2，∴(xx1)(xx2)0，又a0∴F(x)f(x)xa(xx1)(xx2)>0即xf(x)x1f(x)x1[xF(x)]x1xF(x)(x1x)(1axax2)(x1x)(1ax2)1∵0xx1x2.∴x1x0,1ax20a∴x1f(x)0综合得xf(x)x1bb1（2）依题意知x0，又x1x22aaba(x1x2)1ax1ax21∴x02a2a2aax1x1∵ax210,∴x02a2点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的b对称轴，即x02a231已知函数f(x)x2bxc(cb1),f(1)0，且方程f(x)10有实根.(1)求证：-3