第=page11页，共=sectionpages11页2023年新疆阿勒泰地区高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合A={x∈Z|1≤x≤4}，集合B={x|0≤x≤2}，则A∩B=( )A.{1}B.{1,2}C.{1,4}D.{1,2,4}2.已知复数z=2i1−i，则复数z的模为( )A.2B.2C.1D.03.已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为( )A.86πB.46πC.3π3D.22π34.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus，大约公元前417年一公元前369年)通过下图来构造无理数2,3,5,⋯，记∠BAC=α，∠DAC=β，则cos(α+2β)=( )A.2−46B.33−66C.33+66D.2+465.设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|⋅|PF2|=5ab4，则该双曲线的离心率为( )A.43B.133C.2D.946.如图(1)反映了我国2016−2021年全国R&D经费及投入强度情况；图(2)反映了我国2016−2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是( )A.2019−2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快B.2016−2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长C.2016−2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元D.2016−2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及5.785%7.设函数f(x)=cos(ωx+φ−π4)(ω>0,−π<φ<0)的图象关于原点对称，且相邻两对称轴之间的距离为π，则函数y=f(x−π6)的单调递增区间为( )A.[−π3+2kπ,2π3+2kπ](k∈Z)B.[−π6+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)C.[−π3+kπ,2π3+kπ](k∈Z)D.[−π6+kπ,5π6+kπ](k∈Z)8.从分别标有1，2，3，⋯，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为( )A.38B.16C.112D.1249.在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=135°，BD=λBC，若AD⊥AC，则λ=( )A.22−15B.22+15C.22+17D.22−1710.已知两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，点P是圆(x−3)2+(y−4)2=1上任意一点，∠APB是锐角，则m的取值范围为( )A.(0,6)B.(0,4)C.(4,6)D.[6,+∞)11.设a=cos13,b=3sin13,c=1718，则( )A.a
bD.c0)，p(x)=x−ex，若任意x∈[e2,e3]，使得h(x)≤p(x)，则t的取值范围是 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整.其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：性别接种情况男女未接种2010已接种230240(1)估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？(3)以(1)中统计比例作为该地区老人接种疫苗的概率，随机调查10名老人，记接种疫苗人数为X，求X的均值.(结果保留到个位)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.005k02.7063.8416.6357.87918.(本小题12.0分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=3，点M在棱PD上，PM=2MD，点N为BC中点．(1)求证：MC//平面PAB；(2)求二面角N−PM−C的余弦值．19.(本小题12.0分)已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，等比数列{bn}的公比为q，且a1=b1，d=q，a3=5，a2+a5=6b2．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn=1an⋅log2b2n+2，求数列{cn}的前n项和Tn．20.(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,0)，点P为动点，点Q为线段PA的中点，直线PA与OQ的斜率之积为−59．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点F(−2,0)且不与坐标轴垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点B，若点B的横坐标xB>−13，求|MN|的取值范围．21.(本小题12.0分)已知函数f(x)=ax，其中02的解集；(2)若对任意x∈R，都有f(x)>4，求正整数a的最小值．
答案
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和解析1.【答案】B 【解析】解：集合A={x∈Z|1≤x≤4}={1,2,3,4}，集合B={x|0≤x≤2}，∴A∩B={1,2}．故选：B．由交集定义即可求得．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，则|z|=(−1)2+12=2．故选：B．根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】C 【解析】【
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】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积．本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养，属于基础题．【解答】解：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则πr2=π,πrl=2π,解得r=1,l=2.所以h=3．圆锥的体积V=13Sh=13×π×12×3=3π3，故选：C． 4.【答案】A 【解析】解：由图可知cosα=22，sinα=22，cosβ=23=63，sinβ=13=33，则sin2β=2sinβcosβ=2×33×63=223，cos2β=2cos2β−1=2(63)2−1=13，所以cos(α+2β)=cosαcos2β−sinαsin2β=22×13−22×223=2−46．故选：A．利用锐角三角函数求出cosα，sinα，cosβ，sinβ，再利用两角和的余弦公式和二倍角公式计算可得．本题主要考查了锐角三角函数定义及二倍角公式，和差角公式的应用，属于基础题．5.【答案】C 【解析】解：由双曲线的对称性，不妨设P在右支，则有|PF1|−|PF2|=2a，而|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|=2a+3b2,|PF2|=3b−2a2，代入|PF1|⋅|PF2|=5ab4⇒3b+2a2⋅3b−2a2=5ab4⇒9b2−4a2=5ab⇒9(ba)2−5⋅ba−4=0⇒ba=1，或ba=−49(舍去)，由ba=1⇒b2=a2⇒c2−a2=a2⇒ca=2，或ca=−2(舍去)，即该双曲线的离心率为2．故选：C．根据双曲线的定义，结合解方程组、双曲线的离心率公式进行求解即可，本题主要考查了双曲线的定义和性质，考查了双曲线离心率的求法，属于中档题．6.【答案】D 【解析】解：对于选项A，由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%，2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%，2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%，2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%，2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%，所以2019−2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快，故A正确；对于选项B，由统计图(1)2016−2021年，我国R&D经费总量(单位：亿元)依次为15677，17606，19678，22144，24393，27864，所以2016−2021年期间，我国R&D经费总量逐年增加，由统计图(2)2016−2021年，我国基础研究经费(单位：亿元)依次为823，975，1090，1336，1467，1696，所以2016−2021年期间，我国基础研究经费逐年增加，故B正确；对于选项C，2016−2021年，我国R&D经费总量的平均值为15677+17606+19678+22144+24393+278646=21227(亿元)，所以2016−2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元，故C正确；对于选项D，由图(2)2016−2021年我国基础研究经费的中位数为1090+13362=1213(亿元)，2016−2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为5.54%+6.01%2=5.775%，故D错误；故选：D．根据统计图读取相关数据，再逐项判断各选项即可．本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．7.【答案】A 【解析】解：∵f(x)的图象关于原点对称，∴φ−π4=π2+kπ,k∈Z，即φ=−π4，又∵f(x)的相邻两个对称轴之间距离为π，∴T2=π=πω，即ω=1，故f(x)=sinx，∴f(x−π6)=sin(x−π6)，根据正弦函数的单调性可得：−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，∴−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,(k∈Z)．故选：A．根据题意可知f(x)是周期为2π的奇函数，从而得出解析式f(x)=sinx，再由正弦函数的单调性即可解决．本题主要考查了余弦函数的周期性及对称性的应用，属于基础题．8.【答案】A 【解析】解：设事件A为第1张为偶数，事件B为第2张为偶数，则P(A)=49，P(AB)=C42C92=16，故P(B|A)=P(AB)P(A)=38．故选：A．设事件A为第1张为偶数，事件B为第2张为偶数，则P(A)=49，P(AB)=16，根据条件概率公式得到答案．本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．9.【答案】D 【解析】解：AD=AB+BD=AB+λBC=AB+λ(AC−AB)=(1−λ)AB+λAC，∵AD⊥AC，∴AD⊥AC，∴AD⋅AC=0，则[(1−λ)AB+λAC]⋅AC=0，(1−λ)AB⋅AC+λ|AC|2=0，(1−λ)|AB|⋅|AC|cos∠BAC+λ|AC|2=0，(1−λ)×1×2×cos135°+λ22=0，(1−λ)×1×2×(−22)+22×λ=0，即−2(1−λ)+4λ=0，即(2+4)λ=2，解得λ=22+4=2(4−2)(2+4)(4−2)=42−214，即λ=22−17．故选：D．将AD
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示成AD=(1−λ)AB+λAC，再根据[(1−λ)AB+λAC]⋅AC=0，利用平面向量数量积的运算求出λ的值．本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．10.【答案】B 【解析】解：设点P(x0,y0)，显然圆(x−3)2+(y−4)2=1与x轴相离，即点A，P，B不共线，于是∠APB是锐角当且仅当PA⋅PB>0，而PA=(−m−x0,−y0),PB=(m−x0,−y0)，依题意，(−m−x0)(m−x0)+y02>0，即|m|0，解得00，所以m(x)即h′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h′(x)>h′(0)=0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h(13)=cos13−1+118>h(0)=0，所以cos13>1718，又因为g′(x)=cosx−1+x22=h(x)>h(0)，x∈(0,+∞)，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，即3g(13)=3sin13−3×13+12×27=3sin13−5354>g(0)=0，所以3sin13>5354>1718，即b>a>c，故选：D．构造：g(x)=sinx−x+x36，h(x)=cosx−1+x22，x∈(0,+∞)，利用导数确定其单调性即可判断．本题考查函数值比大小，可以利用构造新函数的方法，也考查了导数的综合运用，属于难题．12.【答案】C 【解析】解：根据题意，画出图形如图(1)所示，由题意可知点P在底面ABCD内的射影为底面四边形ABCD的外接圆的圆心，即四边形ABCD为圆内接四边形，如图(2)所示，根据四边形ABCD的对称性，可得BD为外接圆的直径，所以∠BAD=90°，设四边形ABCD的半径为r，则2r=|BD|=AD2+BD2=12+(2)2=3，设∠ADB=θ，可得sinθ=23,cosθ=13，所以sin∠ADC=sin2θ=2sinθcosθ=223，可得|AC|=2r×sin∠ADC=3×223=263，由余弦定理可得cos∠APC=PA2+PC2−AC22PA⋅PC=12+12−(263)22×1×1=−13，设PA=a,PB=b,PC=c，且〈a,b〉=〈b,c〉=90°,cos〈a,c〉=−13，可得PA⋅BC=a⋅(c−b)=a⋅c−a⋅b=−13，|PA|=1,|BC|=2，则cos〈PA,BC〉=PA⋅BC|PA|⋅|BC|=−26，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为26．故选：C．设四边形ABCD的半径为r，求得2r=3和sin∠ADC=223，进而求得|AC|=263，在△PAC中，由余弦定理可得cos∠APC=−13，设PA=a,PB=b,PC=c，结合向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了异面直线所成的角，属于中档题．13.【答案】2 【解析】解：∵函数f(x)=2e2x+ae−2x+1为偶函数，∴f(x)=2e2x+ae−2x+1=f(−x)=2e−2x+ae2x+1，即(2−a)e2x=(2−a)e−2x，又∵e2x>0，e−2x>0，e2x≠e−2x(x≠0)，∴2−a=0，则a=2．故答案为：2．由偶函数的概念列方程即可求得．本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．14.【答案】53 【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，且准线x=−1，如图所示，设AB中点为C，过A、B、C分别向准线作垂线，垂足分别为E、G、H，设CH与y轴交于D，∴直线AB：y=3x−3，与抛物线方程y2=4x联立，可得3x2−10x+3=0，xA+xB=103，由梯形中位线可知：2|CH|=|BG|+|AE|=xB+1+xA+1=103+2=2|CD|+2，则|CD|=53．故答案为：53．由题意求得直线AB：y=3x−3，得出A，B两点的横坐标关系为：xA+xB=103，再由抛物线的定义可得结果．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．15.【答案】1 【解析】解：已知方程f(x)=2x有两等根，即ax2+(b−2)x=0有两等根，∴Δ=(b−2)2=0，解得b=2，∵f(x−1)=f(3−x)，得x−1+3−x2=1，∴x=1是函数图象的对称轴，而此函数图象的对称轴是直线x=−b2a，∴−22a=1⇒a=−1，故f(x)=−x2+2x，若f(x)在[0,t]上的最大值为g(t)，当t≤1时，f(x)在[0,t]上是增函数，∴f(x)max=−t2+2t≤−12+2=1，当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1,t]上是减函数，∴f(x)max=f(1)=1，综上，g(t)的最大值为1．故答案为：1．由f(x)=2x有两等根，可得Δ=0得b=2，由f(x−1)=f(3−x)可得 x=1为f(x)对称轴，可得a=−1，则可得到f(x)的解析式，对t分类讨论，利用函数单调性可得g(t)的最大值．本题主要考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．16.【答案】[e33,+∞) 【解析】解：h(x)≤p(x)⇒tlnx−xt≤x−ex⇒lnxt−xt≤lnex−ex，构造新函数h(x)=lnx−x(x>0)，问题转化为任意x∈[e2,e3]，使得h(xt)≤h(ex)成立，当x∈[e2,e3]时，h′(x)=1x−1<0，所以此时函数h(x)单调递减，于是有xt≥ex在x∈[e2,e3]上恒成立，xt≥ex⇒tlnx≥x⇒t≥xlnx，设n(x)=xlnx⇒n′(x)=lnx−1(lnx)2，当x∈[e2,e3]时，n′(x)>0，n(x)单调递增，故n(x)max=n(e3)=e33，所以有t≥e33，故答案为：[e33,+∞)．根据已知不等式的形式构造函数，利用导数的性质进行求解即可．本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查构造函数思想及运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由表格数据可知该地区老人中，已接种疫苗的比例为230+240500=94%；(2)根据表格将数据代入可得：K2=50×(20×240−230×10)2250×250×30×470≈3.546<6.635，∴没有99%的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；(3)由已知得X～B(10,0.94)，∴E(X)=10×0.94=9.4≈9． 【解析】(1)根据表格数据可知老年人中已接种人数为230+240，总人数500，代入计算即可求解；(2)计算K2与6.635比较大小，若大于表示有99%的把握，若小于则表示没有99%的把握；(3)根据题意X～B(10,0.94)，代入公式计算即可求解．本题考查独立性检验思想的应用，二项分布的期望，属基础题．18.【答案】解：(1)证明：如图，在PA上取一点E，使得PE=23PA，∵PM=2MD，∴ME//AD,ME=23AD=BC，∴易得四边形BCME为平行四边形，∴MC//BE，又MC⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，∴直线MC//平面PAB；(2)根据题意可分别以AB,AD,AP正方向为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，N(2,1,0)，∴DC=(2,−1,0),PC=(2,2,−3),PD=(0,3,−3),PN=(2,1,−3)，设平面CPM的法向量n1=(x,y,z)，则n1⋅DC=2x−y=0n1⋅PD=3y−3z=0，取n1=(1,2,2)，设平面PNM的法向量为n2=(a,b,c)，则n2⋅PD=3b−3c=0n2⋅PN=2a+b−3c=0，取n2=(1,1,1)，∴设二面角N−PM−C为α，由图象可知，二面角N−PM−C为锐角，∴|cosα|=|cos〈n1,n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=53⋅3=539，故二面角N−PM−C的余弦值为539． 【解析】(1)通过线线平行证线面平行，即在PA上取一点E，使得PE=23PA，易得四边形BCME为平行四边形，从而得证；(2)建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．19.【答案】解：(1)∵a3=5，a2+a5=6b2，a1=b1，d=q，d>1，∴a1+2d=52a1+5d=6a1d，解得a1=1d=2，或a1=256d=512(舍)，∴b1=1q=2，∴an=a1+(n−1)d=2n−1,bn=b1qn−1=2n−1,n∈N*．(2)cn=1an⋅log2b2n+2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．∴数列{cn}的前n项和：Tn=12(1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． 【解析】(1)利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；(2)利用裂项法求和即可．本题主要考查数列的求和，等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设动点P(x,y)，则PA的中点Q(x−32,y2)，所以kPA=yx+3,kOQ=yx−3，则kPA⋅kOQ=yx+3⋅yx−3=y2x2−9，依题意，kPA⋅kOQ=−59，∴y2x2−9=−59，整理得x29+y25=1，又y≠0，∴x≠±3，故动点P的轨迹方程为x29+y25=1(x≠±3)；(2)设直线l：x=my−2(m≠0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程x=my−2x29+y25=1，得(5m2+9)y2−20my−25=0，则Δ=(−20m)2−4(5m2+9)×(−25)=900m2+900>0恒成立，所以由韦达定理可得y1+y2=20m5m2+9,y1⋅y2=−255m2+9，可得MN的中点C的纵坐标yC=12(y1+y2)=10m5m2+9，∴xC=myC−2=−185m2+9，∴MN的中点为C(−185m2+9,10m5m2+9)，∴线段MN的垂直平分线方程为y−10m5m2+9=−m(x+185m2+9)，∴B(−85m2+9,0)，由已知条件得：−13<−85m2+9<0，解得m2>3，∴|MN|=(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=30(m2+1)5m2+9=6[−45m2+9+1]，∵m2>3，∴0<15m2+9<124，所以|MN|∈(5,6)． 【解析】(1)设动点P(x,y)，则PA的中点Q(x−32,y2)，根据坐标转化与直线斜率与坐标的关系，整理运算即可得动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：x=my−2(m≠0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程即可得交点坐标关系，再根据垂直平分线与x轴交于点B的横坐标xB>−13得m的范围，从而可求弦长|MN|的取值范围．本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：(1)由已知，g(x)=f(x)−xlna，有g′(x)=axlna−lna，令g′(x)=0，解得x=0，由011,0≤x≤11−2x,x<0，∴当x>1时，不等式f(x)>2化为2x−1>2，即x>32；当0≤x≤1时，不等式f(x)>2化为1>2，此时不等式解集为⌀；当x<0时，不等式f(x)>2化为1−2x>2，即x<−12；综上，当a=1时，求不等式f(x)>2的解集为(−∞,−12)∪(32,+∞)；(2)∵f(x)=|x|+|x−2a+1|≥|x−x+2a−1|=|2a−1|，∴f(x)>4转化为|2a−1|>4，解得a<−32或a>52，∴正整数a最小值3． 【解析】(1)根据a=1，将原不等式化为|x|+|x−1|>2，分别讨论x>1，0≤x≤1，x<0三种情况即可求解；(2)利用绝对值三角不等式转化为|2a−1|>4，接着解不等式即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查转化能力，属于中档题．
浙公网安备 33021202002483