数理统计第四章区间估计4.3节非正态总体参数的置信区间

1若枢轴变量的精确分布易求，可用小样本方法获得精确的置信区间.4.3枢轴变量法—非正态总体参数的置信区间若枢轴变量的精确分布不易求，或若其精确分布虽可以求，但是表达式复杂使用不方便，则可用枢轴变量的极限分布来构造有关参数近似的置信区间.21指数分布参数的置信区间4.3.1小样本方法1/UMVUE解：是的无偏估计(且是)，由推论2.4.5X21222()2～nnGXXXnX2因此，取作为枢轴变量GnX设总体，且~()Xfx,0,()00,0.其中未知xexfxx1利用枢轴变量法构造参数的置信系数为的置信区间为抽自总体X的样本12,,,nXXX3(01)ab对给定，只要取和满足(2)1PanXb满足上式的和有无穷对，其中有一对和使得区间长度最短.但是这样一对和不易求得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列方法，一般令和满足abababab2/2PnXa2/2PnXb22(1/2)其中na22(/2)nb42222((1-/2)2(/2))1nnPnX1-利用不等式等价变形得的置信系数的置信区间2222(1-/2)(/2),22nnnXnX2这样找到的和虽不能使置信区间的精度最高，但是表达式简单，可通过分布的上分位数表求得，应用上很方便.因此有ab51-同理得到的置信系数的置信下限为22(1-)2nnX1-同理得到的置信系数的置信上限为22()2nnX6154550536065708390，，，，，，，，求平均寿命1/的置信系数90%的置信区间和置信上限、置信下限(),9设某电子产品的寿命服从指数分布现从此分布的一批样本中抽取容量为的样本，测得寿命例4.3.1为(单位：千小时)Exp7则g()=1/的置信系数90%的置信区间为9,59,21062,解：由样本算得查表得nXnX221818(0.05)=28.869(0.95)=9.390，22222218182222,,(/2)(1-/2)(0.05)(0.95)nnnXnXnXnX221818(0.10)=25.989(0.90)=10.865，[36.787,113.099]8ˆˆ则g()=1/的置信系数90%的置信上限和下限为ULgg221818(0.10)=25.989(0.90)=10.865，2221822ˆ97.745(1-)(0.90)千小时UnnXnXg2221822ˆ40.863()(0.10)千小时LnnXnXg92均匀分布参数的置信区间12~(0,),0,,,1-设，为抽自总体的样本，利用枢轴变量法构造参数的置信系数为的置信区间.nXUXXXX()是的极大似然估计又是充分计，解：统量nX因此取1,01()0,，其它.nnttft()()(,)nnXTgX作为枢轴变量()/的密度函数为nX10(01)ab对给定，只要取和满足()11bnnnnaXPabntdtba即1nnba考虑区间平均长度最短的要求得到()nXab而等价变形为()()nnXXba1,nba1-因此的置信水平的置信区间为()(),nnnXX114.3.2大样本方法1.总体比值p的置信区间总体比值是指总体中具有某种特征的个体所占的比率,记为p.例如,总体的次品率就是指总体中次品所占的比率.随机变量X表示个体的某种特征指标,规定当一个体具有某种特征时,则X=1,否则,X=0.X服从0-1分布:P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.并且EX=p,DX=p(1-p)121,~(,)：令可知解nniniSXSbnp1{}(1),0,1xxPXxppx1两点分布参数的置信区间12,,,(1,),01设是抽自总体的样本，且～，即nXXXXXbpp1-p求参数的置信区间,根据中心极限定理，对于充分大的有n(0,1)(1)(1)/当LnSnpXpTNnppppnn13,(1)(0,1).当充分大时随机变量的极限分布是，与未知参数无关nSnpnTnppNp.于是取作为枢轴变量T当充分大时有n/2/21(1)/XpPuuppn14/2/21(1)/XpPuuppnp的置信水平1-α的近似置信区间为2222/2/2()(2)0nupnXupnX/2/2(1)/不等式等价于Xpuuppn22/212/2/222/21(1)ˆˆ[,]24unXXppXuununnn15ˆ/由和PnpSnp实用中可采用下列更简单的方法：将上述两式相乘，按照依分布收敛的性质，有(1)1ˆˆ(1)得到Pppppˆˆ(1)(0,1)ˆˆˆˆ(1)/(1)/(1)LppppppNppnppnpp(0,1)(1)(1)/LnSnpXpTNnppppnˆ(0,1)(1)/LppNppn16即ˆ(0,1)ˆˆ(1)/L ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt NppnT.的极限分布与p无关，于是取作为枢轴变量T当充分大时有n/2/2ˆ1ˆˆ(1)/ppPuuppn17/2/2ˆ1ˆˆ(1)/ppPuuppnp的置信水平1-α的近似置信区间为/2/2ˆˆˆˆˆˆ(1)/(1)/puppnppuppn/2/2ˆˆˆ(1)/不等式等价于ppuuppn12/2/2ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,](1)/,(1)/pppuppnpuppn18例某地区随机调查了七岁以下的儿童2452名,发现患有肥胖病的56名,试以98%的置信度给出该地区全部七岁以下儿童的肥胖发病率的区间估计?19解:0.01ˆ2452,56/24520.023/20.01,2.33npXu98%p的近似置信区间为[0.023-2.330.003,0.023+2.330.003]即[0.016,0.03]20例设自一大批产品的100件样品中,得一级品60件,求这批产品的一级品率的95%置信区间?解:0.025ˆ100,0.6/20.025,1.96npXu95%p的近似置信区间为[0.6-1.960.049,0.6+1.960.049]即[0.504,0.696].因此,在这批产品中以95%的可靠度估计一级品率在50.4%至69.6%之间.21例在某电视节目收视率的调查中，随机抽取了500户家庭，其中有200户家庭收看该电视节目.试求收视率p的95％置信区间.解：收视率p是两点分布的参数0.025ˆ500,200/5000.4/20.025,1.96npXu95%[p的近似置信区间为0.36,0.44]221,~(),：令可解知即nniniSXSPn2Poisson分布参数的置信区间12,,,(),0设是抽自总体的样本，且～其中未知nXXXXXP1-求参数的置信区间()(),0,1,2,!nknenPSkkk当充分大时，由中心极限定理可知n(0,1)当LnSnNnn23,(0,1).当充分大时随机变量的极限分布是，与未知参数无关nSnnTnN.于是取作为枢轴变量T当充分大时有n/2/21当nSnPuunn24/2/21nSnPuun2222/2(2)0nnnnSnupS/2/2解不等式nSnuun2222/2/2/2/212/2/22222ˆˆ[,],2424nnnnSuuSSuuSuunnnnnnnn1-参数的置信系数近似为的置信区间为25实用中可采用下列更简单的方法：ˆ(0,1)ˆ/LNnˆ(0,1).ˆ/由于的极限分布为，与未知参数无关TNnˆ.ˆ/因此取作为枢轴变量Tn当充分大时有n/2/2ˆ1ˆ/Puun26/2/2ˆ1ˆ/Puun/2/2ˆˆˆˆ//unun/2/2ˆˆ/不等式等价于uun12/2/2ˆˆˆˆˆˆ[,]/,/unun1-参数的置信系数近似为的置信区间为ˆ.其中nSn27作业：158页4.26,4.27