高等数学同济第七版上册课后习题答案

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1-11.求下列函数的自然定义域：1(2)y;(1)y3x2;1x211(3)y1x2;(4);yx4x2(5)ysinx;(6)ytan(x1);(7)yarcsin(x3);1(8)y3xarctan;(9)yln(x1);x1(10)yeex.解：22(1)3x20x，即定义域为,33(2)1x20x1,查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题即定义域为(,1)(1,1)(1,)(3)x0且1x20x0且x1即定义域为1,00,1(4)4x20x2即定义域为(2,2)(5)x0,即定义域为0,(6)x1k(kZ),21即定义域为xxR且x(k)1,kZ2(7)x312x4,即定义域为2,4(8)3x0且x0，即定义域为(,0)0,3(9)x10x1即定义域为(1,)(10)x0,即定义域为(,0)(0,)2.下列各题中，函数f()x和g()x是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2,g(x)2lgx(2)f(x)x,g(x)x2(3)f(x)3(x4x3),g(x)x3x1(4)f(x)1,g(x)sec2xtan2x解：（1）不同，因为定义域不同2x,x0（2）不同，因为对应法则不同，g()xxx,x0（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同sinx,x33.设()x0,x3求(),(),(),(2),并指出函数y()x的图形64412()sin,()sin,662442解：2()sin(),(2)0,442y()x的图形如图11所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：x(1)y;1x(2)yxlnx,(0,)证明：x1(1)yf(x)1,(,1)1x1x设x1x21，因为x2x1f(x2)f(x1)0(1x1)(1x2)所以f(x2)f(x1),即f()x在(,1)内单调增加(2)yf()xxln,(0,x)设0x1x2，因为x2f(x2)f(x1)x2x1ln0x1所以f()()x2fx1即f()x在(0,)内单调增加5.设f()x为定义在(,)ll内的奇函数，若f()x在(0,l)内单调增加，证明f()x在(l,0)内也单调增加证明：设lx1x20，则0x2x1l由f()x是奇函数，得f()()()()x2fx1fx2fx1因为f()x在(0,l)内单调增加，所以f(x1)f(x2)0即f()x在(l,0)内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)ll上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：(1)设f1(x),f2(x)均为偶数，则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)令F()()()xf1xf2x于是Fx()()()()()()fxfx12fxfxFx12故F()x为偶函数设g1(x),g2(x)均为奇函数，则g1(x)g1(x),g2(x)g2(x)令G()()()xg1xg2x于是Gxgxgx()()()()()()12gx1gx2Gx故G()x为奇函数(2)设f1(x),f2(x)均为偶数，则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)令F()()()xf1xf2x于是Fx()()()()()()fxf12xfxfxFx12故F()x为偶函数设g1(x),g2(x)均为奇函数，则g1(x)g1(x),g2(x)g2(x)令G()()()xg1xg2x于是Gx()()()()()()()()gxg12xgx1gx2gxgx12Gx故G()x为偶函数设f()x为偶函数，g()x为奇函数，则f(x)f(x),g(x)g(x)令H()()()xfxgxH()()()xfxgx于是f()()()()()xgxfxgxHx故H()x为奇函数7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(1)yx2(1x2);(2)y3x2x3;1x2(3)y;(4)yx(x1)(x1);1x2axax(5)ysinxcosx1;(6)y2解：2222（1）因为f()()1()xxxx(1x)f()x所以f()x为偶函数（2）因为f(x)3(x)2(x)33x2x3f(x)f(x),且f()()xfx所以f()x既非偶函数又非奇函数1(x)21x2（3）因为f()()xfx1(x)21x2所以f()x为偶函数（4）因为f(x)x(x1)(x1)f(x)所以f()x奇函数（5）因为f(x)sin(x)cos(x)1sinxcosx1,f()()xfx且f()()xfx所以f()x既非偶函数又非奇函数（6）axax因为f()()xfx2所以f()x为偶函数8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期(1)ycos(x2);(2)ycos4x;(3)y1sinx;(4)yxcosx;(5)ysin2x解：（1）是周期函数，周期l2（2）是周期函数，周期l2（3）是周期函数，周期l2（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l9.求下列函数的反函数1x(2)y;(1)y3x1;1xaxb(3)y(adbc0);(4)y2sin3x(x);cxd66(5)y1ln(x2);2x(6)y2x1解：（1）由y3x1解得xy31，既反函数为yx311x1y1x（2）由y解得x，既反函数为y1x1y1xaxbdybdxb（3）由y解得x，既反函数为ycxdcyacxa1y（4）由y2sin3x(x)解得xarcsin，66321x既反函数为yarcsin32y（5）由y1ln(x2)解得xlog，1yx既反函数为ylog1x2xy（6）由y解得xlog，2x121yx既反函数为ylog21x10.设函数f()x在数集X上有定义，试证：函数f()x在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界解：设f()x在X上有界，既存在M0，使得f(),,xMxX故Mf(),,xMxX既f()xX上有上界M，下界M反之，设f()x在X上有上界K1，下界K2，即K2f(),xK1xX取，则有MKKmax1,2f(),xMxX即f()x在X上有界11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1)yu2,usinx,x,x;1623(2)ysinu,u2x,x,x;18242(3)yu,u1x,x11,x22;u2(4)ye,ux,x10,x21;2x(5)yu,ue,x11,x21解：13(1)ysin2x,y,y14242(2)ysin2x,y,y11222(3)y1x,y12,y25x2(4)ye,y11,y2e2x22(5)ye,y1e,y2e12.设的定义域D0,1，求下列各函数的定义域：(1)f(x2);(2)f(sinx)(3)f(xa)(a0);(4)f(xa)f(xa)(a0)解：(1)0x21x1,1(2)0sinx1x2n,(2n1),nZ(3)0xa1xa,1a0xa11(4)当0a时，xa,1a；0xa121当a时定义域为213.设1,x1f(x)0,x1,g(x)ex1,x1求fg()x和gf()x，并作出这两个函数的图形解：1,x0fg(x)f(ex)0,x01,x0e,x1gf(x)ef()x1,x11e,x1fg()x与gf()x的图形依次如图12，图13所示14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图1-4）.当过水断面ABCD的面积为定值S0时，求湿周L()LABBCCD与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域解：hABCDsin401又ShBC(BC2cot40h)02S得BC0cot40hhS2cos40所以L0hhsin40S而h0且0cot40h0，h因此湿周函数的定义域为(0,S0tan40)15.设xOy平面上有正方形D(x,y)0x1,0y1及直线l:xyt(t0)若S()t 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示正方形D位于直线左下方部分的面积，试求S()t与t之间的函数关系解：1当0t1时，S()tt2211当1t2时，S(t)1(2t)2t22t122当t2时，S()t11t2,0t1212故t2t1,1t221,t216.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求（1）90F的等价摄氏温度和5C的等价华氏温度；（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解：设FmCb,其中m,b均为常数因为F32相当于CF0,212相当于C100，21232所以b32,m1.81005故FC1.832或CF(32)95(1)FCF90,(32)32.29CF5,1.8(5)3223(2)设温度值t符合题意，则有t1.8t2,t40即华氏40恰好也是摄氏4017.已知RtABC中，直角边AC，BC的长度分别为20，15，动点P从C出发，沿三角形边界按CBA方向移动；动点Q从C出发，沿三角边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动的距离为x，CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系.解：因为AC20,BC15,所以,AB20215225由202152025可知，点PQ,在斜边AB上相遇令x2x152025得x20，即当x20时，点PQ,相遇，因此所求函数的定义域为(0,20)（1）当0x10时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-5）由CPx,CQ2x，得yx2（2）当10x15时点P在CB上点Q在AB上（图1-6）CPx,AQ2x20设点Q到BC的距离为h，则hBQ452x,2025254得h(452x)，故5124yxhx(452x)x218x255（3）当15x20时点PQ,都在AB上（图1-7）BPx15,AQ2x20,PQ603x设点C到AB的距离为h，则1520h12251得yPQh18x3602综上可得x2,0x104x218x,10x15518x360,15x2018.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口解：0由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.10，于是在2008年后的第t年，世界人口将是p(t)6708.2(1.011)t（百万）2020年对应t12，于是p(12)6708.2(1.011)127649.3（百万）亿即推测2020年的世界人口约为76亿