函数与导数：极值点不可求与构造大
题
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精做十五精选大题[2019·厦门三中]已知函数，．（1）讨论的极值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【
答案
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】（1）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；（2）．【解析】（1）依题意，①当时，，在上单调递增，无极值；②当时，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，无极小值．综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值．（2）原不等式可化为，记，只需，可得．①当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去．②当时，，（i）当时，因为，所以，所以，所以在上单调递减，故当时，，符合题意．（ii）当时，记，所以，在上单调递减．又，，所以存在唯一，使得．当时，，从而，即在上单调递增，所以当时，，不符合要求，舍去．综上可得，．模拟精做1．[2019·黄山一模]已知函数，（为自然对数的底数）．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，不等式成立．2．[2019·榆林一模]已知函数．（1）设，求的最大值及相应的值；（2）对任意正数恒有，求的取值范围．3．[2019·张家口期末]已知函数．（1）若，使得恒成立，求的取值范围．（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：．答案与解析1．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，当时，，解得，又，，即曲线在点处的切线方程为．（2）证明：当时，得，要证明不等式成立，即证成立，即证成立，即证成立，令，，易知，，由，知在上单调递增，上单调递减，，所以成立，即原不等式成立．2．【答案】（1）当时，取得最大值；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，则，∵的定义域为，∴，①当时，；②当时，；③当时，，因此在上是增函数，在上是减函数，故当时，取得最大值．（2）由（1）可知，，不等式可化为①因为，所以（当且仅当取等号），设，则把①式可化为，即（对恒成立），令，此函数在上是增函数，所以的最小值为，于是，即．3．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）恒成立，即恒成立，令，，由于，则在单调递减，在单调递增，故，解得．（2）证明：因为为的中点，则，故，，故要证，即证，由于，即证．不妨假设，只需证明，即．设，构造函数，，则，则有，从而．7
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