沪科版数学八年级下册整册教学课件

沪科版数学八年级下册全册教学 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 （2021年春修订）第16章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式沪科版·八年级数学下册复习导入（2）3的算术平方根是_____.（3）有意义吗？为什么？（4）一个非负数a的算术平方根应表示为___________.（1）3的平方根是______.正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.平方根的性质：算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.填一填1.面积为3的正方形的边长为_____，面积为S的正方形的边长为_____.2.一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为____m.推进新课3.一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t=_____.思考分别表示什么意义？观察这些式子有什么共同特征？都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.根据你的理解，请写出二次根式的定义.把形如_____，用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.二次根号被开方数读作“根号a”二次根式表示非负数a的算术平方根，形如的式子叫做二次根式.它必须具备如下特点：1.含有二次根号“”（根指数为2）；2.被开方数必须是非负数.思考1.代数式是二次根式吗？答:代数式只有在条件a≥0的情况下，才属于二次根式！属于有特殊条件的代数式.2.是二次根式吗？答：符合条件(1)被开方数22为非负数;(2)含有二次根号，所以　是二次根式．3.代数式是二次根式吗？答:是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式.做一做下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：√√√√√××××当a＞0时,表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0；这就是说，（a≥0）是一个非负数.具有双重非负性.思考当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义.解：由3x-1≥0，得：当x≥时，在实数范围内有意义.练习当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？a≥1a≤0a≤5形如的式子叫做二次根式：2.a可以是数，也可以是式.3.形式上含有二次根号.5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根.4.a≥0，≥0归纳小结(双重非负性).随堂练习1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是.2.使有意义的x的取值范围是.3.下列各式中一定是二次根式的是()x≥-3B4.二次根式中，字母a的取值范围是()A.a＜0B.a≤0C.a≥0D.a＞0D5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)a≥-2;(2)a≤3;(3)a为任意实数；(4)a≥6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)x为任意实数；(2)x为任意实数；(3)x<2;(4)x≥-1且x≠1.课堂小结1.怎样的式子叫二次根式？形如的式子叫做二次根式.2.怎样判断一个式子是不是二次根式？a.含有二次根号“”（根指数为2）；b.被开方数必须是非负数.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？分母不为0被开方数大于等于0结合数轴，写出解集来课后作业1.完成教材习题16.1第3、6题，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家第2课时二次根式的性质沪科版·八年级数学下册复习导入口答1.什么叫二次根式？2.当a≥0时，叫什么？当a＜0时，有意义吗？我们知道二次根式中a≥0，那么二次根式还有哪些性质呢？推进新课观察1.由于是2的算数平方根，根据平方根的意义，应有.类似地，计算：50根据上式你能确定()²（a≥0）的化简结果吗？一般地，有2.，类似地，计算：又如，再计算：0.50-(-0.5)根据上式你能确定的化简结果吗？一般地，有思考1.从读法来看：根号a的平方根号下a的平方2.从运算顺序来看：先开方，后平方先平方，后开方思考3.从取值范围来看：a≥0a取任何实数4.从运算结果来看：=a=例1x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？解（1）要使有意义，必须x+3≥0.解这个不等式，得x≥-3.即当x≥-3时，在实数范围内有意义.例1x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？解（2）因为x为任何实数时都有x2≥0.所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义.练一练x取何值时，下列二次根式有意义？x≥1x≤0x为全体实数x＞0x≥0x≠0x≥-1且x≠2x＞0x为全体实数例2计算：解练一练化简：例3先化简再求值：，其中x=4.解当x=4时，︱x－π︱=︱4－π︱=4－π.∴当x=4时，.练一练先化简再求值：，其中x=-2.解当x=-2时，︱x-2︱=︱-2-2︱=-(-2-2)=4.∴当x=-2时，.梳理归纳（1）根号内字母的取值范围是如何求的？（2）二次根式的性质是如何应用的？随堂练习1.求下列二次根式中字母的取值范围：y为全体实数35-81-a55.a、b、c为三角形的三边长，化简：解：由三角形两边之和大于第三边得：a+b-c>0，a+c-b>0.=a+b-c+(a+c)-b=2a=2-x+3-2x+3x=5.课堂小结课后作业1.完成教材习题16.1第2、5题，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家16.2二次根式的运算1.二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法沪科版·八年级数学下册新课导入一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积.你列出的算式是什么？这个算式应怎样计算呢？＝推进新课观察计算下列各题，观察有何规律？2×5=100.5×10=5一般地，有因为当a≥0，b≥0时，又，ab的算术平方根只有一个，所以算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.注意a、b必须都是非负数！例1计算：解例1计算：解练一练计算：解一般地，由等式的对称性，反过来：做一做化简：解化简二次根式的 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 ：1.把被开方数分解因式（或因数）；2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式(a≥0)把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.练一练化简：解思考成立吗？为什么？非负数随堂练习3.若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形的面积是.4.下列各式正确的是()D5.化简或计算：解：解：课堂小结(a≥0，b≥0)二次根式的乘法计算：课后作业1.完成教材课后习题，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家第2课时二次根式的除法沪科版·八年级数学下册复习导入1.二次根式的两个基本性质:算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根之积.2.二次根式的乘法：3.如何化简二次根式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.思考二次根式的除法有没有类似的运算法则？试着举出一些例子推进新课思考计算下列各题，观察有何规律？一般地，有二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.当二次根式根号外因数不为1时，根据单项式除以单项式法则类比，可得例2计算：解类似地，把反过来，就得到商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.利用它可以进行二次根式的化简.把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化.还有其他解法吗？解做一做计算：思考观察上面各小题计算的最后结果：（1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？可以发现这些式子有如下两个特点：　　（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．　　我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．简记为：分母无根号，根号无分母.做一做下列根式中，哪些是最简二次根式？例3比较与的大小：解∵12＜18∴＜∴＜你还能想到哪些方法比较它们的大小？随堂练习1.如果等式成立，那么()A.x≥0B.x>3C.x≠3D.x≥3B2.下列各式中，是最简二次根式的是()C解：S△ABC=6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=，S△ABC=，求AB的长.ABC7.阅读理解与运用．(1)当x≥0,y≥0时,同理可得：(2)a,b均为非负数，且a≠b,化简课堂小结1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式.2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算.3.最简二次根式的概念　　　　被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4.如何化去分母中的根号，请举例说明．可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？　把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质．课后作业1.完成教材P10练习1、2、3、4，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家2.二次根式的加减沪科版·八年级数学下册复习导入二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.最简二次根式观察下列二次根式有什么共同特征：每组的二次根式的被开方数相同.推进新课思考下列根式又有什么共同特征？提示：化为最简后再来比较！经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.比一比计算下列各式.如何计算？我们把看作系数，每一项所含的二次根式相同()，计算过程就和合并同类项的方法一样.试一试计算：解与合并同类项类似，把被开方数相同的二次根式的项合并.二次根式加减法的一般过程：1.先将二次根式化成最简二次根式；2.再将被开方数相同的二次根式进行合并.例4计算：解二次根式加减法的步骤：一化二找三合并活动：探究二次根式的混合运算（1）（2）计算：思考（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．（1）（2）计算：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2.例5计算：解解例6计算：解随堂练习1.二次根式：中，能与合并的二次根式是()A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④C　2.计算的结果是()．　　　AA．B．C．D．3.计算：课堂小结谈一谈本节课自己的收获和感受？课后作业1.完成教材P12练习1、2、3、4，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家章末复习沪科版·八年级数学下册内容整理开平方二次根式概念与性质运算加减乘除知识回顾1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.2.最简二次根式满足条件：①被开方数不含；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.分母3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.4.二次根式的性质：(a≥0)(a<0)5.二次根式的运算：a.二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.b.二次根式的乘除：乘法：除法：c.二次根式的混合运算：先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.注意的几点：（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算律在实数范围内仍可使用.（2）二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.（3）判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.（4）二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分.（5）对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.随堂练习1.（1）使有意义的的取值范围是____________.（2）函数中，自变量的取值范围是__________.x≥2x≤3且x≠12.下列根式中属最简二次根式的是（）A3.计算：（1）________;（2）_________；344.化简：（1）________;________；（2）_________；365.计算:6.先化简，再求值：课堂小结谈一谈本节课自己的收获和感受？课后作业1.完成教材P15-17复习题，2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家第17章一元二次方程17.1一元二次方程沪科版·八年级数学下册新课导入问题某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜产量比2009年翻一番（即为200t）.要实现这一目标，2010和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？1新课探究设这个队2010~2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么1002009年2010年100100·x2011年100（1+x）100（1+x）·x根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得100（1+x）+100（1+x）·x=100（1+x）2=200即（1+x）2=2整理，得x2+2x–1=0问题在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.如图所示，要使花坛的总面积为570m2（图中长度单位：m），问小路的宽应是多少？2x2032设小路宽xm，则横向小路的面积是32xm2，纵向小路的面积是2×20xm2，两者重叠部分的面积是2x2m2.由于花坛的总面积是570m2，则32×20–（32x+2×20x）+2x2=570.整理，得x2–36x+35=0.有位同学列出的方程是(20–x)(32–2x)=570.你知道他是怎样思考的吗？x2032把6块地合在一起成为一个长方形，则长方形的长为（32–2x），宽为（20–x），列方程为(20–x)(32–2x)=570像x2+2x–1=0，x2–36x+35=0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式（又叫做标准形式）.其中ax2叫做二次项，a是二次项的系数；bx叫做一次项，b是一次项的系数；c叫做常数项.a，b，c是任意实数，且a≠0.练习下列方程中哪些是一元二次方程？x+2=5x–3x2=42x2–4=（x+2）2√√例把方程3x（x–1）=2（x–2）–4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解去括号，得3x2–3x=2x–4–4移项，合并同类项，得方程的一般形式：3x2–5x+8=0.它的二次项系数是3，一次项系数是–5，常数项是8.随堂演练1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，02.下列哪些数是方程x2+x–12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.C解：－4，3.3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81–5x；解：一般形式：3x2–6x+1=0二次项系数：3一次项系数：–6常数项：1解：一般形式：4x2+5x–81=0二次项系数：4一次项系数：5常数项：–814.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5–x)m.根据题意，得x(0.5–x)=0.06,整理，得50x2–25x+3=0.（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x–1)=10，整理，得x2–x–20=0.5.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（）A.x2+130x+1400=0B.x2+65x–350=0C.x2–130x–1400=0D.x2–65x–350=0B6.如果2是方程x2–c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中，22–c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2–4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为–2.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)a+b+c二次项系数一次项系数常数项一元二次方程概念一个未知数最高次是2整式方程课堂小结1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家17.2一元二次方程的解法沪科版·八年级数学下册第1课时直接开平方法、配方法新课导入试一试求x2=9中x的值.开平方，得x=±x=±3所以直接开平方就可求得方程x2=9的两个根：x1=3，x2=–3.练习直接开方解下列方程：x2=25x2–0.81=0x=±x1=5，x2=–5x2=0.81x=±x1=0.9，x2=–0.9新课探究当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根. 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 你认为应怎样解方程（x+3）2=5？由方程（x+3）2=5，可得想一想或练习直接开方解下列方程：3（x+1）2=482（x–2）2–4=0（x+1）2=16x+1=±4x1=3，x2=–5（x–2）2=2x–2=±x1=+2，x2=–+2总结当n>0时，方程（x+m）2=n的两根为x1=–m,x2=––m.当n=0时，方程（x+m）2=n的两根为x1=x2=–m.当n<0时，方程（x+m）2=n无实数根.思考怎样解上节问题1中得到的方程x2+2x–1=0？把常数项移到等号右边，得x2+2x=1.对等号左边配方，得x2+2x+1=1+1.即（x+1）2=2.直接开方，得x1=–1，x2=––1.因为两边加1，式子左边可以恰好凑成完全平方式.为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方公式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法.“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法.例1用配方法解下列方程：（1）x2–4x–1=0；（2）2x2–3x–1=0.解（1）移项，得x2–4x=1.配方，得x2–2×2x+___=1+___.即（x–___）2=_____.开平方，得_____________________.所以原方程的根是x1=_______，x2=_________.4425x–2=±解（2）先把x2的系数变为1，即把原方程两边同除以2，得移项，得.配方，得.开平方，得.所以原方程的根是x1=，x2=.练习填空（1）x2–8x+（）2=（x–）2；（2）y2+5y+（）2=（y+）2；（3）x2–x+（）2=（x–）2；（4）x2+px+（）2=（x+）2.52445254p2p25254交流根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般一元二次方程应有的步骤.其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定？①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.1.用配方法解方程–x2+6x+7=0时，配方后得的方程为（）A.（x+3）2=16B.（x–3）2=16C.（x+3）2=2D.（x–3）2=22.填空.（1）4x2+4x+1=（2）x2–30x+225=随堂演练（2x+1）2B（x–15）23.用配方法解下列方程.（1）x2+10x+9=0；（2）x2+4x–9=2x–11.解：移项,x2+10x=–9配方,x2+10x+25=16（x+5）2=16x+5=±4方程的两个根为x1=–1，x2=–9解：移项,x2+2x=–2配方,x2+2x+1=–1（x+1）2=–1方程没有实数根.4.当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值.解：对原式进行配方，则原式=（a+1）2+17∵（a+1）2≥0,∴当a=–1时，原式有最小值为17.课堂小结配方法解一元二次方程配方法直接开平方法ax2+bx+c=0(a≠0）(x+m)2=n(n≥0)1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家沪科版·八年级数学下册第2课时公式法新课导入探究如何解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）那么我们能否用配方法得出它的解呢？新课探究因为a≠0，把方程两边都除以a，得移项，得配方，得即*因为a≠0，4a2＞0.当b2–4ac≥0时，将方程两边开平方，得*于是得这就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且b2–4ac≥0）的求根公式.要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c的值，然后，把a，b，c的值代入求根公式，就可以得出方程的根.这种解法叫做公式法.练习把下列方程化成ax2+bx+c=0的形式，并写出其中a，b，c的值：（1）x2–5x=2；（2）3x2–1=2xx2–5x–2=0a=1，b=–5，c=–23x2–2x–1=0a=3，b=–2，c=–1（3）2x（x–1）=x+4（4）（x+1）2=3x–22x2–3x–4=0a=2，b=–3，c=–4x2–x+3=0a=1，b=–1，c=3例2用公式法解下列方程：（1）2x2+7x–4=0；（2）x2+3=.解（1）a=2，b=7，c=–4，b2–4ac=72–4×2×（–4）=81＞0.代入求根公式，得∴x1=，x2=–4.（2）将原方程化为标准形式，得x2–+3=0.a=1，b=，c=3，b2–4ac=–4×1×3=0.代入求根公式，得∴x1=x2=.例3解方程：x2+x–1=0（精确到0.001）解a=1，b=1，c=–1，代入求根公式，得用计算器求得≈2.2361.∴x1≈0.618，x2≈–1.618.用公式法解一元二次方程的一般步骤：把方程化为一般形式，写出a，b，c的值.求出b2–4ac的值.代入求根公式.写出方程的解.随堂演练1.利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c的值分别是（）CA.5，，6B.5，6，C.5，–6，D.5，–6，2.用公式法解下列方程：（1）x2+x–12=0；（2）x2+4x+8=2x+11；解：a=1，b=1，c=-12b2–4ac=12–4×1×(–12)=49>0解：化简，得x2+2x–3=0a=1，b=2，c=–3b2–4ac=22–4×1×(–3)=16>03.若方程x2–9x+18=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长为（）A.12B.15C.12或15D.无法确定B4.在正数范围内有一种运算“*”，其运算规则为a*b=a+b2.根据这个规则，方程x*（x+1）=5的根为（）A.x=5B.x=1C.x=4D.x1=–4，x2=1B5.已知关于x的一元二次方程mx2–（3m–1）x+2m–1=0，其根的判别式b2–4ac的值为1，求m的值及方程的根.解b2–4ac=（3m–1）2–4×m×（2m–1）=m2–2m+1∵m2–2m+1=1∴m1=2，m2=0（舍去）原方程可化为2x2–5x+3=0a=2，b=–5，c=3，代入求根公式，得∴x1=1，x2=.课堂小结ax2+bx+c=0（a≠0且b2–4ac≥0）1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家沪科版·八年级数学下册第3课时因式分解法新课导入前面我们用开平方法解方程x2=9，你还能用其他方法解这个方程吗？想一想新课探究将方程变形为x2–9=0.再将方程左边分解因式，得（x–3）（x+3）=0.如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.因此，有x–3=0或x+3=0.解这两个一次方程，得x1=3，x2=–3.这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.这里用到了什么样的数学思想方法？化归方法交流1.解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.（1）x2+3x=0；（2）x2=xx（x+3）=0x1=0，x2=–3x（x–1）=0x1=0，x2=12.在解上面的方程（2）时，如果像下面这样做：两边同时除以x，得x=1.故方程的根为x=1.这样对吗？为什么？不对，当x等于0时不能除以x.3.总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：ax2+c=0（a，c异号），ax2+bx=0（a≠0）的解法.ax2+c=0（a，c异号）把左边分解因式ax2+bx=0（a≠0）把左边分解因式x（ax+b）=0.x1=0，x2=–ba例4解方程：x2–5x+6=0.解把方程左边分解因式，得（x–2）（x–3）=0.因此，有x–2=0或x–3=0.解方程，得x1=2，x2=3.例5解方程：（x+4）（x–1）=6.解将原方化为标准形式，得x2+3x–10=0把方程左边分解因式，得（x+5）（x–2）=0.因此，有x+5=0或x–2=0.解方程，得x1=–5，x2=2.分解因式的方法有哪些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m（a+b+c）.a2–b2=(a+b)(a–b)a2+2ab+b2=(a+b)2.x2+（a+b）x+ab=(x+a)(x+b).11ab用因式分解法解一元二次方程的步骤把方程变形为x2+px+q=0的形式把方程变形为（x–x1）（x–x2）=0的形式把方程降次为两个一次方程x–x1=0或x–x2=0的形式解两个一次方程，求出方程的根练习用因式分解法解下列方程：（1）3（x+1）=x（x+1）解原方程可化为（x–3）（x+1）=0.因此，有x–3=0或x+1=0.解方程，得x1=3，x2=–1.（2）t（t+3）=28解原方程可化为（t+7）（t–4）=0.因此，有t+7=0或t–4=0.解方程，得t1=–7，t2=4.随堂演练1.一元二次方程x（x–2）=2–x的根是（）A.–1B.2C.1和2D.–1和2D2.用适当方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0;（2）x2+5x+7=3x+11；解：化简，得4x2+12x+9-25=0x2+3x-4=0分解因式，得(x-1)(x+4)=0x1=1,x2=-4解：化简，得x2+2x=4x2+2x+1=5(x+1)2=53.若一个三角形的三边长均满足方程x2–7x+12=0，求此三角形的周长.解：x2–7x+12=0，则（x–3）（x–4）=0.∴x1=3，x2=4.∵三角形三边长均为方程的根.①三角形三边长为4、3、3，周长为10；②三角形三边长为4、4、3，周长为11；③三角形三边长为4、4、4，周长为12；④三角形三边长为3、3、3，周长为9.4.解关于x的方程x2+2ax–b2+a2=0.解原方程可化为（x+a）2–b2=0.左边分解因式，得（x+a+b）（x+a–b）=0.因此，有x+a+b=0或x+a–b=0.解方程，得x1=–a–b，x2=–a+b.5.用因式分解法解关于x的一元二次方程x2–kx–16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以是________________________.0，6，–6，15，–15课堂小结解一元二次方程直接开平方法配方法公式法因式分解法1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家17.4一元二次方程的根与系数的关系沪科版·八年级数学下册新课导入探究你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1+x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：新课探究方程x1x2x1+x2x1x2x2+2x–15=03x2–4x+1=02x2–5x+1=0–53–2–1513143135212猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1、x2，那么x1+x2=_____，x1x2=_____.你能证你的猜想吗？我们知道，一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为所以x1+x2=+==x1x2=·==如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.韦达定理当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2，这时韦达定理应是：x1+x2=–p，x1x2=q.练习不解方程，求下列方程两根的和与积.x2–3x=15；5x2–1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=–15解：化简得x2–x–1=0x1+x2=1x1x2=–1例1已知关于x的方程2x2+kx–4=0的一个根是–4，求它的另一个根及k的值.解设方程的另一个根是x2，则解方程组，得答：方程的另一个根为，k的值为7.想一想本题还有别的解法吗？解将x=–4代入方程，得2×（–4）2+（–4）k–4=0.解得k=7.将k=7代入方程，得2x2+7x–4=0，解得例2方程2x2–3x+1=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1–x2的值.解由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=.（x1–x2）2=（x1+x2）2–4x1x2∴x1–x2=引申：若ax2bxc0（a00）（1）若两根互为相反数，则b0；（2）若两根互为倒数，则ac；（3）若一根为0，则c0；（4）若一根为1，则abc0；（5）若一根为1，则abc0；（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.随堂演练1.关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1–，则p=，q=.2.已知方程5x2+kx–6=0的一根是2，则另一根是，k＝.–2–1–73.求下列方程的两根x1，x2的和与积：（1）x2–3x+2=0；（2）x2+x=5x+6解：x1+x2=3x1x2=2解：化简得x2–4x–6=0x1+x2=4x1x2=–64.x1，x2是方程x2–5x–7=0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）；（2）.解：∵x1，x2是方程x2–5x–7=0的两根.则x1+x2=5，x1x2=–7.5.已知关于x的方程x2–（2m+3）x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.解：设方程x2–（2m+3）x+m2=0的两根为x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=–1.当m=3时，原方程为x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当m=–1时，原方程为x2–x+1=0，b2–4ac=–3<0.方程无实数根，此m值舍去.∴m的值为3.课堂小结如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.韦达定理1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家17.3一元二次方程根的判别式沪科版·八年级数学下册新课导入交流在前面的学习中，你是否注意到：方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？新课探究通过配方得到了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式因为a≠0，所以（1）当b2–4ac＞0时，是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：（2）当b2–4ac=0时，，因此，方程有两个相等的实数根：（3）当b2–4ac<0时，在实数范围内无意义，因此方程没有实数根.我们把b2–4ac叫做一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2–4ac.一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.例不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2–3x–2=0；（2）25y2+4=20y；（3）2x2+x+1=0.解（1）因为Δ=（–3）2–4×5×（–2）=49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可以变形为25y2–20y+4=0.因为Δ=（–20）2–4×25×4=0，原方程有两个相等的实数根.（3）因为Δ=（）2–4×2×1=–5＜0，所以原方程没有实数根.练习不解方程，判断下列方程根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2–4ac=52–4×1×6=1>0方程有两个不等的实数根Δ=b2–4ac=122–4×9×4=0方程有两个相等的实数根2x2+4x–3=2x–4；x（x+4）=8x+12.化简得2x2+2x+1=0Δ=b2–4ac=22–4×2×1=–4<0方程无实数根化简得x2–4x–12=0Δ=b2–4ac=（–4）2–4×（–12）=64>0方程有两个不等的实数根随堂演练1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，则b2–4ac满足的条件是（）A.b2–4ac=0B.b2–4ac＞0C.b2–4ac＜0D.b2–4ac≥0D2.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解B3.无论p取何值，方程(x–3)(x–2)–p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2–5x+6–p2=0,∴b2–4ac=(–5)2–4×1×(6–p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0∴无论p取何值，方程(x–3)(x–2)–p2=0总有两个不等的实数根.4.已知2mx2+8m（x+1）=–x，当m为何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.解：原方程可化为2mx2+(8m+1)x+8m=0因为Δ=b2–4ac=(8m+1)2–4×2m×8m=16m+1（1）当Δ=16m+1＞0，即m＞–，且m≠0时，方程有两个不等的实数根；116（2）当Δ=16m+1=0，即m=–时，方程有两个相等的实数根；116（3）当Δ=16m+1＜0，即m＜–时，方程没有实数根.1165.解方程ax2–5x+5=0解当a=0时，x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程，Δ=25–20a.当Δ＞0，即a＜时，x=；当Δ=0，即a=时，x=2；当Δ＞0，即a＜时，方程无解.545454课堂小结根的判别式Δ=b2–4ac当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家17.5一元二次方程的应用沪科版·八年级数学下册第1课时平均变化率与利润问题新课导入列方程解应用题的基本步骤有哪些？审、设、列、解、验、答新课探究例117.1节中的问题2.解设小路的宽是xm.根据题意，得32×20–（32x+2×20x）+2x2=570.解得x1=1，x2=35.结合题意，x=35不可能，因此，只能取x=1.答：小路的宽应为1m.例2原来每盒27元的一种药品（如图），经两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1%）解设该种药品两次平均降价率是x.根据题意，得27(1–x)2=9.解得x1≈1.58，x2≈0.42.x1≈1.58不合题意，所以x≈0.42.答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率是多少？解：设这种药品每次降价的百分率为x.由题意125(1–x)2=80.解得：x1=0.2，x2=1.8（舍去）答：这种药品每次降价的百分率为20%.练习例3如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工出花生油50kg）.现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的.求新品种花生产量的增长率.分析：设新品种花生产量的增长率为x，则新品种花生出油率的增长率为，根据“新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率=1980”可列出方程.解设新品种花生产量的增长率为x，根据题意，得3000（1+x）·[50%（1+x）]=1980.解方程，得x1=0.2，x2=–3.2（不合题意，舍去）答：新品种花生产量的增长率为20%.（1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解；（2）若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是A，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”，降低取“－”.小结随堂演练1.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（）A.500（1+2x）=720B.500（1+x）2=720C.500（1+x2）=720D.720（1+x）2=500B2.受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（）A.10%B.20%C.19%D.25%A3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？（2）第三轮被传染的人数为64×7=448（人）.答：第三轮将有448人被传染.解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人.依题意1+x+（1+x）x=64，即(x+1)2=64，解得x1=7，x2=–9（舍）.答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.4.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意1+x+（1+x）x=81，（1+x）2=81，x+1=9或x+1=–9.解得x=8或x=–10（舍去）三轮感染后被感染的电脑台数为（1+x）2+（1+x）2x=（1+x）3=（1+8）3=729>700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台.5.商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？解：设平均每月降价的百分率为x.依题意，（1–x）2=1–36%解得x1=0.2，x2=1.8（舍去）答：平均每月降价20%.6.某新华 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？解：设平均每月的增长率为x.依题意，32+32（1+x）+32（1+x）2=122.解得x1=0.25，x2=–3.25（舍去）.二月份发行图书32×（1+0.25）=40（万册）三月份发行图书32×（1+0.25）2=50（万册）答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.课堂小结增长(下降)率问题增长率问题下降率问题基数为a,平均增长/下降率为x第一次增长第二次增长第n次增长第一次下降第二次下降第n次下降a(1+x)a(1+x)2a(1+x)na(1－x)a(1－x)2a(1－x)na(1±x)n1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家沪科版·八年级数学下册第2课时面积问题与其他问题新课导入1.怎样解分式方程：解:(x-2)+4x-2(x+2)=x2-4x2-3x+2=0(x-2)(x-1)=0x=1或x=2怎样进行检验？经检验:x=1是原方程的根，x=2是增根.分式方程解完后一定要检验.(舍去)新课探究例4正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm，容积为2880cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？解设原金属片的边长为xcm，则方盒的底边长是（x–40）cm.根据题意，得20(x–40)2=2880.解方程得x1=52，x2=28.x2不符合题意，所以x=52.答：原金属片的边长为52cm.xx–402020例5一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少？分析：设原来这组学生的人数是x人，则把题中信息理成下表：总费用/元人数/人每人费用/元原来120现在120x120xx+2120x+2本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用–加人后该组学生每人分摊的费用=3元.解设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是元.根据等量关系得120x120x+2方程两边同乘以x（x+2），整理，得x2+2x–80=0.解这个方程，得x1=–10（不合题意，舍去），x2=8.答：原来这组学生是8人.随堂演练1.在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边框宽？解：设长方形框的边框宽为xcm.依题意得，(30–2x)(20–2x)=600–400.整理，得x2–25x+100=0,解得x1=5,x2=20（舍去）.∴x=5.答：这个长方形框的边框宽为5cm.2.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.解：（1）设其中一个小正方形的边长为xcm，则另一个小正方形的边长为（10–x）cm.依题意x2+(10–x)2=58，解得x1=3，x2=7.当x=3时，小正方形周长为12cm；当x=7时，小正方形周长为28cm.∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.（2）对.两个正方形的面积之和为：x2+(10–x)2=2x2–20x+100=2（x2–10x+25）+50=2(x–5)2+50∵无论x取何值，2(x–5)2总是不小于0的.∴2(x–5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2.小峰的说法是对的.3.如图，要 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？③④①②解：设横彩条的宽度为3xcm.则竖彩条的宽度为2xcm.根据题意，得30×20×=30×20–（30–4x）（20–6x）.整理，得12x2–130x+75=0.解得x1=,x2=.∵30–4x>0且20–6x>0.∴x<.∴x=舍去.∴x=≈0.6.∴3x≈1.8,2x≈1.2.答：横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm.课堂小结分式方程解题步骤：（1）将分式方程通过去分母转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定要检验；（3）要根据实际情况将不符合实际的解舍去.1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.课后作业谢谢大家章末复习沪科版·八年级数学下册知识结构一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)abc二次项系数一次项系数常数项一元二次方程概念一个未知数最高次是2整式方程根根的判别式Δ=b2-4acΔ>0,方程有两个不等的实数根Δ=0,方程有两个相等的实数根Δ<0,方程无实数根根与系数的关系解法因式分解法：配方法：公式法：若A·B=0，则A=0或B=0形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解应用列一元二次方程解实际问题的步骤:审设列解验答几种常见类型传播问题增长率问题图形面积问题单(双)循环问题方案设计问题数字问题知识梳理像x2+2x–1=0，x2–36x+35=0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.ax2+bx+c=0（a≠0）一元二次方程的概念一般形式一元二次方程的解法像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方公式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法.（x+m）2=n总结当n>0时，方程（x+m）2=n的两根为x1=–m,x2=––m.当n=0时，方程（x+m）2=n的两根为x1=x2=–m.当n<0时，方程（x+m）2=n无实数根.要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c的值，然后，把a，b，c的值代入求根公式，就可以得出方程的根.这种解法叫做公式法.这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.分解因式的方法有哪些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m（a+b+c）.a2–b2=(a+b)(a–b)a2+2ab+b2=（a+b）2.x2+（a+b）x+ab=(x+a)(x+b).11ab我们把b2–4ac叫做一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2–4ac.一元二次方程根的判别式一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.韦达定理一元二次方程根与系数的关系随堂演练1.方程（2x+1）（x–3）=x2+1化成一般形式为，二次项系数、一次项系数和常数项分别是.2.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）A.x2–2x=5B.2x2–4x=5C.x2+4x=5D.x2+2x=5x2–5x–4=01，–5，–4C3.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）A.12人B.18人C.9人D.10人C4.某超市一月份的营业额为200万元，一、二、三月份的总营业额为1000万元，设平均每月营业额的增长率为x，则由题意列方程为（）A.200+200×2x=1000B.200（1+x）2=1000C.200+200×3x=1000D.200［1+（1+x）+（1+x）2］=1000Dx2–2x=0；x2–2x+2=0.解：分解因式得：x（x–2）=0x=0或x–2=0x1=0，x2=2解：x2–2x+1=–1（x–1）2=–1方程无解5.解下列方程：6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?解：设销售单价为x元.则月销售量为［500–10（x–50）］kg.由题意可得（x–40）［500–10（x–50）］=8000，解得x1=60,x2=80，又40［500–10（x–50）］≤10000.x≥75.∴x=60<75（舍去）答：销售单价应为80元.7.一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.解：设十位数字是x，则个位数字是x+3，