(完整版)重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

共6页第PAGE\*MERGEFORMAT#页?复变函数与积分变换?期末试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （A）．填空题（每小题3分，共计15分）1．12i3的幅角是（)；2.Ln(1i）的主值是）；3.f(z)11z2，f(5)(0)(）；4．zsinz的(）极点；5．f(z)1z，z）；Res[f(z),选择题每小题3分，共计15分）1．解析函数f（z）u(x,y)iv（x,y）的导函数为（）；A)f(z)uxiuy；（B）f(z)uxiuy；C)f(z)uxivy；（D）f(z)uyivx.2．C是正向圆周z3，如果函数f（z）)，则f(z)dz0．CA)z32；B)3(zz21)；C)3(z12)；(D)32.(z2)2(z2)2n3．如果级数cnz在z2点收敛，则级数在n1（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点一定发散．４．下列结论正确的是（）（A）如果函数f（z）在z0点可导，则f（z）在z0点一定解析；(B)如果f(z)在C所围成的区域内解析，则f(z)dz0C(C)如果f(z)dz0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；C(D)函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是()．1(A)为sin的可去奇点；(B)为sinz的本性奇点；z1为1的孤立奇点sinz1(C)为11的孤立奇点;(D)sinz按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)1)设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函数，求a,b,c,d.2)．计算Cz(z1)2dz其中C是正向圆周：z2；3）计算15z3(1z2)2(2z4)3dz4)函数f(z)(sinz)3如果有极点，请指出它的级.z(z1)(z2)(z3)在扩充复平面上有什么类型的奇点？，四、(本题14分)将函数f(z)z2（z1)在以下区域内展开成罗朗级数；1）0z11，（2）0z1，（3）1z得分五．(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题y(x)5y(x)4y(x)exy(0)y(0)1六、(本题6分)求f(t)et(0)的傅立叶变换，并由此证明：cost22?复变函数与积分变换?期末 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 (A)答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一．填空题(每小题3分，共计15分)1．1i3的幅角是(2k,k0,1,2)；2.Ln(1i)的主值是23131(12ln234i)；3.f(z)1z2，f(5)(0)(0)，4．z0是zsinz1z4的(一级)极点；5．f(z)z，Res[f(z),](-1)；二．选择题(每题3分，共15分)15BDCBD三．按要求完成下列各题(每小题10分，共40分)2222(1)．设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函数，求a,b,c,d.解：因为f(z)解析，由C-R条件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。ze(2)．计算C2dz其中C是正向圆周：C(z1)z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程z因为函数f(z)e2在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z2(z1)2z1212为圆心画互不相交互不含的小圆c1,c2且位于c内2dzC(z1)2zez2i()zze(z1)2dzC1zz1z2i(zez1)2z0C22i(z1)2dz无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。3)．15z3(1z2)2(2z4)3dz解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z3内，由留数定理z3(115z2)z2(2z4)3dz2iRes[f(z),]5分)11f(1)12zz112iRes[f()2]zz(1z)15zz12)2(2z8分)(1112(1)4)3z2z11f(1)12zz有唯一的孤立奇点z0,11Res[f()2,0]zzlizm011zf(1)12zz1lizm0(1z2)2(2z41)315zz3(1z2)2(2z4)3dz2i10分)4)函数f(z)z(z21)(z2)3(z(sinz)3(z23)2在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解232f(z)z(z21)(z2)33(z3)2的奇点为zk,k0,1,2,3,(sinz)zk,k0,1,2,3,为(sinz)z(1z2)2(2z41)30的三级零点，z0，z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，z3为f(z)的一级极点，z2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数f（z）1z2(z1）在以下区域内展开成罗朗级数；1）z11，2)0z1，(3)1z解：（1）当011f(z)1z2(z1)(z11)[(z11)]1]而[(z11)(1)n(z1)n]2）当0(n0f(z)f(z)3）当11)nn(z(1)nn0z2(z1)n2z0f(z)f(z)每步可以酌情给分。1)n11n21n(z1)n2(1z)12zn101z2(z1)1(11z)z(1z)nn0z1n30z14五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：y(x)5y(x)y(0)1y(0)14y(x)ex解：对y（x）的Laplace变换记做L（s），依据Laplace变换性质有整理得11L(s)(s1)(s1)(s4)s1111110(s1)6(s1)15(s4)s115110(s1)6(s1)15(s4)2s2L(s)s15(sL(s)1)4L(s)1s15分）7分）10分）六、（6分）求f（t）et（0）的傅立叶变换，并由此证明：cost2d解：F()eitetdt(0)3分1x5x14xy(x)eee10615F()eitetdt0iteetdt(0)0e(i)tdte(0i)tdt(0)e(i)t0e(i)t(0)ii0F()1i1i222(0)4分1f(t)21eitF()d(0)-5分2eit222d(0)2(costisint)d(0)cost2dsint2d0)共6页第PAGE\*MERGEFORMAT#页f(t)cost022d0)，cost2d2e?复变函数与积分变换?期末试题（B）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．12i的幅角是（）；2.Ln（i）的主值是（）；3.a=(），222f(z)x22xyy2i(ax22xyy2)在复平面内处处解zsinz）极点；5．1f(z)，z析．4．z0是3的（zRes[f(z),](）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数f(z)u(x,y)iv（x,y）的导函数为（）(A)f(z)uyivx；(B)f(z)uxiuy；(C)f(z)uxivy；（D）f(z)uxiuy.2．C是正向圆周z2，如果函数f（z）（），则f（z）dz0．C（A）3；（B）3z；（C）3z2；（D）32z1z1（z1）2（z1）23．如果级数cnzn在z2i点收敛，则级数在n1（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点一定发散．４．下列结论正确的是（）（A）如果函数f（z）在z0点可导，则f（z）在z0点一定解析；如果f(z)dz0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成C的区域内一定解析；函数f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为zz0的幂级数，而且展开式是唯一的；(D)函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．)．(B)、cosz是无界函数；5．下列结论不正确的是((A)、lnz是复平面上的多值函数；f(z)(C)、sinz是复平面上的有界函数；(D)、ez是周期函数．按要求完成下列各题(每小题8分，共计50分)u(x,y)i(x2g(y)))是解析函数，且f(0)g(y),u(x,y),f(z)．2)．计算C(z2z1)(z2dz．其中C是正向圆周i)2；213)．计算C(1zz)ezdz，其中C是正向圆周z2；14)．利用留数计算C(z1)(z2)2dz．其中C是正向圆周z3；5)函数f(z)z(z21)(z2)3(sinz)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级四、(本题12分)将函数f(z)1z2(z11)在以下区域内展开成罗朗级1)0z11，(2)0z1，(3)1z得分五．(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题y(x)5y(x)4y(x)exy(0)y(0)1六、(本题8分)求f(t)ecost22d2e0t(t0)的傅立叶变换，并由此证明：得分?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）．填空题（每小题3分，共计15分）1．12i的幅角是42k,k01,2,）；2.Ln(1i)的主值是（1ln224．f(z)i4sinz)；3.f(z)11z2，f(7)(0)）；Res[f(z),0]；5．f(z)12，zRes[f(z),）；得分二．选择题（每小题3分，共计15分）15AACCC得分三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求a,b,c,d使f（z）x2axy解：因为f（z）解析，由C-R条件222by2i(cx2dxyy2)是解析函数，uvuvxyyx2xaydx2yax2bya2,d2,，a2c,2bd,c给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分2cxdy,1,b1,2）．Cz(z1)2dz其中C是正向圆周z2；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，0,z21，分别以z1,z2仅给出用前者计算过程1因为函数f(z)(z11)2z在复平面内只有两个奇点z1为圆心画互不相交互不包含的小圆c1,c2且位c内C(z1)dz1(z1)2dzC1zdzC2(z1)2dz2i(1z)zz11i2(z1)2z03)．计算C(13zedz，其中C是正向圆周z2；z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：2内，由留数定理z2f(z)dziRes[f(z),]2ic15分)1z3ez(1z)2ze1(112!z213!z3)(1(z212!13!z14!z2)(1c1(112!f(z)dz832iz21)(z(sinz)3极点，请指出它的级.4)函数f(z)(2)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有f(z)的奇点为zk,k0,1,2,3,，zk,k0,1,2,3,为(sinz)30的三级零点，z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，z0,2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分得分朗级数；四、(本题14分)将函数f(z)(z1)在以下区域内展开成罗1)z11，2)1，(3)1)0z1，2)0z1，(3)解：(1)f(z)1z2(z1)(z1)[(1(z1)]而[(1(z1)[(zn01)n]n1n(z1)n1f(z)n0n(z1)n2--6分2)当0z1f(z)1=12(1)nznf(z)21)z2(zzn0n0n0210分(n1)zn3)当1zf(z)1z2(z1)z3(11)zf(z)z13(1z)nzn0z(1)nn01n3z14分y(x)2y(x)3y(x)得分六、（本题6分）求f(t)10sincostd0五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题y(0)0,y(0)1解：对y（x）的Laplace变换记做L（s），依据Laplace变换性质有2s2L(s)112sL(s)3L(s)s1⋯（5分）整理得L(s)s2⋯（7分）(s1)(s1)(s4)y(x)1x3x13xeee488⋯（10分）t1t1的傅立叶变换，并由此证明：2t14t10t1解：F()eitf(t)dtF()1eitdt12分ite1ieie2sini1i4分t)disinsintd2t14t16分0t11f(t)2eitF()d---5分1itsined1sin(costisin2sincostd0sincostdf(t)=得0分212243