黑 河 教 育 2010.11
高中数学不等式解法及应用
笮江苏省兴化市第一中学 陈业
摘要：从笔者对往年高考试卷
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
来看，不等式的考查仍是考
查重点之一，而且考查的形式多样，充满灵活性，需要考生及高中
生认真掌握不等式相关知识，尤其是对诸如柯西不等式等的掌握。
在教学中发现，不少学生对不等式题无从下手，解答很费力，因此
本文以不等式为研究对象，重点探讨其解法和应用，以期为提高学
生解答不等式相关问题服务。
关键词：高中数学；不等式；应用及解法；探讨
本文对高中数学不等式解法及应用进行研究，主要是通过几
个常考点来阐述。高考对知识的掌握，不是单单的考查简单的知
识，而是充满了灵活性，考查学生的创新意识，那么学生掌握书本
上简单的
知识点
高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载
是往往不够的，高考的题型是由简单的知识组合
而来的，需要学生掌握通过现象看到本质的能力。
一、不等式中有关恒成立的问题及解答
其实恒成立考查的就是不等式方面的东西，与函数最值或者
极值有着间接的关系。如下题目所示：
例题：已知 f(x)=x2- 2bx+6，当 x∈[0,+∞)时，f(x)≥b恒成立，求 b
的取值范围？
解答：根据题意可知，f(x)=x2- 2bx+6=（x- b）2+6- b2
从该函数图像中可以发出：该函数在 x=b时候取值最小 f(x)
min=f(b)= 6- b2≥b从而 b+ b2- 6≤0，（b+3）（b- 2）≤0，- 3≤b≤2。
综上所述,所求 b的取值范围 - 3≤b≤2
二、分式形式的不等式问题及解答
在填空或者选择题中，很容易出现分式形式的不等式，而且往
往比较复杂，对于这一题型，是有窍门的，不需要计算繁杂的式子。
这个小窍门就通过例题来阐述：
例题： x
2- 3x- 4
x2- x ＞0 求 x的取值范围？
解答：分子，分母通分：从而找出 x的四个点，分别为 - 1、0、1、
4。在数轴上标出，因为不等式是大于 0，那么在 4的右边可以任意
取一个值，比如 5代入不等式中，得出大于 0，那么曲线在 4右边是
在数轴上方的，按照这个顺序在这四个点上标出，形成了一条曲
线，那么从中就可以看出，x的取值范围是（-∞,- 1）U（0,1）U（4,
+∞）。图 2- 1所示
图 2- 1数轴图
三、绝对值形式不等式解法
不等式与绝对值相结合也是考察的方法之一，用不等式及绝
对值来考察学生的判断性，其中针对这种题型，很普遍的解法就是
利用绝对值定义形式，分区间进行符号判断，弄成分段函数形势。
以下给出一个比较经典的例题，以说明灵活性的重要。
例题：解不等式
解答：从题目两边可以看出，除了绝对值号没有其他，因此可
以用平方的方法处理去掉绝对值号，（x- 2）2≤(2x+1)2
X2- 4x+4≤4x2+4x+1
0≤3 x2+8x- 3
0≤(3x- 1)(x+3)
X取值范围为：（-∞,- 3）U（1/3，+∞）
四、构造函数法解答不等式
通过笔者多年的经验发现，在不少不等式的问题题目中需要
构造函数来解答不等式，以下就通过几个方面构造函数来加以阐
释：
（一）构造一次性的函数
通过构造函数以解答不等式，往往能够让无从下手的不等式
证明或者问题变的很简单。
例题：假设 x ＜1, y ＜1, z ＜1,x,y,z∈R,要证明 xy+yz+xz
>- 1
证明：xy+yz+xz+1=x(y+z)+yz+1，那么令 f（t）= t(y+z)+yz+1
那么 f(1)=y+z+yz+1=(y+1)(z+1)>0
f(- 1)=- y- z+yz+1=(- y+1)(- z+1)>0
而 - 1
- 1。
（二）构造二次性的函数
例题：f（t）=t4- 2t2- 3>0，求 t的取值范围。
解答：假设 t2=X，那么 f（x）=x2- 2x- 3=（x- 3）（x+1）>0可以求出 x
范围为：x<- 1，x>3而 t2=X不可能为负数，那么 t2>3，则 t的范围是 t
（ 3姨 ，+∞）U（-∞，- 3姨 ）。
五、不等式在实际应用问题中的应用
关于实际问题的考察，也是高中数学考察的重点内容之一，往
往是间接考察不等式的应用知识，即是考察掌握不等式知识的灵
活性，很多经济问题需要利用不等式来解答。以下就用一个实例来
阐述不等式的应用。
例题：假设某个电子专卖商场，一个月需要购入每台价值为
1000元的英语学习机共 1800台，假定每笔购入都是整数台，每笔
平均需要付款运费 200元，购入的英语学习机需要月所付款的保
管费与购入价格呈正比。如果每笔购入 200台，那么全月需要用掉
加上保管费总费用为 21800，现在这个月只有 12000元资金可
以支付这笔费用，请问怎么安排每笔进货数量才能够让资
金够用？请写出你的计算步骤及理由。
解答：假定每笔购入 a台英语学习机时，使得全月运费
及保管费（为 y）最小，比较 y与 12000元资金之间的大小。
假定题中购入的英语学习机需要月所付款的保管费与购入
价格呈正比比例系数为 b，那么按照题意共需要 1800/a笔
购入，每笔购入费用是 1000a元。那么按照题意得：y=200
*1800/a+b*1000a，而 a=200时，y=21800，那么可算出 b=0.1，
因 此 代 入 上 式 有 ：y=200 *1800/a+100a ≥2
1800 *200*100 a a姨 =12000当且仅当 200 *1800/a=100a
时，a=60 时等号成立。总费用是 12000 元与题中限制的
12000元资金相等，因此资金是够用的。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室. 全日制普通高级中学教科书
(必修)[M].北京:人民教育出版社,2003.
[2]周宝生,殷玉波.十年高考[M].海南:南方出版社,2004.
[3]薛金星.高中数学基础知识手册[M].北京:北京教育出版社,
2003.
[4]门树慧.高一数学(新教材)导学[M].北京:北京金盾出版社,
2003.
- 1 0 1 4
教学研究
28
浙公网安备 33021202002483