莫利定理的简洁证明
545200 广西省柳城县中学 梁卷明
莫利定理 任意三角形每两个内角相邻
的三等分角线的交点构成正三角形．
证明 如图1，在任意△ 内部构造
／~B／X7，使 脚 一 ，~DCT．B一 。又
J ．)
‘
／ D
怍 ／~BDF，幔 DBF一 ， BDF一 60o
／r
+ ，使 DF交 于F，作正△ E，则
／ D
E 一60。+ ．又连结EC，分别延长
BD与CD EF=
F 一 E ～
／B
— —
3 ’
同理 E 一 ．
然 点 JE}、C、E2、Fl
圆；点B、D、F、Fl共圆． 图1
．
‘
． ~EzCFl一 E2BF 一 DFE
一 DEF，
故点D、C、E2、E共圆，
．
·
．
一 E 一 3 ，
故△脚 中，~DEC=60 ．
又作 ，一120。+ CA于点
Ij~EA，C_ ． EF：60。+等．
又连结F 并延长交BA于卣 ”，则同
理可证： ，E一 ，
，'FE一 ，FE一 60。+ ≮／B
，
从而 ，'FB一120。+ ， ， 一 ．
又连结A，侄，则又同理可证 F ”E一 ，
．
·
．
F E 一 F ， 一 1
，
．
’
． 点 与A 必重合于点 ．则易知
c一 F 一 B一 ，
故正Z~xDEF是／~ABC的内角莫求三角形．
证毕．
参考文献 ·
1 梁声明．三等分角线构成的三角形的性质．中学
教学(湖 )．1997．7
2 杨世明， 雪芹．数学发现的艺术 ～ 数学探索
中的合情推理．青岛：海洋大学出版社．1998．8
(收稿日期：2000—05～20)
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