小学数学爱好者第十二讲 图解法及其他

第十二讲 图解法及其他 　　在前面各讲中，已多次用画示意图的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，图的直观帮助我们思考和计算.为了强调这种方法的效果，在这一讲第一节再专门讲讲图解法. 　　小学数学中应用题看起来似乎千变万化，但是许多问题都有相同的实质.要一个一个地去研究题目的解法，是很难得到一些解题的要领，因此我们强调：“抓住问题的实质”.为此我们写了第二节. 　　虽然小学的教材中，只有最简单的方程，可是许多小学生都喜欢列方程解应用题，不少老师和家长给予鼓励.代数总结了算术中的一般规律，在方法上具有普遍性，但人们常常忽略了代数要以算术作为基础.列方程常常要依赖算术的帮助.因此，这一讲的第三节是“从算术到代数”. 　　这一讲不再为读者安排测验，在本书的最后，附录了笔者为香港保良局主办的“98香港小学数学精英选拔赛”，以及香港圣公会主办的首次小学数学比赛所提供的试题.有兴趣的读者，不妨一试.　 一、图解法 　　当拿到一道较复杂的应用题时，有些同学常常感到头绪很多，不知如何下手.不管什么类型的题目，都要从发现题目中数量关系入手，抓住问题的实质，从而使 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和推理与计算结合起来，较好地解决问题，在前面各讲中已多次使用图解法来解题，这一节还要再介绍几个图解的例子.图解的主要作用就在于使问题的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 具体化、形象化，帮助我们理解题，明确数量关系，从而沟通“已知”与“所求”的联系，便于找到较简捷的解法. 　　　例1 容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中纯酒精含量为 25％，再加入一杯纯酒精，容器中纯酒精含量为40％.问原来容器中有几杯酒精，浓度是多少？ 　　解：有一种非常直观的解法.把加一杯纯酒精后的酒精分成10份，其中4份是纯酒精（占40％），6份是水.画出右图，用△表示纯酒精，用○表示水.加入纯酒精前，含纯酒精25％，也就是纯酒精与水之比是1∶3.因此应该是2个△和6个○.就知道加入的一杯纯酒精是2个△（图中圈出部分），一杯水就是2个○.因此原来容器中有2个△和4个○.也就是3杯. 　　浓度是 2÷（2＋4）×100％＝33.3％. 　　答：容器中原有浓度为33.3％的酒精3杯. 　　例2 甲、乙两个工程队合作修筑一段公路，甲先单独施工4天，完成 　　.如果乙队每天修筑75米.这段公路全长多少米？ 　　 　　每天能完成1段. 　　画出如下示意图： 　　从图上可看出，甲总共完成了4+3=7（段），乙3天完成了12-7=5（段）. 　　每段长 75×3÷5=45（米）. 　　公路长 45×12=540（米）. 　　答：这段公路全长540米. 　　从上面两个例子可以看出，用图解直观明了.取好图中的计算单位是非常重要的.我们把整体分成若干份，分成多少份，就是取单位.取好单位，使运算对象都变成简单的整数. 　　例3 甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加数学小组.甲班参 　　几分之几？ 　　解：如果把甲班参加人数算作1份，那么乙班没有参加的人数将是3份.如果把乙班参加人数算作1份，那么甲班没有参加的人数就是4份. 　　画出如下示意图： 　 　　图中间有一条虚线，右面截下的两段恰好都是甲班、乙班参加人数之和.这样从虚线的左面可以得出数量关系 　　乙班参加人数×3=甲班参加人数×2，也就是 　　 　　如果都用甲班参加人数作为“1”来计算，就有 　 　 　　例4 小明、小华、小强三人想合买一个电脑软件.如果用小明带的钱去买，还差55元；如果用小华带的钱去买，还差69元；如果用三人带着的钱去买，就多了30元.已知小强带了 37元.问这个软件多少元？ 　　解：画一张示意图，把题目中的条件反映在图上。 　　小华的钱是3人总钱数减去小明的钱、减去小强的钱，图中显示，也就是69减去左、右两小段，即 　　小华的钱=69-（69-55）-（37-30） 　　=48. 　　软件价=48+69=117（元） 　　答：这个软件117元. 　　虽然这道题加加减减总能算出答数，但总不及先画一张图一目了然. 　　例5 俄国作家托尔斯泰，曾提出一个有趣的数学题：一组割草人去两块草地割草.大的一块比小的一块大一倍.上午全部人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完，另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块.这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完.问这组割草人共有多少人？ 　　解：我们把全组割草人设为“1”，把半天人数都转换成一天人数来考虑，可画出如下示意图. 　 　　 　　 　　大草地所需人数应是小草地所需人数的2倍.我们用虚线再一次画出小草地所需人数，从图上就可以明显看出： 　 　　 　　答：这组割草人共有8人. 　　例5用图解，画大草地和小草地所有人数并不难，关键是两个线段通过拼合，来显示它们之间的数量关系.下一例题更显示，把示意图拼合的技巧.当然这样的技巧并不能普遍使用，可是从中却隐藏着让你发挥聪明才智的机会. 　　例6是一个稍稍复杂的例子. 　　例6 张明骑自行车上班，以均匀速度前进，他观察来往的电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面开来.如果电车也是匀速行驶，那么起点站和终点站几分钟发一辆电车？ 　　解：我们把电车和自行车的具体行程反映在图上.如果用A和B表示先后发出的两辆电车，就有 　　如果把下图翻过来与上图拼在一起如下： 　　就可以看出，自行车走12＋4＝16（分钟）行程，与电车走12-4＝8（分钟）行程一样.也就是说，电车速度是自行车速度的2倍.自行车4分钟走的距离，电车只用2分钟，从下图可以看出，发车间隔时间要4+2＝6（分钟）. 　　答：每隔6分钟发一辆电车. 　　还有一种解法：从上图可得出 　　车间隔距离=电车12分钟行程-自行车12分钟行程. 　　发车间隔距离=电车4分钟行程+自行车4分钟行程， 　　3×发车间隔距离=电车12分钟行程+自行车12分钟行程， 　　利用和差问题解法： 　　 　　即 发车间隔距离=电车6分钟行程. 　　下面例题画示意图之前需要很好地思考. 　　例7 甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁.当甲的岁数是乙的一半时，丙是38岁，当丙的岁数是乙的2倍时，甲是17岁.问乙现在几岁？ 　　解：先要弄清楚，“丙是乙的2倍时”与“甲是乙的一半时”，这两个时间，哪一个在前.如果丙是乙的2倍在前，当甲的岁数是乙的一半时，就大于17岁，乙就大于34岁，此时丙是38岁，那么要30多年前，才有可能丙的岁数是乙的2倍.此时，甲怎能是17岁呢？因此，“甲的岁数是乙的一半”在前.我们就可假设，若干年后，丙的岁数是乙的2倍.可画出如下示意图： 　　先画出甲的岁数是乙的岁数一半时的情况（甲岁数是1实线段），然后再用1段虚线表示所设的若干年，此时丙的岁数是乙的2倍. 　　现在把丙和乙两人岁数相加，它们是 　　38+2段实线+2段虚线 　　2段实线和2段虚线恰好是17（1实1虚）的2倍. 　　因此，在甲17岁时，乙和丙两人岁数之和是 　　38+17×2=72（岁） 　　 　　 　　三人岁数之和是72＋17＝89（岁），离113还差113- 89=24（岁）.每人相差24÷3＝8（岁）.因此乙24岁是8年前，乙现在岁数是 　　24＋8＝32（岁）. 　　答：乙现在是32岁. 习题一 　　1.有甲、乙两个粮仓，将甲仓150袋粮食转移到乙仓后，乙仓的粮食袋 　　2.有两条纸带.一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样 　　段有多长？ 　　3.甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升.第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器中，使酒精与水混合.第二次将乙容器中一部分混合液倒入甲容器.这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精含量为25％.那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 　　4.一条小河上有甲、乙两座桥，水流是从甲流向乙.小张从甲桥处划船顺水划向乙桥，小李从乙桥处步行走向甲桥.他们两人同时出发，在小张的船行 　　小李离甲桥还有60米.在静水中船速是53米/分，小李步行速度是48米/分.求水流速度和甲、乙两桥间的距离. 　　5.爸爸和女儿两人岁数加起来91岁.当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的 　　6.游船顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米.两条游船同时从同一地方出发，一个顺流而下，然后返回，一个逆流而上，然后返回.结果，1小时以后它们同时回到出发点.问在这1小时内有多少时间这两条船的前进方向相同？ 　　7.甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车.小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行.每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车.已知电车行驶全程是56分钟.问小张与小王在途中相遇时，他们已走了多少分钟？ 　　8.两个人沿着铁路线迎面走着，两人的速度是一样的.一列火车开来，整个列车从第一个人身边开过用了8秒钟.火车追上第一个人5分钟后，与第二个人相遇.火车从第二个人身边开过，全列车只用了7秒钟.问火车遇到第二人后多少分钟，两人相遇？ 二、抓住问题的实质 　　有些题目，表面上说的不是一回事，但是从数学的内容来说，实质上是一码事.因此，做题时不要被出题人的改头换面的手法所迷惑. 　　例8 早晨8点多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去.两辆车的速度都是每小时60千米.8点32分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍，到了8点39分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？ 　　解：车速每小时60千米，也就是每分钟1千米，车行几分钟就走几千米. 　　上面是两辆车在8点32分时和在8点39分时的示意图.图中阴影部分是两辆车之间的距离.因为两辆车的速度是一样的，所以两辆车之间的距离不变.到8点39分，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的两倍.因此 　　两车距离=8点39分第二辆车离厂距离 　　=8点32分第二辆车离厂距离+7千米 　　=两车距离的一半+7千米 　　这就得出两车距离是14千米，到8点39分时第一辆车已经走了28千米，从化肥厂开出了28分钟，因此第一辆汽车是8点11分离开化肥厂的. 　　答：第一辆车在8点11分离开化肥厂. 　　看到“速度”、“距离”、“行走”等词，有些同学就认为是行程问题，其实不然.从数学角度来说，本例实质是小学数学中的“年龄问题”.改换一下它的面貌，就有下面这道题： 　　1980年小英的姑姑的年龄是小英年龄的3倍；1987年小英姑姑的年龄是小英的2倍.问小英哪年出生？ 　　用图解法表示小英和姑姑在1980年和1987年的年龄，与前面画的图完全一样.这是最典型的“年龄问题”.解这种题的“关键”是两人的年龄差（两车距离）是一个定数. 　　例9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路.一辆汽车上坡每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9 是多少千米？ 　　解：上坡速度与下坡速度之比是 　　20∶35＝4∶7， 　　上坡时间∶下坡时间=7∶4. 　　考虑往返全程，其中上坡时间是 　　如果从甲往乙都是上坡，要用10.5小时，现在只用9小时，因此其中下坡时间是 　　上坡时间是9-2＝7（小时）. 　　甲至乙行程中 　　上坡行程=20×7＝140（千米）， 　　下坡行程=35×2＝70（千米）. 　　答：甲至乙上坡和下坡行程分别是140千米和70千米. 　　 　　例9与第二讲例6是完全一样的问题，当然可用“和差问题”方法求解，例9也是第三讲例16的特殊情况，若先求出上坡与下坡的平均速度，也可用“鸡兔同笼”方法求解.但从速度比入手，转化为时间之比，考虑和比与差比，似乎更抓住了问题的实质. 　　例10 某工厂一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成一项生产任务.如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项生产任务.问如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前多少时间完成这项生产任务？ 　　解：工作量=工作效率×时间. 　　设原来的工作效率为1. 　　 　 　　 INCLUDEPICTURE "http://zhjyx.hfjy.net.cn/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000068/_OLE16759.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　因此时间缩短了 　　答：可以提前1小时48分完成. 　　对小学生来说，这道题目的文字稍长了一些.弄明白了，其实内容是很简单的. 　　这是工程问题.按照小学同学的习惯，设这项生产任务的工作量为1.原 　　质是工作效率的提高，如何从数量上反映出“提高”，是有讲究的，要尽量使进一步的思考容易些. 　　例10还有一种简单解法： 　　设工作量为72份（9与8的最小公倍数）.原来每小时完成8份，两人 　　出现分数，就易于进一步思考.） 　　A与B，C与D都交换，每小时能完成 　　8+1+1＝10（份）. 　　完成72份需要72÷10＝7.2（小时），比原来少1.8小时. 　　这样解实质上就是设原来的工作效率是8，使计算整数化. 　　例11 某班买来单价为1.5元练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本.那么这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？ 　　 　　因此，均分给全班每人可分得 　 　　1.5×6＝9（元）. 　　答：均分全班每人应付9元. 　　从上面计算可看出，这道题的答数，与有多少练习本无关.我们可以设练 　　一模一样.在工程问题中，也不知工作量究竟多大，通常设为整体1.因此例11与工程问题是一类问题.对于单给女生每人15本与单给男生每人10本，说明女生人数与男生人数之比是3∶2.你可以认为全班就只有3位女生，2位男生，一样可做出答数.这就是问题的实质.在工程问题中，甲独做要几天，乙独做要几天，也只是说甲与乙的工作效率之比.用这个比来解题，有时计算方便，而且整数化.在第八讲中，不少例题就是这样做的.学了比例，就要灵活运用. 　　例12 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同.而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同.猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同地出发，同向跑.问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 　　 　　进行连比，得 　　猫速∶狗速∶兔速=225∶625∶441. 　　441-225＝216，与300求最小公倍数 　　216×25＝5400＝300×18. 　　625-225＝400，400×1.5=300×2. 　　猫跑 225×1.5与兔相遇. 　　猫跑 225×25与狗相遇. 　　猫跑 225×1.5×25＝8437.5（米）与兔、狗都相遇，此时 　　兔跑了 441×1.5×25＝16537.5（米）. 　　狗跑了 625×1.5×25＝23437.5（米）. 　　答：出发后猫、狗、兔第一次相遇，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米，猫跑了8437.5米. 　　这道题实质就是求最小公倍数，连比也是求最小公倍数.简单的算术就可求解，不必动用代数. 　　例13 有五堆苹果.较小的三堆平均有18个苹果.较大的两堆，苹果数之差为5个.又，较大的三堆平均有26个苹果，较小的两堆苹果数之差为7个.最大堆与最小堆平均有22个苹果.问每堆各有多少个苹果？ 　　解：根据第五讲， 　　（最大+次大）-（次小+最小）＝（26-18）×3＝24. 　　最大+次大+5＝最大×2 　　次小+最小-7＝最小×2 　　最大-最小=（24＋5＋7）÷2＝18 　　最大+最小=22×2＝44. 　　根据和差问题的算法，最大=（44+18）÷2＝31，次大=31-5＝26，最小=31-18＝13，次小=13+7＝20，中间一堆是18×3-20-13＝21. 　　答：这五堆苹果的个数从大到小依次是31，26，21，20，13. 　　例13的实质是和差问题.已知最大与最小的和，自然要设法去求出它们的差.目标明确，就不难发现解法. 　　例14 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这三辆车分别用6分钟，10分钟，12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时24千米，中车每小时20千米，问慢车每小时走多少千米？ 　　解：画一张示意图： 　　快车6分钟走了 　　中车10分钟走了 　　骑车人在这一段时间走了 　　他用了10-6＝4（分钟），他的速度是 　 　 　 　 　　答：慢车速度是每小时19千米. 　　这道题是什么问题？很多人都会说，这是行程问题中的“追及”.不错，可是这道题目与下面题目相同. 　　牧场有一块草地，24匹马6天可以把草吃光，20匹马10天可以把草吃光，那么几匹马12天可以把草吃光（假定草每天的生长量是固定的）. 　　这就成了第八讲例20介绍的“牛吃草”.由于问题转化，启发我们产生较简便的解法. 　　把1匹马每天吃草量作为计算单位. 　　10天比6天多4天，这4天草的生长量是 　　20×10-24×6＝56， 　　每天草生长量是56÷4=14，也就是1天生长的草，可供14匹马吃1天. 　　12天比10天多2天，原有的草加12天生长的草是 　　20×10＋14×2＝228， 　　因此可供228÷12＝19（匹）马吃. 　　答：可供19匹马吃12天. 　　由于没有小时化成分钟的换算，计算更为简捷.请同学们想一想，上述这类问题，最实质性的特点是什么？可以参阅一下第八讲例20，例21. 　　另外，求出骑车人速度是14千米/小时，还可用第十一讲例3解二的图解方法.这与年龄问题解法是一样的. 习题二 　　1.水池中插着长、短两根竹竿.它们露出水面部分的长度之比是3∶2.水面升高后，露出水面部分的长度之比是3∶1，其中长的一根露出水面30厘米.问增水后水面升高了多少厘米？ 　　2.甲容器中有1.5升酒精，乙容器有1.2升蒸馏水.每天从甲、乙容器中分别取出每种液体20立方厘米.问多少天后甲容器中液体体积是乙容器中液体体积的2倍？ 　　3.今年，祖父的岁数是小明岁数的6倍.几年后，祖父的岁数将是小明岁数的5倍.又过几年以后，祖父的岁数是小明岁数的4倍.问祖父今年是多少岁？ 　　4.三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处.甲、乙、丙三人分别在里圈、 　　 　　千米.甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时从旗杆的正东方向出发，几小时以后，三人第一次同时回到出发点？ 　　5.甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈. 　　点190米.问这条椭圆形跑道长多少米？ 　　6.甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的大米.甲仓库用皮带输送机一台和12个搬运工人5小时把甲仓库搬空.乙仓库用皮带输送机一台和28个搬运工人3小时把乙仓库搬空.丙仓库有皮带输送机两台，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名搬运工人？ 　　注意：皮带输送机与工人同时往外搬运大米. 　　7.一片草地.如果让马和牛去吃草，45天内将吃掉原有的草和45天内新长出来的草；如果让马和羊去吃草，60天将吃掉原有的草和新长出来的草；如果牛和羊去吃草，90天将吃完草场原有的草和90天内新长出的草.已知牛和羊的每天吃草量等于马的每天吃草量.同时让马、牛、羊去吃草，这片草地够吃多少天？ 三、从算术到代数 　　英国伟大的科学家牛顿写的代数教科书--《普遍算术》中有这样一段话：“要解答一个问题，如果里面包含着数量间的抽象关系，只要把题目从日常的语言译为代数的语言就行了。”列方程除了要有代数的语言，还要从不同角度表达的同一数量中，找出等量关系. 　　例15 两个缸内共有48桶水，甲缸给乙缸加水一倍，然后乙缸又给甲缸加水，使甲缸余下水增加一倍，这时两缸内的水量相等.问最初两缸内各有水多少桶？ 　　解： 　　解出x=18.即甲缸原有水48-18=30（桶）. 　　答：最初甲缸中有水30桶，乙缸中有水18桶. 　　请读者考虑，设甲缸原有水为x，还是设乙缸原有水为x，哪一种设法好一点？由此你也许会明白，设未知数x是有讲究的. 　　利用一点算术，把“两缸的水量相等”译得好一些.例如： 　　2x-（48-2x）＝24.（为什么？） 　　给甲缸中水增加一倍后，两缸的水量相等，也就是说，乙缸给甲缸加水前，乙缸水量是甲的3倍，即 　　3（48-2x）＝2x. 　　总之，代数有算术的帮助会更好些. 　　例16 一辆车从甲地开往乙地，如果提速20％，可以比原定时间提前一小时到达.如果以原速走120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到.那么甲、乙两地相距多少千米？ 　　再列方程求解就容易了. 　　因此可以列方程 　 　　 　　解得 x＝270（千米）. 　　这一例题说明，先用算术为列方程作一些准备工作，列方程就简单容易些. 　　例17 甲、乙、丙三箱内共有小球384个.先从甲箱取出一些球放入乙箱和丙箱，使乙箱、丙箱的球各增加两倍，然后再从乙箱取出一些球放入甲箱和丙箱，使甲箱、丙箱的球各增加一倍.结果三箱内的小球个数恰好相等.问甲、乙、丙各箱内原有小球多少个？ 　　解：384÷3＝128（个）.最后每一箱内都有128个球.丙箱的球数是原来的4倍，因此丙箱内原有球数是 　　128÷4=32（个）. 　　设乙箱原有球数是x，当第一次从甲箱取球放到乙箱后，它的球数是2x，而第二次从乙箱取球放入甲箱和丙箱，使甲箱和丙箱球数都增加一倍，都有128个球，就知第二次放入甲、丙箱的球都是128÷2=64（个）.因此 　　2x-64-64＝128. 　　x＝128（个）.甲箱原有球数是 　　384-128-32＝224（个）. 　　答：甲、乙、丙各箱原有球数分别是224个，128个，32个. 　　想明白了，这是十分简单的题目.可是有些同学，开始就设甲、乙、丙原有球数分别是x，y，z，.列出方程组 　　这是大可不必.列方程前一定把题目看清楚了，好好从算术角度想一想，能否用算术沟通一些数量关系，然后再列方程.设未知数决不是越多越方便.千万不要把简单事情变复杂. 　　代数，就是用字母来表示数.用于列方程仅仅是它的一个功能，它更多地用于讨论和沟通普遍的数量关系. 　　例18 一船逆水而上，船上某人有一件东西掉入水中.当船回头时，时间已过5分钟.问再过多久，船才能追上所掉的东西？ 　　解：设船速为x（米/分），水速为y（米/分）. 　　当船回头时，船逆水前进了5×（x-y），掉下东西顺水前进了5y.两者相差距离是 　　5（x-y）+5y=5x. 　　现在船已掉头，每分钟能前进（x+y），比掉下东西多走（x+y）-y＝x. 　　因此追上掉下东西所需时间是 　　5x÷x＝5（分钟）. 　　答：再过5分钟，船追上所掉的东西. 　　也许本来设船速为x、水速为y是为了列方程.但通过数量关系的沟通，这道题的答案与水速、船速没关系，只与船多少时间后掉头有关.解应用题，实质是沟通一些数量之间的关系，并不一定都需要列方程. 　　例19 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送.第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行，车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫.学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速每小时40千米，空车每小时50千米.问要使两批学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计） 　　解：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发、同时到达，所以两班的步行距离和坐车距离必定都相等.根据这一结论来列方程，就好办了. 　　画出如下示意图： 　　只要设二班步行（等于一班步行）距离为x.一班坐车（等于二班坐车）距离为y.就可以列出方程 　　化简得 54x＝9y， 　　x∶y＝9∶54＝1∶6. 　　 　　 　　这是一次数学竞赛的试题.笔者有幸作为主试委员会成员负责批阅这一题试卷.发现几乎每一参赛者都列方程，但很少有人利用我们解题开始的结论，因此，方程都非常麻烦，其中许多还没法解.借这一例题再一次提醒读者，列方程，并不是求什么，就把它设成未知数，就万事大吉.要好好把题目思考一下，是否隐含着一些重要的事实可作依据. 　　下面三个例题，列方程似乎比算术求解要容易思考些. 　　例20 学校早晨6：00开门，晚上6：40关门.下午有一位同学问老 　　，就是现在的时间.那么现在时间是几点几分？ 　　解： 　　因此就容易列出方程 　　 　　 　　答：现在是下午4点整. 　　如果用算术方法求解就比较麻烦.介绍一种“假设方法”求解. 　 　 　　，需要加 　　因此现在时间是下午4点. 　　例21 1辆大型旅游车和1辆中型旅游车共有68个座位.一所小学的师 　　大车和6辆中车，则仍有2人没座位.问共有多少人去春游？ 　　解： 　　 　 　　 　　列出联立方程组 　　解得 y=18（人），x＝50（人）. 　　全部人数是 50×3＋18×6＋2＝260（人）. 　　答：共有260人去春游. 　　联立方程组，和简化方程时代数运算已超出了小学的范围，但并不复杂，许多小学同学都会，列方程也不难.如果再用一点算术，也许更好些.具体如下： 　　就可得出 　　1辆大车比3辆中车少乘坐4人. 　　即 x＝3y-4. 　　用它来代入方程组前一方程，就有 　　（3y-4）+y＝68. 　 　　上面算术解法是不太容易的. 　　例22 小张、小王和小李三人进行自行车比赛.小张比小王早12分钟到达终点，小王比小李早3分钟到达终点.他们算了一下，小张的速度比小王每小时快5千米，小王的速度比小李每小时要快1千米.他们三人进行自行车比赛的路程有多长？ 　　解：无法直接求路程长，先求出其中一人的速度和所用时间. 　　设小张所用时间为x小时，速度为y千米/小时.小王比小张迟12分钟到 　 INCLUDEPICTURE "http://zhjyx.hfjy.net.cn/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000068/_OLE16797.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　由三人比赛路程相同，利用这个等量关系列出方程组： 　　化简得方程组 　　解得 x＝1，y=30. 　　因此，比赛的路程是 　　30×1＝30（千米）. 　　答：比赛的路程长30千米. 　　上面的解法，己超出小学数学的范围.但这是一类典型问题，而且在一些小学课外书中出现，因此选作本节例题.下面提供一个算术的图解法. 　　画一张示意图： 　　设小张到达终点A时，小王到达B点，小李到达C点.也就是，小王从B到A还要12分钟，小李从C到A还要12＋3＝15（分钟）. 　　比赛全程=小张的速度×小张所用时间. 　　起点至B＝（小张的速度-5）×小张所用时间. 　　因此，B至A＝5×小张所用时间. 　　同样道理 　　C至A＝（5＋1）×小张所用时间. 　　因此，C至A距离∶B至A距离=6∶5. 　　如果让小李骑B至A这段距离，需要 　　骑同样距离，时间与速度成反比，因此 　　小王速度∶小李速度=12.5∶12＝25∶24. 　　 　　米/小时），小李速度是25-1=24（千米/小时），小张速度是25＋5=30（千米/小时）. 　　小王骑12分钟的行程（从B至A）距离是 　　小张与小王每小时相差5千米，因此小张用1小时骑完全程，比赛全程长是30千米. 习题三 　　1.有两个工程队，甲队的人数与乙队的人数之比是4∶1.如果从甲队调15人到乙队.那么两队人数相等.要使甲、乙两队的人数之比为3∶7.问甲队必须调多少人到乙队？ 　　2.一批工人到甲、乙两地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工 　　工地的工作还需4名工人再做一天，那么这批工人有多少人？ 　　3.小张和小李都要从甲地到乙地，甲、乙两地相距54千米，他们只有一辆自行车，约定分别各骑一段路.他们骑车速度是15千米/小时，小张和小李步行速度分别是3千米/小时、4千米/小时.小张先步行，小李先骑车同时从甲地出发，为了使两人同时到达乙地，小李骑自行车到甲、乙之间的丙地.把自行车寄放在丙地留给小李，然后改为步行至乙地.求丙地离甲地多少千米？ 　　4.甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园.甲班步行速度是4千米/小时，乙班步行速度是3千米/小时.学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米/小时，这辆汽车恰好能坐一个班的学生.为了使两班学生在最短时间内到达，问甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比. 　　5.某车间每个工人看管的布机是相同的.通过一次技术革新，每人可以多看管1台布机，就节省了15名工人.又经过一次技术革新，每人又可以多看管2台布机.又节省了15名工人.问这个车间有多少台布机？ 　　6.有一辆汽车，以某一固定的速度从甲地行驶至乙地.如果每小时比原定的行驶速度快6千米，就可以早到5分钟，如果每小时比原定行驶速度慢5千米，就要迟到6分钟.求甲、乙两地间的距离？ 　　5，6两题，从实质上来说，与例22是同一类型问题.