关于积分中值定理的证明

第17卷第4期 V01．17No．4 广西梧州师范高等专科学校学报 JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI 2001年10月 Oct．2001 关于积分中值定理的证明 林木元 (梧州师专，广西贺外I542800) [摘要]本文对积分第一中值定理的“中值”进行加强且论证；并对积分第二中值定理分别用 Abel变换和分部积分公式两种方法加以论证，以弥补一般教科书中的不足。 [关键词]中值定理；Abel变换；分部积分 [中图分类号]0172．2[文献标识码]A [文章编号]l008—8377(2001)04一0073一02 积分中值定理是联系函数及其积分的桥梁，是用积分研究函数性质或用函数研究积分性质的工具。 定理有两个，分别冠以第一第二以示区别和叙述方便。 积分第一中值定理设厂(z)与go)在■，6]上可积，且g(z)在[口，6]上不变号，设m—i∥厂(z)，M— sup厂(z)，则必j户，m≤P≤M，使If(x)g(x)dx一户Ig(x)dx 特别当厂(z)在k，6]上连续时，必j拿∈■，6]，使户一厂(})． 本定理的证明在一般教材上可见，这里仅指出，结论加强为搴∈(4，6)，使“中值”二字更为确切，应用起来 更为方便，为此有 定理设，b)在k，6]上连续，g(z)在k，6]上可积且不变号，则j手∈Q，6)使得 I f(x)g(x)dx一厂(车)lg(z)dx (1) 证因厂(z)在k，6]连续，厂(z)在[4，6]上必有最大值M和最小值m，又由于go)在■，6]上可积且不变 号，不妨设g(卫)≥o，J—lg(x)dx，于是有mg(x)≤，@)go)≤Mg(x) 从而 Ⅲ，≤If(x)g(x)dx≤MI (2) 若，一o，则由(2)式知If(x)g(x)dx一0，从而任取手∈o，6)均可使(1)式成立，现设 I>O，将(2)式改写为m≤卢≤M，其中 产一÷If(x)g(x)dx (3) 如果卢∈(m，M)，则由连续函数的介值性必j手∈(口，6)使厂(拿)一∥，从而(1)式成立，如果∥一m，则由于，一 I g(x)dx>0，必j■1，b1]c(n，6)使得恒有g(z)>o，z∈■1，b1]，若不然，则在(口，6)的任何闭子区间Ax；上 都有￡使譬(车，)=o，依定积分定义便有I=Jg(x)dx一0，这与I>0矛盾。由于户一m，今改写(3)式为 J If(z)一m]g(x)dx一0 (4) 注意到If(x)--m]g(x)≥o，必有 1If(x)一m]g(x)dx一0 (5) J“1 否则由J_：>。及f1≥。，丘≥。，将有f—f1+J．：+』：，>。，矛盾。今证必j亭∈_·，61]c(口，6)，使厂 (搴)一m=p，若不然，则在k。，6。]上恒有厂(z)--m：>O及g(z)>o，从而[厂(z)--m]g(x)：>O，故I1[厂(z)一 [收稿日期]200l一04--16 万方数据 第17卷第4期 V01．17No．4 广西梧州-W范高等专科学校学报 JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI 2001年10月 Oct．2001 m]g(x)dx>0，这与(5)式矛盾，同理可证芦一M的情形，总之弓}∈(n，6)，使得(1)式成立。 积分第二中值定理设在[口，阳上，＆)单调递减非负，且占＆)可积，则了￡∈k，6]使 I—If(x)g(x)dx=厂o)Ig(x)dx． 本定理的证明关键在于应用Abel变换，因较繁，一般教材常略去，鉴于Abel变换在数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中是一个重 要的处理乘积之和的工具，今用它证明本定理。 因厂(z)递减，将， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为 ，一蓦丘+1厂cz，gcz，dz一萋厂c铂E+19c引dx+墓丘¨[厂cz，一厂c妁]gcz，如』盯+P 因g(z)在k，6]上可积，必jMo>O，使IgQ)I≤眠，记眠为区间＆r，Xi+，]上厂＆)的振幅，并注意到，(z)也 可积，容易看出IPI≤∑e+1[厂(z)一f(xt)|Ig(z)[dx≤Mo∑Wi&xt<眠￡ 于是1只由仃的极限确定，令Go)=Ig(t)dt，并利用Abel变换改写口为 d一∑f(xi)[G(。件。)一G(。．)]：∑G(zi)Ⅳ(z，一。)一厂(z，)]+G(6)厂(z。二，) 记G(z)在■，6]上的最小最大值分别为埘、M，并注意到厂(z)的单调性及非负性，放缩盯可得mf(a)≤口 ≤Mf(a)，令0丁0—0得mf(a)≤I≤Mf(a) 因G(z)连续，于是必j拿∈[口，6]，使，一厂(a)G(})，此即I一厂(n)Ig(x)dx，证毕。 若将定理中的厂(z)递减加强为厂(z)≤0，g(z)可积加强为连续，则不必用Abel变换，用分部积分公式 就行了，今证如下： 因在[Ⅱ，6]上厂(z)≤o，g(z)连续，注意到G’(z)=g(z)，且G(口)一0，由分部积分公式有 I=厂@)G(z)I：一l，，(x)G(x)dx一，(6)G(6)一l尸(x)G(x)dx 因G(z)在[口，6]上连续，必存在最大与最小值M、研，使 reEf(b)一厂(口)]一mI，『(x)dx≥l尸(x)G(x)dx≥MI，，(x)dx—MEf(b)一，(n)] 用之于放缩，可得mf(a)≤J≤Mf(a) 一 若，(n)一o，显然，=0，于是V}∈k，6]定理都成立。若厂(口)>o，因G(z)连续，由介值性必j亭∈[口，6]，使，= ，(口)G(￡)．此即f=厂(口)lg(x)dx．证毕。 从本定理的证明可见分部积分与Abel变换的作用很类似，可以说分部积分是连续的Abel变换，而Abel 变换则是离散的分部积分。有的干脆就称Abel变换为分部求和公式，这就显得二者更相似了。 说明1)当，(z)是单调递增非负，其余条件不变，则同理可证得结论 I—f(6)Ig(x)dx 2) 当厂(z)是一般的单调函数时其余条件不变，则定理的结论为 r6 rf r6 I f(x)g(x)dx=，(口)lg(x)dx+厂(6)I。g(x)dx 这是因为不妨设，(z)递减，于是有厂(z)一厂(6)≥0，从而有IIf(x)一f(b)]g(z)dx=If(a)一 ，(6)]lg(x)dx，改写并化简后便得所要证的。 [参考文献] [1]A．一．辛钦．数学分析教程(上)[M]．高等教育出版社，1959． [z]沈燮昌等．数学分析纵横谈[M]．北京大学出版社，1991． [33江泽坚等．数学分析(上)Ira]．人民教育出版社，1978． [4]吉林大学．数分分析(上)[枷．人民教育出版社，1978． [5]黄正中．数学分析(上)[M]．人民教育出版社，1978． [63吉林师大数学分析教研室．数学分析讲义(上)[M]．人民教育出版社，1978 —74— 万方数据 关于积分中值定理的证明 作者： 林木元， Lin Muyuan 作者单位： 梧州师专,广西,贺州,542800 刊名： 广西梧州师范高等专科学校学报 英文刊名： JOURNAL OF WUZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI 年，卷(期)： 2001，17(4) 被引用次数： 1次 参考文献(6条) 1.A я 辛钦 数学分析教程 1959 2.沈燮昌 数学分析纵横谈 1991 3.江泽坚 数学分析 1978 4.吉林大学 数分分析 1978 5.黄正中 数学分析 1978 6.吉林师大数学分析教研室 数学分析讲义 1978 相似文献(2条) 1.期刊论文 闫敏伦.YAN Min-lun 两类积分中值定理的加强 -连云港师范高等专科学校学报2002,""(4) 文章对积分第一中值定理的中值进行加强且论证,并对积分第二中值定理分别用Abel变换和分部积分两种方法进行讨论. 2.期刊论文 王军涛.马宝林 积分中值定理的再讨论 -河南科技学院学报（自然科学版）2007,35(4) 积分中值定理是高等数学课程中的基本定理之一,有着广泛的应用价值.本文从积分中值定理的基本表述形式人手展开讨论,得出了积分中值定理的两 种推广形式--积分第一中值定理和积分第二中值定理;并着重讨论了两种推广形式的证明过程. 引证文献(1条) 1.刘日成.宋国亮 用介值定理证明积分第二中值定理[期刊论文]-大庆石油学院学报 2008(6) 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxwzsfgdzkxxxb200104020.aspx 授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：077e244d-86f3-4a11-b61e-9e170098f960 下载时间：2010年10月22日