第五节合情推理和演绎推理1.合情推理特殊事例一般结论相似之处有相似之处 归纳 类比 定义 由一系列有限的__________得出________的推理
方法
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叫作归纳. 根据两个不同的对象在某方面的_________，推测出这两个对象在其他方面也可能__________，这就是类比. 模式 从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式 在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式.【即时应用】(1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;()②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ;()③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.()(2)已知数列是第_______项.(3)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为_________.【解析】(1)①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;③对.(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+2a·b+b2满足向量数量积的运算.(2)由题可知该数列的第n项得2n-1=45，∴n=23.(3)两个正四面体的棱长的比为1∶2，则其高之比为1∶2，底面积之比为1∶4，故其体积的比为1∶8.
答案
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：(1)①×②×③√(2)23(3)1∶82.演绎推理大前提小前提一般特殊M是PS是MS是P 主要形式 由_______、_______推出结论的三段论式推理 推理模式 由____性命题推出____性命题的一种推理模式 三段论 （1）大前提——_______（2）小前提——_______（3）结论——_______【即时应用】(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假(填“真”，“假”)①使用了归纳()②使用了类比()③使用了演绎推理()④使用了“三段论”但推理形式错误()⑤使用了“三段论”但小前提错误()(2)判断下列推理过程是否是演绎推理(请在括号中填“是”或“否”)①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°()②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人()③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质()④在数列{an}中，a1=1,an=(an-1+)(n≥2,n∈N*)，由此归纳出{an}的通项公式()【解析】(1)①假：不满足归纳的定义；②假：不满足类比的定义；③真：满足演绎推理的定义；④真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式.⑤假，使用了“三段论”但小前提是正确的.(2)①是，使用了“三段论”.②不是，使用了归纳不是演绎推理.③不是，使用了类比.④不是,使用了归纳.答案：(1)①假②假③真④真⑤假(2)①是②否③否④否热点考向1归纳【方法点睛】归纳的特点(1)归纳是由部分到整体、由特殊到一般的推理.(2)由归纳所得的结论不一定正确，通常归纳的个数越多，越具有代
表
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性，推广的一般性结论也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.【例1】(1)已知：f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为_________.1=1(2)观察式子：3+5=8你可以猜出的一个一般性结论是____.7+9+11=27(3)设f(x)=，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,可得x+(1-x)=1.【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)=得f2(x)=f1(f1(x))=f3(x)=f2(f2(x))=f4(x)=f3(f3(x))=故猜想fn(x)=答案：(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，即为共有n个奇数，即第n个等式应为［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+［n(n-1)+2n-1］=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3(3)f(0)+f(1)===同理可得：f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明：【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)的值.【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)=得f(-2012)+f(2013)=,f(-2011)+f(2012)=,故f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)=2013×=671【反思·感悟】本例实质是由前几项，归纳猜想一般性结论的题目，其解题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即f(-x)+f(1+x)=也成立.热点考向2类比【方法点睛】类比的特点(1)类比是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法.(2)比的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示： 平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 …… ……【例2】(1)(2013·厦门模拟)设△ABC的三边长分别为a,b,c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝.(2)(2013·漳州模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为．【解题指南】(1)“三角形”与“四面体”类比，“面积”与“体积”类比，“内切圆”与“内切球”类比，“面积分割法”与“体积分割法”类比，即可得到结论.(2)由“椭圆”到“双曲线”进行类比.【规范解答】(1)设四面体ABCD的内切球球心为O，连接OA,OB,OC,OD，则V＝VO-ABC＋VO-BCD＋VO-CDA＋VO-ABD＝S1·R＋S2·R＋S3·R＋S4·R＝R(S1＋S2＋S3＋S4)，所以答案：(2)由题意知,(a+c)2=(b2+c2)+c2，整理得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得答案：【变式训练】请用类比完成下表： 平面 空间 三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.由以上
分析
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可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略)答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①：_______________________________________充要条件②：_______________________________________【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等.答案:三组对面分别平行两组对面分别平行且全等(答案不唯一)热点考向3演绎推理【方法点睛】演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.【提醒】应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，有时可省略.【例3】证明：函数f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是减函数.【解题指南】证明函数的增减性，其大前提是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.【规范解答】任取x1,x2∈［1,+∞)，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2).∵x1≥1,x2>1,∴x1+x2>2,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)>0,∴函数f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是减函数.【反思·感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.【变式训练】已知函数y=f(x)，满足：对任意a,b∈R,a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数.(2)若x,y为正实数且比较f(x+y)与f(6)的大小.【解析】(1)设x1,x2∈R,取x1<x2,则由题意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.(2)因为x,y为正实数,且所以当且仅当即时取等号，因为f(x)在R上是增函数，x+y≥>6，所以f(x+y)>f(6).1.(2012·龙岩模拟)把正整数1，2，3，4，5，6…按某种规律填入下表.按照这种规律连续填写，2011出现在第______行第______列. 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 … 3 7 11 15【解析】依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列.注意到2011=4×502+3，因此2011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第三行；2011所填的位置应是第502×3+2=1508列，即2011出现在第3行第1508列.答案：315082.(2012·陕西高考)观察下列不等式……照此规律，第五个不等式为.【解析】左边的式子的通项是右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为答案：3.(2012·厦门模拟)“点动成线，线动成面，面动成体”.如图，x轴上有一条单位长度的线段AB，沿着与其垂直的y轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体(正方形ABCD)，再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体(正方体ABCD-A1B1C1D1).请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m，n，p的值分别为_________.【解析】依题意，线段AB平移到CD位置后，可形成正方形ABCD，它有4个顶点、4条边、1个面；正方形ABCD平移到正方形A1B1C1D1位置后,可形成正方体ABCD-A1B1C1D1，它有8个顶点、12条棱、6个面；把正方体ABCD-A1B1C1D1沿着与x轴、y轴、z轴都垂直的第四维方向进行平移得到四维方体后，原来的8个顶点在平移后形成新的8个顶点，所以四维方体就共有8+8=16个顶点；原先的8个顶点在平移的过程又形成新的8条棱，所以四维方体就共有12+12+8=32条棱；正方体的12条棱在平移的过程都会形成一个新的面，∴四维方体就共有6+6+12=24个面.答案：16，32，244.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】方法一:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α
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