第六章 圆第29课 圆与多边形1.三角形的外接圆与三角形的内切圆的区别：一、考点知识，外接圆外心垂直平分线内切圆内心角平分线2.圆内接四边形的对角__________．3．圆与正多边形：(1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．(2)正多边形的半径：正多边形的________．(3)正多边形的中心角：正多边形每条边________．互补外接圆的半径所对的外接圆的圆心角【例1】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝1，CD＝2，BF＝3，求△ABC的面积和内切圆的半径r.【考点1】三角形的外接圆与内切圆二、例
题
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与变式提示：内心为O,连接OA,OB,OC，△ABC的面积是６，内切圆的半径r＝１.【变式1】如图，在△ABC中，∠A＝80°.(1)若点O为△ABC的外心，求∠BOC的度数；(2)若点I为△ABC的内心，求∠BIC的度数．解：（1）∵点O为△ABC的外心，∴由圆周角定理，得∠BOC=2∠A.∵∠A=80°，∴∠BOC=160°.（2）∵O为△ABC的内心，∴∠ABI=∠IBC=∠ABC，∠ACI=∠ICB=∠ACB.∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=100°.∴（∠ABC+∠ACB）=50°.即∠IBC+∠ICB=50°.∴∠BIC=180°－（∠IBC+∠ICB）=130°．【考点2】圆与多边形【例2】如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．解：如图，连接OB，OC，AC，∵EB,EC是⊙O的两条切线，B,C是切点，∠E=46°，∠DCF=32°，∴∠DAC=∠DCF=32°，∠BAC=（360°－90°－90°－46°）=67°，∴∠BAD=32°+67°=99°.【变式2】(1)已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为__________cm；(2)如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，求正八边形ABCDEFGH的面积．解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°.又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形.∴AB=OA=OB=5cm，即它的内接六边形的边长为5cm.（2）取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40.A组1．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．三、过关训练3．圆内接四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝________°.2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝5，BC＝8，AB＝6.则BE＝________；FC＝________；AD＝______．9090B组4．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.求证：(1)AB＝AF；(2)点A为△BEF的外接圆的圆心．
证明
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：（1）∠ABF=∠ADC=120°－∠ACD=120°－∠DEC=120°－（60°+∠ADE）=60°－∠ADE，而∠F=60°－∠ACF，∴∠ACF=∠ADE.∴∠ABF=∠F.∴AB=AF．(2)四边形ABCD内接于圆，∴∠ABD=∠ACD，又DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=∠AEB，∴∠ABD=∠AEB，∴AB=AE．∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外接圆的圆心．5．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．AC＝BCD．∠BAC＝30°DC组6．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D.连接OP，CB.(1)求证：OP∥CB；(2)若PA＝12，DB：DC＝2∶1，求⊙O的半径．（1）证明：连接AB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴PA=PB,且∠APO=∠BPO．∴OP⊥AB.∵AC是⊙O的直径，∴AB⊥CB．∴OP∥CB．（2）解：∵由（1）知，OP∥CB，∴．又∵PB=PA=12，，∴.∴OC=6,即⊙O的半径为6.
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