第四章三角形第20课 解直角三角形的实际应用1．如图1，视线在水平线上方的角叫做________，视线在水平线下方的角叫________．一、考点知识，2．以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，叫方向角；如图2，OA
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示的方向角是北偏东____°，OB表示的方向角是____________(或西南方向)．仰角俯角30南偏西45°3．如图3，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)i，即i＝______；坡面与水平面的夹角叫做坡角α，即tanα＝____；tanα与i的大小关系是______．相等【例1】如图，某校在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.(精确到0.1；参考数据：≈1.732)【考点1】仰角二、例题与变式解：设AG=x，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG=.∴.解得x=≈194.0，则AB=194.0+1.5=195.5（m），所以电视塔的高度AB为195.5m.【变式1】如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D，B，C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少米？(精确到0.1；参考数据：≈1.41)解：在Rt△ABC中，∵AB=5，∠ABC=45°，∴AC=AB·sin45°=，在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AD=∴AD－AB=7.05－5=2.05（m），所以改善后滑滑板会加长约2.1m.【考点2】方向角【例2】如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方向角为北偏东60°，测得B的方向角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数；参考数据：≈2.45，≈1.41)解：过点C作CP⊥AB于点P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠FCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°.∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=，∵∠CAP=60°，∴tan60°=，∴AP=，∴AB=AP+PB=≈15×2.45+45×1.41≈100（km）.【变式2】某飞机失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140千米处．(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离(结果取整数)；(2)若救助船A、救助船B分别以40千米/时，30千米/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．(参考数据：tan36.5°≈0.74，sin36.5°≈0.6，≈1.41)解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意，得∠PAE=36.5°，∠PBA=45.设PE为x千米，则BE=PE=x千米，∵AB=140千米，∴AE=（140－x）千米，在Rt△PAE中，=tan∠PAE，即≈0.74，解得x≈60千米.（2）在Rt△PBE中，PE=60千米，∠PBE=45°，则BP=PE=60≈84.6(千米)，B船需要的时间为小时，在Rt△PAE中，=sin∠PAE，AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6≈100(千米).∴A船需要的时间为100÷40=2.5.∵2.82＞2.5，∴A救助船先到达P处.A组1．如图，A岛在B岛的北偏东50度方向，C岛在B岛的北偏东80度方向，C岛在A岛的南偏东30度方向，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？三、过关训练2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶,求AB的长．解：70°解：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=.∴AB=（米）.B组3．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=.在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC=CD÷sin30°=2x.∵小军的行走速度为米/秒,小明与小军同时到达山顶C处，∴2x÷=2x÷a，解得a=1米/秒.4．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的．其中测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度CF.(结果取整数；参考数据：≈1.414)解：过B作BG⊥AF于点G，则BG=EF，BE=GF，在Rt△ABG中，∵AB=800，∠BAF=30°，∴EF=BG=ABsin∠BAF=800×=400（米），在Rt△BCE中，∵BC=200（米），∠CBE=45°，∴CE=BCsin∠CBE=200×=≈141.4（米），∴CF=400+141.4≈541（米）.∴山峰的高度CF大约是541米.5．热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？(结果取整数，参考数据：≈1.73)解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD·tan30°=120×m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD,tan60°=120×=120m，BC=160≈277m．∴这栋高楼的高度是277m.C组6．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长(结果保留根号)．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=（米），∵DH=1.5，∴CD=+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE=（米）.所以拉线CE的长为（）米
浙公网安备 33021202002483