导数学习的几个注意点

线 AB．而公共弦的直 线方程可以由两圆的标 准方程作差得到，即 圆 O的方程为: 2 2 9x y+ = ；① 圆 C的方程为: 2 2( 8) ( 2) 36x y− + − = ② 由①、②得直线 AB的方程为:16 4 41 0x y+ − = ． 2构造正四面体模型解决立体几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例 2 如图，不共面的 三条射线 OA、OB、OC两 两所成的角均为 60º，求二 面角 A—OC—B的余弦值． 解析 本题知道的是三 条射线 OA、OB、OC两两 所成的角，由于射线 OA、 OB、OC的长度的不知， 所以在解题过程中给我们 带来很多困难．本题求的 是求二面角 A—OC—B的 余弦值，事实上，求的是面 OAC 与面 OBC 所成的 二面角，因此可以再具体点 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示这两个面．所以不 妨在 OA、OB、OC 上分别取点 P、Q、R，使 OP=OQ=OR，此时所求的二面角就是 P—OR—Q．连 接 PQ、QR、PR，则得到正四面体 O—PQR(立刻转 化为学生熟悉的模型)．于是问题就转变为求正四面 体相邻两个面所成的角的余弦值 θ． 容易求得 cosθ= cos PSQ∠ =1/ 3． 变式训练 如图，不共面的三条射线 OA、OB、 OC两两所成的角均为 60º，求 OB与面 AOC所成的 角．( 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : cos(1/ 3)arc ) 3构造长方体模型解 决立体几何问题 例 3 若四面 体 P—ABC的棱 PA、PB、PC两 两互相垂直，PA =3，PB= 4，PC =12，求该四面 体的外接球的表 面积． 解析 求四面 体的外接球的表面 积，关键就是求球的半径，要知道球的半径，就必 须先弄清楚球心在哪里．考虑到四面体的三条共点 的棱两两互相垂直，所以可以把该四面体 P—ABC补 成长方体 PADB—CEFG，连接对角线 PF，取 PF中 点 O ， 则 O 为 所 找 的 球 心 ． 因 为 OP=OA=OB=OC= / 2PF ，所以外接球的半径为 2 2 2 / 2 13/ 2R PA PB PC= + + = ，所以外接球的表面 积为 24 169S Rπ π= = . 变式训练 1、球面上有四点 P、A、B、C，若 PA、PB、PC两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求该 球之表面积．( 23 aπ ) 2、在三棱锥 0 ABC− 中，三条棱 , ,OA OB OC两 两互相垂直，且 ,OA OB OC M= = 是 AB边的中点， 则OM 与平面 ABC 所成角的大小是____(用反三角 函数表示)( tan 2arc ) 4构造正方体模型解决立体几何问题 例 4 棱长为 a 的正四面体的顶点都在同一球面 上，则该球的表面积是( ) A. 23 aπ B. 23 2 aπ C. 24 3 aπ D. 22 3 aπ 解析 以正四面体棱长 为面对角线补成正方体(如 图)，则正方体与正四面体 有公共的外接球．由题设， 正四面体的棱长为 a，则 正方体的棱长为 2 / 2a ，于 是可得正方体对角线(即球的直径)为 6 / 2a ，故球的 半径为 6 / 4R a= ，∴ 2 24 3 / 2S R aπ π= = ．故选(B). 导数学习的几个注意点 福建省惠安第三中学 仇文波(362100) 随着高考改革的不断深入，导数部分的考查无 论从覆盖面还是从深度来看，都逐年呈上升趋势， 学生由于对其基本概念、基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 理解缺失而造成 的失误屡见不鲜．下面通过实例分析，提出导数学 习的几个注意点． 1注意理解导数的几何意义 例 1 已知函数 ( )( ( 1/ 2y f x x= ∈ − , 3/ 2) )的图象 是一段圆弧(如图所示)，且导函数 ( )f x′ 在 [0x∈ , 1] O A B C O A C P R S Q B P A B C O G E F DP A B C y xO A B C 2007年第 12期 福建中学数学 27 上的取值范围是 [ 3 /3− , 3 / 3 ]，则圆弧所在圆的方 程是_______． 解析 由题意，设圆C方程 2 2( 1/ 2) ( )x y b− + − 2r= ，由数形及导数几何意义可知，当 [0x∈ ，1]时 切线斜率越变越小，故当切线以O为切点时切线斜 率最大，如图，作过O的切线，所以 030AOT∠ = ， 又 1/ 2OA = ,从而求得 1r = ，则圆弧所在圆的方程是 2 2( 1/ 2) ( 3 / 2) 1x y− + + = ． 评注 本题若对 ( )y f x= 直接求导则解题比较 繁杂，对导数的几何意义不仅懂得从式子思考，更 应多从形来思考，则有助于解题，从而达到事半功 倍的效果． 2注意可导函数奇偶性规律 两个结论的应用值得关注:(1)如果 ( )f x 可导且 为偶函数，那么 ( )f x′ 为奇函数．(2)如果 ( )f x 可导 且为奇函数，那么 ( )f x′ 为偶函数． 例 2 (2007年高考福建卷)已知对任意实数 x ， 有 ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )g x g x− = 且 0x > 时 ( )f x′ 0> ， ( ) 0g x′ > ，则 0x < 时( ) A． ( ) 0f x′ > , ( ) 0g x′ > B． ( ) 0f x′ > , ( ) 0g x′ < C． ( ) 0f x′ < , ( ) 0g x′ > D． ( ) 0f x′ < , ( ) 0g x′ < 解析 由题意知， ( )f x 为奇函数， ( )g x 为偶函 数，所以 ( )f x′ 为偶函数， ( )g x′ 为奇函数，由奇偶 函数的图象特征及已知可得当 0x < 时 ( ) 0f x′ > ， ( ) 0g x′ < ，故选 B，当然，本题若从导数几何意义结 合图象思考，也不难选 B. 3注意给定区间是单调区间全集还是子集 例 3 已知函数 3 2( ) 2f x x ax= − + ．(1)若 ( )f x 在 (0x∈ ，2)内单调递减，求 a的取值范围；(2)若 ( )f x 的单调递减区间为(0，2)，求 a的取值范围． 解析 第(1)问是指(0，2)为函数 ( )f x 的单调减区 间的子集， 2( ) 3 2f x x ax′ = − ，由 ( ) 0f x′ < 得 0 2 / 3x a< < ，所以 2 / 3 2a ≥ ，∴ 3a ≥ ； 第(2)问是指(0，2)为函数 ( )f x 递减区间的全集， 所以 3a = ，故不能把(1)、(2)混淆在一起． 4注意导数为 0的点不一定是极值点 例 4 函数 3 2 2( )f x x ax bx a= − − + 在 1x = 处有 极值 10，求 a、 b的值． 解析 2( ) 3 2f x x ax b′ = − − 由题意得 (1) 0f ′ = 且 (1) 10f = ， ∴ 2 3 2 0 1 10 a b a b a − − =⎧⎪⎨ − − + =⎪⎩ 解得 3 3 a b =⎧⎨ = −⎩ 或 4 11 a b = −⎧⎨ =⎩ ． 上面的解答是错 误的，其错误在于认 为导数为 0的点，就 是极值点，事实上导 数为 0点必须同时具 备两侧导数异号，才 为极值点．据此，经 检验只有 4,a = − 11b = 符合条件． 5注意导数不存在点，有可能是极值点 例 5求函数 2 2 23( ) ( )f x x a= − 在 R上的极值 ( 0)a > ． 解析 3 2 2 4( ) 3 xf x x a ′ = − 令 ( )f x ′ =0，得 0x = ． 此外该函数定义域为 R，而在 x a= ± 处不可导， 因此列表时应将 x a= ± 点考虑进去． x 变化时， 'y ， y的变化情况如下表 由表知， ( )f x 在 x a= ± 处取得极小值 0，在 0x = 处 取得极大值 3 4a ． 评注 函数在某点 0x 不可导，但 0x 点有可能是 该函数的极值点，由此可见“有极值但不一定可 导”．如 | |y x= 在 0x = 处不可导，但 0x = 是 | |y x= 的 极小值点． 6 注意给定点不一定是切点 例 6 求过曲线 3 2y x x= − 上的点(1， 1− )的切线 方程． 解析 设 0(p x , 0 )y 为切点，则切线斜率为 2 0 0| 3 2y x x x′ = = − ， ∴切线方程为 20 0 0(3 2)( )y y x x x− = − − ， 即 3 20 0 0 0( 2 ) (3 2)( )y x x x x x− − = − − ． 又知切线过点(1， 1− )，把它代入上述方程得 3 3 0 0 0 01 ( 2 ) (3 2)(1 )x x x x− − − = − − ， 整理得 20 0( 1) (2 1) 0x x− + = ， ∴ 0 1x = 或 0 1/ 2x = − ．故所求切线方程为 2 0x y− − = 或 5 4 1 0x y+ − = ． 评注 可以发现直线5 4 1 0x y− − = 并不以(1， 1− ) 为切点，它是经过了点(1， 1− )且以 ( 1/ 2− , 7 /8 )为切 点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是 切点，若该定点不在曲线上，则更谈不上为切点． x (−∞ , a− ) a− ( a− , 0) 0 (0, a ) a ( a , + )∞ 'y － + 0 － ＋ y ↘ 0 ↗ 3 4a ↘ 0 ↗ y x O A C T 1 28 福建中学数学 2007年第 12期