高中物理竞赛辅导__力、物体的平衡(BAIDU)

高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 1页共 13页 力、物体的平衡 §1.1 常见的力 1、1、1 力的概念和量度 惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系 的速度不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物 体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候，应当说清楚讲到的是 哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者 说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为 力的大小的量度。实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。 重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为 重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化） 弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变， 而对外部产生的宏观反作用力。 反映固体材料弹性性质的胡克定 律，建立了胁强（应力）  S  F = s 与胁变（应变）  l  l D = e 之间的 正比例关系，如图所示 e s  E = 式中 E 为杨氏弹性模量，它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。 弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力 的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。  F=­kx  式中 x 表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向 相反；k 为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸 决定。 接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物 体在接触处对物体的反作 用力（以下简称反力）。这种反 力实质上是一种弹性力，常见如下几类：  1、柔索类（图 1­1­2）如绳索、皮带、 链条等，其张力 î í ì 拉物体 指向 沿柔索 方位  :  :  T  一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长 的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同 一根绳内的张力处处相等。  2、光滑面（图 1­1­3）接触处的切平面 方位不受力，其法向支承力  l  l D 图 1­1­1  A  B  C  c N  A  B N  A  G A  G A  A N  A  A  图 1­1­3  G  TT  T T  图 1­1­2  G 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 2页共 13页 î í ì 压物体 指向 沿法线 方位  :  :  N 3、光滑铰链 物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接 触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设 定。 （1）圆柱形铰链（图 1­1­4,图 1­1­5，图 1­1­6）由两个圆孔和一个圆柱 销组成。在孔的轴线方向不承受作用力，其分力 î í ì 待定 指向 轴 沿 方位  :  :  x  X î í ì 待定 指向 轴 沿 方位  :  :  y  Y  图中 AC 杆受力如图， 支座 B 处为可动铰， 水 平方向不受约束，反力如图。 （2）球形铰链（图 1­1­7,图 1­1­8）由一个球 碗和一个球头组成，其反力可分解为 待定 指向 沿坐标轴 方位  :  : ï þ ï ý ü  Z  Y  X 4、固定端（图 1­1­9，图 1­1­10） 如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限 制转动，需增添一个反力偶  A M  。 待定 指向 沿坐标轴 方位  :  : þ ý ü  Y  X î í ì 待定 转向 平面力系作用面 方位  :  :  A M  摩擦力 物体与物体接触时， 在接 触面上有一种阻止它们相对滑动的作用 力称为摩擦力。 不仅固体与固体的接触面上有摩擦， 固体与液体的接触面或固体与气体的接 触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1．1．2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光 滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势  A  图 1­1­4  A  B  C  1 F  B y  F  图 1­1­5  1 F  A y  c y x  c x  图 1­1­6  F  F  A y  A x  A Z  A  图 1­1­7  图 1­1­8  图 1­1­10  F  A  A M  A x  A y  F q  A  图 1­1­9 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 3页共 13页 的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩 擦力为  N f  0 max m = 式中  0 m 称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N 为两物体间的正 压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的 方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。  N f m = m 为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范 围内，可看作常量，在通常情况下， m m 与 0  可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件 为静摩擦力的绝对值满足  N f f m = £  max  在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数  0 m 略大于动摩擦因数 m 。 摩擦角 令静摩擦因数  0 m 等于某一角 j 的正切值，即 j m  tg = 0  ，这个 j 角就称为摩擦 角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,  tg N f = =  0 max m j 。支承面作用于物体的沿法线 方向的弹力 N 与最大静摩擦力  max f  的合力 F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩 擦角，如图 1­1­11 所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力  0 f  未达到最大值，即 j m m  tg  N  f  N  f  N f £ £ £  0 0  0  0 0  , ,  因此接触面反作用于物体 的全反力 F ¢ 的作用线与面法 线的夹角  N  f  arctg  0 = a ，不会 大于摩擦角，即 j a £ 。物体 不会滑动。由此可知，运用摩 擦角可判断物体是否产生滑动 的条件。如图 1­1­12 放在平面 上的物体 A，用力 F 去推它，设摩擦角为 j ，推力 F 与法线夹角为a ，当 j a < 时，无论 F  多大，也不可能推动物块 A，只有 j a > 时，才可能推动 A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦 力，所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰 撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为  t D ，但可能小球不需要  t D 时间，在水平方向上便已具 有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦 力。 如图 1­1­14，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为 m ，用一个与水平方向成多大  N F  F ¢  fm  图 1­1­11  A  F  图 1­1­12  v  图 1­1­13 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 4页共 13页 角度的力 F 拉着木块匀速直线运动最省力？ 将摩擦力  f 和地面对木块的弹力  N  合成一个力  F ¢ ，摩擦角为 m j  1 1 - - = =  tg  N  f  tg  ，这样木块受三个力：重力  G，桌面对木块的作用力F ¢ 和拉力 F，如图 1­1­14， 作出力的三角形，很容易看出当  F 垂直于  F F 时 ¢ 最 小，即有 F 与水平方向成 m j  1 - = tg  时最小。 例1、例 1、 如图 1-1-15 所示皮带速度为  0 v  ，物 A 在皮带上以速度  1 v 垂直朝 皮带边运动，试求物 A 所受摩擦力的方向。 解：物 A 相对地运动速度为  r r  V V V V + =  0 1 ,  ，滑动摩擦 力 f 与  r V  方向相反如图所示。 例 2、物体所受全反力 R 与法向的夹角  m j a > 的情形可 能出现吗？ 解：不可能。因为若有  m j a > 则  m tg tga j > 即 m >  N  f  。  max f f > \ ， 这是不可能的。 然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时， 可事先假定它静止，由平衡求出  ) ( 1  N  F  tg - = a ,有如下三种情形： ï î ï í ì > = < 滑动 临界状态 静止  m  m  m j j j a §1.2 力的合成与分解 1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则 即力  2 1  F F和 的合力即此二力构成的平行四 边形的对角线所表示的力 F， 如图 1-2-1(a)根据 此法则可衍化出三角形法则。即：将  2 1 ,F F  通过 平移使其首尾相接， 则由起点指向末端的力 F 即  2 1 ,F F  的合力。（如图 1-2-1(b)） 如果有多个共点力求合力， 可在三角形法则 的基础上，演化为多边形法则。如图 1-2-2 所示，a 图为有四个力共点 O，b 图表示四个力矢  F  N F ¢  f  G  F  G  F ¢ 图 1­1­14  A  1 V  0 V  A  1 V  0 V ¢  f  图 1-1-15  2 F  3 F  4 F  合 F  图 1-1-16  F1  F2  F  F1  F2 F  (a)  (b)  图 1-2-1 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 5页共 13页 首尾相接，从力的作用 点O连接力  4 F 力矢末端 的有向线段就表示它们 的合力。而(c)图表示五 个共点力组成的多边形 是闭合的，即  1 F 力矢的 起步与  5 F  力矢的终点 重合，这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为 两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下 三种情况： ①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。 ③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小， 其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。 1．2．2、平面共点力系合成的解析法 如图1-2-3， 将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde， 并在该平面取直角坐标系Oxy， 作出各力在两坐标轴上的投 影，从图上可见： î í ì + + + = + + + =  x x x y y  x x x x x  F F F F R  F F F F R  4 3 2 1  4 3 2 1  上式说明， 合力在任意一 轴上的投影， 等于各分力在同 一轴上投影的代数和， 这也称 为合力投影定理。 知道了合力 R 的两个投影  x R 和  y R  ， 就 难求出合力的大小与方向了。 合力 R 的大小为： 合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的正切值来确定：  x  y  R  R  tga = 1．2．3、平行力的合成与分解 作用在一个物体上的几个力的作用线平行， 且不作用于同一点， 称为平行力系。 如图 1-2-4 如果力的方向又相同，则称为同向平行力。  F1  F2  F3  F4  F1  F2  F3  F4  ∑F  F1  F2  F3  F4  F5  (a)                              (b)  (c)  图 1-2-2  2 2  y x  R R R + =  x  y  a  b  c  d  e  O  Rx  F1y  F4y  F3y  F2y  F1x  F2x  F3x  F4x Fy  F1  F2  F3  F4  Ry  x  y O  Rx  R a 图 1-2-3  (a)  (b) 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 6页共 13页 两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力 方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的 距离与分力的大小成反比，如图 1-2-4(a)，有： ï î ï í ì = + =  1  2  2 1  F  F  BO  AO  F F R  两个反向平行力的合力（R）的 大小等于两分力大小之差，合力作 用线仍与合力平行，合力方向与较 大的分力方向相同，合力的作用点 在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分 力作用点的距离与两分力大小成反比，如图 1-2-4(b)，有：  2 1  F F R - = 1．2．4、空间中力的投影与分解 力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间 夹角的余弦，如图 1-2-5 中的 F  v 力在 ox、oy、oz 轴上的投影 X、Y、Z 分别定义为 ï þ ï ý ü = = = g b  cos  cos  cos  F Z  F Y  a F X 这就是直接投影法所得结果， 也可如图 1-2-6 所示 采用二次投影法。这时  ) , cos(  x F F X  xy xy  v v v = 式中  xy F  v 为 F  v 在 oxy 平面上的投影矢量，而  ) , sin(  Z F F F xy  v v v = 力沿直角坐标轴的分解式  k F j F i F k Z j Y i X F  z y x  r r r r r r + + = + + = §1.3 共点力作用下物体的平衡 1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件 几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共 点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作  R  O  A  B  F2  F1  A  B O  F1  F2  R  (a)  (a)  图 1-2-4  Z  X  Y  F  Fxy  O  图 1-2-6  Y α γ β j  k  i  z  Y  X  Z  X  图 1-2-5  2  1  F  F  OB  OA = 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 7页共 13页 用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这 三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合 力为零。  0 = å i  i F  v 或其分量式：  0 = å i  ix F  0 = å i  iy F  0 = å i  iz F  如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡， 用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角 形或多边形； 力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡； 如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我 们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平 面内，如图 1-3-1 所示，且满足下式（拉密定理）： g b a  sin sin sin  3 2 1  F F F = = 1．3．2、推论 物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有 n-1 个力为共点力，即它们的作用 线交于 O 点，则最后一个外力的作用线也必过 O 点，整个外力组必为共点力。这是因为 n-1 个外力构成的力组为共点（O 点）力，这 n-1个的合力必过 O 点，最后一个外力与这 n-1 个外 力的合力平衡，其作用线必过 O 点。 特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必 相交于一点且一定共面。 §1.4 固定转动轴物体的平衡 1．4．1、力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定 的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时 外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用 线与轴的距离——力臂(d)。 力与力臂的乘积称为力矩，记为 M，则 M=Fd，如图 1-4-1，O 为 垂直于纸面的固定轴，力 F 在纸面内。 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力 对物体绕该轴转动没有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内，可先将 力分解为垂直于轴的分量 F⊥和平行于轴的分量 F∥，F∥对转动不起作用，这时力 F 的力矩 为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等 于各个力产生力矩的代数和。  F  O  d  图 1-4-1  F1  F2  F3 a b g 图 1-3-1 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 8页共 13页 1．4．2、力偶和力偶矩 一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图 1-4-2 中  2 1 ,F F  即为力偶，力偶不 能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直 的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到  F F F = =  2 1  ，不难得到，M=Fd，式中 d 为两力间的距离。力偶 矩与所相对的轴无关。 1．4．3、有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的 力矩的代数和为零。 §1.5 一般物体的平衡 力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影 响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一 般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零  ) 0 ( = å 外 F  和合力矩为零 å =  ) 0 (  M  同时满 足，一般物体的平衡条件写成分量式为 å = 0 x F å = 0 x M  0 = å  y F  0 = å  y M å = 0 z F å = 0 z M  z y x  M M M  , ,  分别为对 x轴、y 轴、z 轴的力矩。 由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出 各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系（设在 xOy 平面内），则  0 , 0 , 0 = = = å å å  y x x  M M F  自动满足，则独 立的平衡方程为：  0 = å  x F  0 = å  y F å = 0 z F  0 = å  z M  这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为 零。 平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独 立平衡方程均为三个。 §1.6 平衡的稳定性 1．6．1、重心 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度 g  v 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我 们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质  F1  F2  O  1 r  2 r  图 1-4-2 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 9页共 13页 量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。 求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距 L，质量分别为  2 1 ,m m  的两个质点构成 的质点组，其重心在两质点的连线上，且  2 1 ,m m  与相距分别为：  0 ) (  2 1 2 1 = - +  L m L m m  0 ) (  1 2 2 1 = - +  L m L m m  2 1  2  1  m m  L m  L + =  2 1  1  2  m m  L m  L + = 均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心， 求一般物体的重心， 常用的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是将物体分割成若干 个重心容易确定的部分后， 再用求同向平行力合力的 方法找出其重心。 物体重心（或质心）位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体 的重心位置。如图 1-6-1 由重量分别为  2 1 ,G G  的两 均匀圆球和重量为  3 G  的均匀杆连成的系统，设立如 图坐标系，原点取在 A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为  3 2 1  , ,  x x x  ，系统重心在 P 点，我们现在求其坐标 x。设想在 P 处给一支持力 R，令  3 2 1  G G G R + + = 达到平衡时有：  0 3 3 2 2 1 1 = - + + = å  Rx x G x G x G M  ∴  3 2 1  3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1  G G G  x G x G x G  R  x G x G x G  x + + + + = + + = 这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其 重心位置为： ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì = = = å å å å å  Gi  Giz  z  Gi  Giy  y  Gi  Gix  x  i  一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：  A  O  C  P  B  X  x  1 x  2 x  3 x  G1  G2  G3  图 1-6-1  R 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 10页共 13页 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì = = = å å å å å å  i  i i  i  i i  i  i i m  z m  z  m  y m  y  m  x m  x  如图 1-6-2，有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别 为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为 l ，求其质心位置，若为 n 段，密度仍 如上递增，质心位置又在什么地方？ 解：设整个棒重心离最左端距离为 x，则由求质心公式有  5 2 1  5 5 2 2 1 1  m m m  x m x m x m  m  x m  x  i  i i + + + + + + = = å å L L  b v v v v  l v l v l v l v  l  v r r r r u r r r r r  4 . 1 3 . 1 2 . 1 1 . 1  2  9  4 . 1  2  7  3 . 1  2  5  2 . 1  2  3  1 . 1  2 + + + + × + × + × + × + × =  l 67 . 2 = 若为 n 段，按上式递推得：  )  10  1  1 ( 3 . 1 2 . 1 1 . 1 1  ) 1 2 )(  10  1  1 ( 7 3 . 1 5 2 . 1 3 1 . 1 1  2 - + + + + + + - - + + + ´ + ´ + ´ + × =  n  n  n  l  x  L L 将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：  l  n  n  n  x  )  10  1  1 ( 2 . 1 1 . 1 1  ) 1 )(  10  1  1 ( 3 3 . 1 2 2 . 1 1 . 1 - + + + + + - - + + + ´ + ´ + = L L  )  10  1  1 ( 2 . 1 1 . 1 1  ) 1 )(  10  1  1 ( 2 )  10  2  1 ( )  10  1  1 ( - + + + + + - - + + + ´ + + + =  n  n  n  L L [ ] [ ]  l  n  n n  )  10  1  1 ( 2 . 1 1 . 1 1  ) 1 ( 2 1  10  1  ) 1 ( 2 1  2 2 2 - + + + + + - + + + + - + + + = L L L  l  P  图 1-6-2  l  q n  q n n  ) ( 3  ) 3 2 )( 1 ( + + - = 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 11页共 13页 例、如图 1-6-3 所示，A、B 原为两个相同的均质实心球，半径为 R，重量为 G，A、B 球 分别挖去半径为  4  3  2  R R 和 的小球，均质杆重量为  G  64  35  ，长度  R l  4 = ，试求系统的重心位置。 解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图 1-1-31 所示平行 力系；其中  G G  G  G  b a  64  27  , 8 = = ¢ ¢ 。设重心位置为 O， 则合力  G G  G  G G W  64  93  64  27  8 = - - + = 且  0 ) ( 0 = å  i G M  即  ) 3 (  64  35  2  3 (  8  ) 4  3 (  64  27  ) 3 (  OC R G OC G OC  R  R  G R  R OC G OC R G + + × + - - = + + + - \ OC=0.53R 1．6．2、物体平衡的种类 物体的平衡分为三类： 稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或 外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡 位置时，重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或 外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体， 偏离平衡位置时，重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合 外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后， 重心高度不变。 在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转 轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于 管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态， 一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。 1．6．3、稳度 物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个 平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。 §1.7 流体静力学 流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流体具有不可 压缩的特征。 1．7．1、 静止流体中的压强  A B  C  图  l  A  B  C a  a¢  b  b¢ 图 1－6－3 高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡 第 12页共 13页 (1)静止流体内部压强的特点 在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通 的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。 关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下： 在静止流体中的某点处任取一个长为  l D 的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直 面内和水平面内，作其截面如图 1-7-1 所示，图中坐标轴 x 沿水平方向，坐标轴 y 沿竖直方 向，以  n y x D D D  , ,  分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且 以 a 表示此截面三角形的一个锐角如图 1-7-1， 又以  x P ,  n y  P P  ,  分别表示对应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分 别为：  l y P f  x x D D = D  l x P f  y y D D = D  l n P f  n n D D = D 由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的 压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有： î í ì D = D D = D  a f f  a f f  n y  n x  sin  cos  即 î í ì D D = D D D D = D D  a l n P l x P  a l n P l y P  n y  n x  sin  cos  注意到  a n y a n x  cos , sin D = D D = D ，代入上式便得  n y x  P P P = = 说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为 P。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的 密度为 r ，则此流体表面下深度为 h 处的压强为  gh p P r + =  0  由上式可见，在静止流体内部高度差为  h D 的两点间的压强差为  h g p D = D r 1．7．2、浮力与浮心 浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排 开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示为 排 液 gV F r = 浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的 重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸没在液体中的物体部分 的重心重合。  O  x  n f D a  y  x f D  y f D  y D  x D a 图 1-7-1 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 中学学科网学海泛舟系列资料  WWW.ZXXK:COM  版权所有@中学学科网 1．7．3、浮体平衡的稳定性 浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向 相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方 式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳 定的；对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动， 其平衡的稳 定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例：当船体向右 倾斜（即船体绕过质心 O 的水平对称轴转动一小角度）时， 其浮心（浮力作用点）Q 将向右偏离，浮力 F 与重力 G 构成 一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图 1-7-2(a)所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但 如果船体重心 O 太高， 船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧， 这时船体的平衡 就是不稳的，如图 1-7-2(b)所示。  F  Q  G  O  F  Q  G  O q （a） （a） 图 1-7-2