基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈设计自抗扰振动控制器

机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING 第 46 卷第 3 期 2010 年 2 月 Vo l . 46 No .3 Feb. 2010 DOI：10.3901/JME.2010.03.059 基于扩张状态观测器和非线性状态误差 反馈设计自抗扰振动控制器* 陈文英 1, 2 褚福磊 1 阎绍泽 1 (1．清华大学精密仪器与机械学系 北京 100084； 2．北京特种车辆研究所 北京 100072) 摘要：智能桁架结构作为一种控制结构一体化的新型空间结构，具有几何、物理可自调性，但这类结构同时具有柔性大、阻 尼小、低频模态密集、模态耦合程度高以及存在多种不确定性和耦合等特点，给振动控制带来很大挑战。基于此，研究如何 基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈设计不依赖于模型的自抗扰振动控制器。采用扩张状态观测器实时估计对象模型 摄动及外扰的总和作用量，并在控制信号中补偿掉，实现不确定非线性系统的动态补偿线性化。针对线性的“积分器串联型” 对象，设计非线性状态误差反馈控制律。对不确定参数空间 83 杆智能桁架结构进行自抗扰振动控制仿真研究。结果表明在 外部扰动或模型结构参数发生变化时，自抗扰振动控制器仍可以获得理想的控制效果，具有很好的适应性和鲁棒性。 关键词：智能桁架结构 自抗扰控制技术 主动振动控制 中图分类号：TB535 TP273 Active Disturbances Rejection Vibration Controller Using Extended State Observer and Nonlinear State Error Feedback CHEN Wenying1, 2 CHU Fulei1 YAN Shaoze1 (1. Department of Precision Instruments and Mechanology, Tsinghua University, Beijing 100084; 2．Beijing Special Vehicle Research Institute, Beijing 100072) Abstract：Intelligent truss structures, as a new kind of integrated control-structures, have the adaptive geometry and physics characteristics, but these structures also have the complex dynamic characteristics, such as large flexibility, small structure damping, closely low order modes, high degree of mode coupling, uncertainties, and coupling, which brings a great challenge to active vibration control of intelligent truss structures. Therefore, it is studied how to design the model-independent active disturbances rejection vibration controller (ADRVC), based on the extended state observer (ESO) and the nonlinear state error feedback control law (NLSEF). The real-time dynamic linearization of the uncertain nonlinear system is implemented by disturbance estimation via ESO and disturbance compensation via the control law. A NLSEF is designed to control the linear integrator-cascaded type plant. The ADRVC is used for the vibration control of an 83-bar space intelligent truss structure with uncertain-but-bounded parameters. The simulation results demonstrate the ADRVC has good adaptability and robustness to external disturbance and unknown variation in plant parameters. Key words：Intelligent truss structures Active disturbances rejection control technique Active vibration control 0 前言* 飞速发展的航空航天事业对结构系统的高性 能 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 推动了智能结构的开发、研究和应用。智能 ∗ 国家杰出青年科学基金 (50425516)和国家自然科学基金重点 (10732060)资助项目。20090221 收到初稿，20090918 收到修改稿 桁架结构是利用功能材料(如压电陶瓷)制成传感元 件和作动元件于一体的主动构件，并将主动构件配 置于桁架结构的若干关键部位而形成的。其中主动 构件不仅具有传感和控制功能，而且还能承受结构 载荷[1]。由于采用压电陶瓷材料制造的智能主动构 件体积小、重量轻、结构紧凑、精度高且具有自适 应能力等特点，可望在航空航天领域的大型桁架结 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 3 期期 60 构中广泛应用。 大型智能桁架结构在具有上述优点的同时还 有柔性大、阻尼小、低频模态密集、模态耦合程度 高以及存在多种不确定性和耦合等特点，给振动控 制带来很大挑战。韩潮等[2-4]分别采用独立模态空间 控制、最优控制和仿人智能控制对空间智能桁架结 构的振动主动控制进行了理论和试验研究。本文研 究如何基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈 设计不依赖于模型的非线性自抗扰振动控制器。采 用扩张状态观测器实时估计对象模型摄动和外扰的 总和作用量，并在控制信号中补偿掉，实现非线性 不确定对象的动态补偿线性化。然后，针对线性的 “积分器串联型”对象，设计非线性状态误差反馈控 制律。最后，对不确定参数空间 83 杆智能桁架结构 进行自抗扰振动控制仿真研究。结果表明，在外部 扰动或模型结构参数发生变化时，自抗扰振动控制 器仍可以获得理想的控制效果，具有很好的适应性 和鲁棒性。 1 不确定参数智能桁架结构的有限元 模型 假定 Iα 是区间结构参数矢量，表示为 ( )TI I I I c I1 2, , , mα α α= = + ∆"α α α (1) ( )Tc c c c1 2, , , mα α α= "α (2) ( )TI I I I1 2, , , mα α α∆ = ∆ ∆ ∆"α (3) 式中m 是区间结构参数的个数。对于 Iα 的任一分量 I ( 1,2 )i i mα = , ," ，可表示为 [ ]I c,i i i i i ieα α α α α= = + ∆ (4) 式中 ( )c 2i i iα α α= + ，是区间参数 Iiα 的中值； ( ) 2 i i iα α α∆ = − 是 区 间 参 数 Iiα 的 半 径 ； ( )1,1ie = − 。 采用区间参数表示智能桁架结构参数的不确 定性，考虑压电主动杆的机电耦合特性，基于有限 元法，建立区间参数智能桁架结构的运动方程式[5] I I I I 0 c e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) t t t t t + + = + �� �m x c x k x B F F α α α α 式中 I( )m α ——区间质量矩阵 I( )c α ——区间阻尼矩阵 I( )k α ——区间刚度矩阵 e ( )tF ——外部节点作用力矢量 I c ( , )tF α ——区间控制力矢量 m ——主动杆的数目 0B ——主动杆的方向余弦矩阵 区间质量矩阵 I( )m α 可表示为[6] I c I( ) ( ) ( )= + δα α αm m m (6) 式中 c( )m α 是标称质量矩阵； I( )δm α 是相应的区间 增量矩阵。 假定标称质量矩阵 c( )m α 是可逆的，定义 1 c I I I 1 c e ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) t t t t t − − = − δ + + + �� �F m m x c x k x m F α α α α α 则系统方程式(5)又可简化为 ( ) 1 c I0 c( ) ( ) ( , )t t t−= + =��x F U U m B Fα α (8) 可见，这是一个多变量耦合的不确定非线性系 统。为了问题分析的方便，定义系统的所有建模和 未建模动态特性(如非线性、参数时变、变量间的耦 合等)为系统“内扰”；定义外部不确定扰动为系统 “外扰”；定义“内扰”和“外扰”的总和为系统的 “总扰动”。这样，式(8)就可解耦为一组互不耦合的 二阶动力学方程组 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 2 2 2 22 2 , , ( ),( ) ( ) , , ( ),( ) ( ) ( ) ( ), , ( ),n nn n n n f x x t tx t u t f x x t tx t u t x t u tf x x t t ω ω ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ��� ��� # ## �� � (9) 式中 ( ), , ( ),i i i if x x t tω� 为包含对象建模、未建模动态 特性和外扰的不确定非线性函数； ( )i tω 为相应系统 的总扰动； ( )iu t 为对应的控制量。 2 自抗扰振动控制器 基于扩张状态观测器(Extended state observer, ESO)和非线性状态误差反馈控制律(Nonlinear state error feedback control law, NLSEF)构造的自抗扰振 动控制器 (Active disturbances rejection vibration controller, ADRVC)的结构框图如图 1 所示。 图 1 自抗扰振动控制器结构框图 由图 1 可见，自抗扰振动控制器的实际输出 u 可表示为 (7) (5) 月 2010 年 2 月 陈文英等：基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈设计自抗扰振动控制器 61 0 3 0 ( )u z tu b −= (10) 有关它的形成将在下文详细介绍。 2.1 扩张状态观测器 考虑二阶非线性不确定对象Σ Σ ： 0( , , ) ( )ω= + +⎧⎨ =⎩ �� �x f x x t t b u y x (11) 式中 ( , , )f x x t� 为未知的非线性时变函数； ( )tω 为未 知外扰； u 和 y 分别是系统的输入与输出； 0b 为未 知常数。 定义 ( ) ( , , ) ( )a t f x x t tω= +� ，它是系统建模、未 建模动态和外扰的总和，称为对象Σ 的表现量。选 取状态变量 ( ) ( )T T1 2 3, , , , ( )x x x x x a t= � ，其中 3x 是二 阶非线性不确定对象Σ 的扩张状态。这样，二阶非 线性不确定对象Σ 又可描述为 1 2 2 3 0 3 1 ( ) x x x x b u x c t y x =⎧⎪ = +⎪⎨ =⎪⎪ =⎩ � � � (12) 式中 ( ) ( )c t a t= � 。 因此，对二阶非线性不确定对象Σ 可构造三维 扩张状态观测器，它的离散动态方程[7] 1 1 1 2 01 1 2 2 3 02 2 3 3 03 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) fal( ( ), , )] ( ) ( ) [ ( ) fal( ( ), , ) ( )] ( ) ( ) fal( ( ), , ) e t z t y t z t h z t h z t e t z t h z t h z t e t bu t z t h z t h e t β α δ β α δ β α δ = −⎧⎪ + = + −⎪⎪ + = + − +⎨⎪⎪⎪ + = −⎩ (13) 式中 h为采样步长；非线性函数 fal( , , )e α δ 定义为 1 fal( , , ) sgn e e e ee e αδ δα δ δ −⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩ (14) 大量计算机仿真试验表明，调整参数 01β 、 02β 和 03β ，扩张状态观测器(13)的状态 ( )iz t 可很好地跟 踪系统式(12)的状态变量 ( )ix t ，即 1 1( ) ( )z t x t→ 、 2 2( ) ( )z t x t→ 、 3 3( ) ( )z t x t→ 。 2.2 动态补偿线性化 由于扩张状态观测器实现了对系统的状态变 量 1x 和 2x 及表现量 ( )a t 的实时估计，因此可对控制 量 u 补偿过程中的表现量 ( )a t ，取成 0 3 0 ( )u z tu b −= (15) 由于 3 ( ) ( )z t a t≈ ，将式(15)代入式(11)，二阶非 线性不确定对象Σ 就可转化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的线性“积分器 串联型”对象 Σ ′： 0=⎧⎨ =⎩ ��x u y x (16) 这种用控制形式式(15)把原对象方程转化成系 统式(16)的过程称作“动态补偿线性化”过程。“动 态补偿线性化”的思想是基于过程控制的观念提出 的，它完全不同于目前非线性控制理论中盛行的“状 态反馈线性化”过程，打破了传统的被控对象按线 性与非线性、时变与时不变、确定性与不确定性等 特性进行区分的分类方式，提出了按系统“时间尺 度”来进行系统分类的新方法，具有重要的理论意 义和实用价值。 2.3 非线性状态误差反馈控制律 对于主动振动控制问题，它的参考输入为 0， 定义状态误差为 1 1 2 20 0e z e z= − = − (17) 针对式(16)所表示的标准的线性“积分器串联 型”对象，设计非线性状态误差反馈控制律[8] 0 1 1 4 1 2 2 5 1fal( , , ) fal( , , )u e eβ α δ β α δ= + (18) 式(18)实际上是非线性状态误差反馈 PD 控制 律， 1β 和 2β 分别为相应的比例因子和微分因子。 非线性函数 fal( , , )e α δ 如式(14)所示，图 2 为其 数学拟合示意图。 图 2 非线性 fal 函数数学拟合示意图 由图 2 可以看出，适当地选择非线性因子α ， 将极大地改变控制效果，使比例和微分充分发挥各 自的功能。 (1) 对于比例作用，在小误差时应采用大增益， 大误差时应采用小增益，因此比例项中，取 fal( , , )e α δ 函数中的α 为 0 1α< < 。 (2) 对于微分作用，在微分误差小时应采用小 增益，微分误差大时应采用大增益，因此微分项中， 取 fal( , , )e α δ 函数中的α 为 1α > 。 从以上分析可知，由于 fal( , , )e α δ 函数的调节作 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 3 期期 62 用，相当于智能地调节了比例和微分的增益，使非 线性状态误差反馈 PD 控制律具有了智能性。目前， fal( , , )e α δ 函数已经成为一种常用的非线性反馈结 构，文献[9-10]从非线性反馈效应的角度详细阐述了 这种结构的鲁棒性和适应性。 此外，式(18)中不包含积分作用，这是因为自 抗扰振动控制的扰动补偿项 3 0( )z t b 实现了对系统 “总扰动”作用的实时估计和补偿，它完全可以取代 积分反馈，且没有积分反馈的负作用(如积分饱和， 闭环变得迟钝，容易产生振荡等)。 3 自抗扰振动控制器仿真研究 针对北京航空航天大学的 83 杆四棱柱智能桁 架结构(底部配置 4 个压电主动杆)，见图 3，设计自 抗扰振动控制器，并采用 Matlab/Simulink 进行仿 真研究。该结构共 6 跨 28 个节点，每跨边长均为 320 mm，其他相关参数及试验模态频率见文[4]。它 在 100 Hz 内共有 6 阶模态，下表为计算与试验模态 频率对照，两者的误差在 5％以内，验证了本文采 用 Matlab 编程建立的有限元模型的正确性。 图 3 空间 83 杆智能桁架结构 研究内容包括两部分：①自抗扰振动控制器设 计参数的整定；②自抗扰振动控制器的性能仿真。 仿真中如果没有特别说明，都是以主动杆 1～5 作为 激振器，主动杆 3～7 为控制器；反馈信号和观察信 号为节点 27 沿节点 25～27 连线方向。 表 计算与试验模态频率对照 阶次 计算频率 cf /Hz 试验频率 ef /Hz 模态特征 1 15.619 15.625 一阶 x 弯曲 2 15.667 … 一阶 y 弯曲 3 41.470 41.992 一阶 z 扭转 4 81.207 81.055 二阶 x 弯曲 5 82.503 … 二阶 y 弯曲 6 99.746 95.703 二阶 z 扭转 3.1 自抗扰振动控制器设计参数的整定 由于自抗扰振动控制器中的扩张状态观测器、 非线性状态误差反馈控制律和扰动补偿三部分功能 上相对独立，因此按照“分离性原理”独自整定 参数。 (1) 非线性扩张状态观测器的参数包括： 1α 、 2α 、 3α 、δ 、 01β 、 02β 、 03β 和 b ，其中 1α 、 2α 、 3α 和δ 为非线性参数，一般情况下，选取 1 1α = ， 2 0.5α = ， 3 0.25α = ；δ 确定 fal( , , )e α δ 函数中线性 区间的大小，根据实际情况选取，这里 0.001δ = ； 01β 、 02β 和 03β 由系统的采样步长决定，针对本文 研究的对象选取采样步长 0.001h = ，整定参数 01 1570β = ， 02 49 820β = ， 03 1873 200β = 。参数b 的选取将单独介绍。 (2) 非线性状态误差反馈控制律相当于用非线 性 PD 控制器控制一个线性的“积分串联型”对象， 它的参数包括： 4α 、 5α 、 1δ 、 1β 和 2β 。 4α 、 5α 和 1δ 为非线性参数，通常选取 4 0.75α = ， 5 1.25α = ； 根据控制精度选取 1 0.001δ = ， 1β 和 2β 为相应的比 例和微分增益，它们的整定同 PD 控制器的参数整 定。这里 1 81.223β = ， 2 2.919 6β = 。 (3) 参数 b 是唯一与被控对象有关的参数，也 是扩张状态观测器和扰动补偿共用的参数，因此它 对 ADRVC 的性能起着很重要的作用。由于 b 未知， 这里采用试凑法决定， 12.850 3b = 。 3.2 自抗扰振动控制器的性能仿真 首先，选取两种能代表太空不确定干扰的典型 信号来研究自抗扰振动控制器的性能，包括低频周 期信号扰动和随机冲击扰动。 (1) 低频周期信号扰动。采用 5 V，15.6 Hz(一 阶谐振频率)正弦交变电压信号驱动主动元件 1-5对 桁架结构进行激振，振动稳定后，启动控制系统， 用主动元件 3-7 进行控制。图 4 为无控时节点 27 的 振幅变化过程曲线；图 5 为施加控制时节点 27 的振 幅变化过程曲线。施加控制后，智能桁架结构经过 0.15 s 达到稳定，初始振幅为 0.28 mm，控制后稳态 振幅为 0.012 5，下降了 95.5%。此外，由图 6、7 月 2010 年 2 月 陈文英等：基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈设计自抗扰振动控制器 63 可见在控制稳定后控制电压的幅值和相位与激励电 压均相同，这与文献[4]的试验结果是一致的，说明 ADRVC 控制方法的正确性。 图 4 无控时节点 27 的位移变化曲线 图 5 ADRVC 控制时节点 27 的位移变化曲线 图 6 ADRVC 的控制电压变化曲线 图 7 振动稳定后 ADRVC 的控制电压变化曲线 (2) 随机冲击扰动。假定智能桁架结构在节点 25 沿节点 25～27 连线方向受到随机冲击力 20 0 0.05 s 0 0.05 s t F t < ≤⎧= ⎨ >⎩ 采用主动元件 3～7 作为控制作动器，比较节 点 27 自由衰减和闭环控制下的衰减过程，如图 8、 9 所示。从图 8、9 中可以看出，振动的衰减时间从 无控前的 1.8 s 下降到有控时 0.1 s，减少了 1.7 s。 图 10 为相应的控制电压变化曲线。 然后，探讨自抗扰振动控制器在模型结构参数 发生变化时控制器的鲁棒性问题，这里采用改变智 能桁架结构中被动杆弹性模量的方法，选取比较典 型的 2 种情况进行分析：① 118 GPaE = ，一阶谐振 频率 15.9 Hz；② 98 GPaE = ，一阶谐振频率 15.3 Hz(被动杆弹性模量的标准值为 108 GPaE = )。假定 智能桁架结构受低频周期信号扰动(同不确定外扰 情况 1)，结构参数发生改变时采用 ADRVC 控制时 的仿真曲线如图 11 所示。 图 8 无控时节点 27 的位移变化曲线 图 9 ADRVC 控制时节点 27 的位移变化曲线 图 10 ADRVC 的控制电压变化曲线 由图 4～11 可以看出，在外部扰动或模型内部 参数发生变化时，自抗扰振动控制器仍可以获得理 想的控制效果，具有很好的适应性和鲁棒性。 4 结论 基于扩张状态观测器和非线性状态误差反馈 设计的非线性自抗扰振动控制器具有很好的性能。 (1) 实现了多变量耦合系统的解耦控制。 (2) 采用扩张状态观测器，实现了非线性不确 定对象的动态补偿线性化。 (3) 设计非线性状态误差反馈控制律时，不再 需要积分作用，只需要比例和微分作用，这样就避 免了积分反馈的负作用。 总之，自抗扰振动控制器设计思想新颖，结构 简单，便于物理实现，且对系统“内扰”和“外扰” 都具有很强的鲁棒性，适合于不能精确建模的，具 有不确定外扰的空间智能桁架结构的振动控制。 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 3 期期 64 图 11 ADRVC 控制时节点 27 的位移和控制电压变化曲线 参 考 文 献 [1] 张景绘，李宁，李新民，等. 一体化振动控制 － 若干 理论、技术问题引论[M]. 北京：科学出版社，2005. 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